Преобразование Шриффера – Вольфа - Schrieffer–Wolff transformation

В квантовая механика, то Преобразование Шриффера – Вольфа это унитарное преобразование привык к возмущению диагонализировать система Гамильтониан к первому порядку во взаимодействии. Таким образом, преобразование Шриффера-Вольфа является операторной версией теория возмущений второго порядка. Преобразование Шриффера-Вольфа часто используется для проект из высокоэнергетических возбуждений данного квантового многочастичного Гамильтониан чтобы получить эффективная низкоэнергетическая модель.^[1] Таким образом, преобразование Шриффера – Вольфа обеспечивает управляемый пертурбативный способ изучения режима сильной связи квантово-многочастичных гамильтонианов.

Хотя обычно приписывается статье, в которой Кондо модель был получен из Модель примеси Андерсона к Дж. Р. Шриффер и П.А. Вольф.^[2], Хоакин Маздак Латтинджер и Уолтер Кон использовал этот метод в более ранней работе о непериодических k · p теория возмущений ^[3]. Используя преобразование Шриффера – Вольфа, высокоэнергетические зарядовые возбуждения, присутствующие в примесной модели Андерсона, проецируются наружу, и получается низкоэнергетический эффективный гамильтониан, который имеет только виртуальные флуктуации заряда. Для случая примесной модели Андерсона преобразование Шриффера – Вольфа показало, что модель Кондо лежит в режиме сильной связи примесной модели Андерсона.

Вывод

Рассмотрим квантовую систему, развивающуюся под действием не зависящего от времени гамильтонова оператора ${\displaystyle H}$ формы:

$${\displaystyle H=H_{0}+V}$$

куда ${\displaystyle H_{0}}$ гамильтониан с известными собственными состояниями ${\displaystyle |m\rangle }$ и соответствующие собственные значения ${\displaystyle E_{m}}$, и где ${\displaystyle V}$ это небольшое возмущение. Кроме того, без ограничения общности предполагается, что ${\displaystyle V}$ чисто недиагонально в собственном базисе ${\displaystyle H_{0}}$, т.е. ${\displaystyle \langle m|V|m\rangle =0}$ для всех ${\displaystyle m}$. Действительно, эту ситуацию всегда можно исправить, поглотив диагональные элементы ${\displaystyle V}$ в ${\displaystyle H_{0}}$, таким образом изменяя свои собственные значения на ${\displaystyle E'_{m}=E_{m}+\langle m|V|m\rangle }$.

Преобразование Шриффера-Вольфа - это унитарное преобразование, которое выражает гамильтониан в базисе («одетом» базисе), где он диагонален до первого порядка по возмущению. ${\displaystyle V}$. Это унитарное преобразование условно записывается как:

$${\displaystyle H'=e^{S}He^{-S}}$$

Когда ${\displaystyle V}$ маленький, генератор ${\displaystyle S}$ трансформации также будет небольшой. Затем преобразование можно развернуть в ${\displaystyle S}$ с использованием Бейкер-Кэмпбелл-Хаусдорф формула

$${\displaystyle H'=H+[S,H]+{\frac {1}{2}}[S,[S,H]]+\dots }$$

Здесь, ${\displaystyle [A,B]}$ коммутатор между операторами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. С точки зрения ${\displaystyle H_{0}}$ и ${\displaystyle V}$преобразование становится

$${\displaystyle H'=H_{0}+V+[S,H_{0}]+[S,V]+{\frac {1}{2}}[S,[S,H_{0}]]+{\frac {1}{2}}[S,[S,V]]+\dots }$$

Гамильтониан можно сделать диагональным до первого порядка по ${\displaystyle V}$ выбрав генератор ${\displaystyle S}$ такой, что

$${\displaystyle [H_{0},S]=V}$$

Это уравнение всегда имеет определенное решение в предположении, что ${\displaystyle V}$ недиагонален в собственном базисе ${\displaystyle H_{0}}$. Подстановка этого выбора в предыдущее преобразование дает:

$${\displaystyle H'=H_{0}+{\frac {1}{2}}[S,V]+O(V^{3})}$$

Это выражение является стандартной формой преобразования Шриффера-Вольфа. Обратите внимание, что все операторы в правой части теперь выражены в новом базисе, «одетом» в взаимодействие ${\displaystyle V}$ к первому порядку.

В общем случае сложным этапом преобразования является нахождение явного выражения для генератора ${\displaystyle S}$. Как только это будет сделано, легко вычислить гамильтониан Шриффера-Вольфа, вычислив коммутатор ${\displaystyle [S,V]}$. Затем гамильтониан можно спроецировать на любое интересующее подпространство, чтобы получить эффективный спроецированный гамильтониан для этого подпространства. Чтобы преобразование было точным, исключенные подпространства должны быть энергетически хорошо отделены от интересующего подпространства, что означает, что сила взаимодействия ${\displaystyle V}$ должно быть намного меньше, чем разность энергий между подпространствами. Это тот же режим действия, что и в стандартном теория возмущений второго порядка.

Рекомендации

1. Бравий, С., Ди Винченцо, Д. и Лосс, Д. (2011). «Преобразование Шриффера-Вольфа для квантовых систем многих тел». Анналы физики. 326 (10): 2793–2826. arXiv:1105.0675. Bibcode:2011AnPhy.326.2793B. Дои:10.1016 / j.aop.2011.06.004.
2. Schrieffer, J.R .; Вольф, П.А. (Сентябрь 1966 г.). «Связь гамильтонианов Андерсона и Кондо». Физический обзор. 149 (2): 491–492. Bibcode:1966ПхРв..149..491С. Дои:10.1103 / PhysRev.149.491.
3. Luttinger, J.R .; Кон, П.А. (Февраль 1955 г.). «Движение электронов и дырок в возмущенных периодических полях». Физический обзор. 97 (4): 869–883. Bibcode:1955ПхРв ... 97..869Л. Дои:10.1103 / PhysRev.97.869.

дальнейшее чтение

• Филлипс, Филипп (2012). Продвинутая физика твердого тела (Второе изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 109–114. ISBN  978-1-107-49346-9.od