Экранированное уравнение Пуассона - Screened Poisson equation

В физика, то экранированное уравнение Пуассона это Уравнение Пуассона, которая возникает (например) в Уравнение Клейна – Гордона, экранирование электрического поля в плазма, и нелокальная гранулярная текучесть^[1] в гранулированный поток.

Постановка уравнения

Уравнение

${\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf {r} ),}$

где ${\displaystyle \Delta }$ это Оператор Лапласа, λ - константа, выражающая "экранирование", ж - произвольная функция положения (известная как "функция источника") и ты - функция, которую предстоит определить.

В однородном случае (f = 0) экранированное уравнение Пуассона такое же, как и не зависящее от времени Уравнение Клейна – Гордона. В неоднородном случае экранированное уравнение Пуассона очень похоже на уравнение неоднородное уравнение Гельмгольца с той лишь разницей, что знак в скобках.

Решения

Три измерения

Без ограничения общности возьмем λ быть неотрицательным. Когда λ является нуль, уравнение сводится к Уравнение Пуассона. Следовательно, когда λ очень мало, решение приближается к решению неэкранированного уравнения Пуассона, которое по размерности ${\displaystyle n=3}$, является суперпозицией 1 /р функции, взвешенные функцией источника ж:

${\displaystyle u(\mathbf {r} )_{({\text{Poisson}})}=\iiint \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$

С другой стороны, когда λ очень большой, ты приближается к стоимости f / λ², которая стремится к нулю при λ уходит в бесконечность. Как мы увидим, решение для промежуточных значений λ ведет себя как суперпозиция экранированный (или с демпфированием) 1 /р функции, с λ ведет себя как сила экранирования.

Экранированное уравнение Пуассона можно решить для общих ж используя метод Функции Грина. Функция Грина грамм определяется

${\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r} ),}$

где δ³ это дельта-функция с единичной массой, сосредоточенной в начале р³.

Предполагая ты и его производные исчезают в целом р, мы можем выполнить непрерывное преобразование Фурье в пространственных координатах:

${\displaystyle G(\mathbf {k} )=\iiint \mathrm {d} ^{3}r\;G(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$

где интеграл берется по всему пространству. Тогда несложно показать, что

${\displaystyle \left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k} )=1.}$

Функция Грина в р поэтому дается обратным преобразованием Фурье,

${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\iiint \mathrm {d} ^{3}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.}$

Этот интеграл можно вычислить с помощью сферические координаты в k-Космос. Интегрирование по угловым координатам выполняется просто, и интеграл сводится к единице по радиальному волновое число ${\displaystyle k_{r}}$:

${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int _{0}^{+\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,\sin k_{r}r}{k_{r}^{2}+\lambda ^{2}}}.}$

Это можно оценить с помощью контурная интеграция. Результат:

${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-\lambda r}}{4\pi r}}.}$

Тогда решение полной проблемы дается

${\displaystyle u(\mathbf {r} )=\int \mathrm {d} ^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {e^{-\lambda |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}f(\mathbf {r} ').}$

Как указано выше, это суперпозиция экранированных 1 /р функции, взвешенные функцией источника ж и с λ действуя как сила скрининга. Показанный 1 /р функция часто встречается в физике как экранированный кулоновский потенциал, также называемый "Потенциал Юкавы ".

Два измерения

В двух измерениях: в случае намагниченной плазмы экранированное уравнение Пуассона является квазидвумерным:

${\displaystyle \left(\Delta _{\perp }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)u(\mathbf {r} _{\perp })=-f(\mathbf {r} _{\perp })}$

с ${\displaystyle \Delta _{\perp }=\nabla \cdot \nabla _{\perp }}$ и ${\displaystyle \nabla _{\perp }=\nabla -{\frac {\mathbf {B} }{B}}\cdot \nabla }$, с участием ${\displaystyle \mathbf {B} }$ магнитное поле и ${\displaystyle \rho }$ это (ион) Ларморовский радиус.Двумерный Преобразование Фурье связанных Функция Грина является:

${\displaystyle G(\mathbf {k_{\perp }} )=\iint d^{2}r~G(\mathbf {r} _{\perp })e^{-i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}.}$

Двухмерное экранированное уравнение Пуассона дает:

${\displaystyle \left(k_{\perp }^{2}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)G(\mathbf {k} _{\perp })=1}$.

В Функция Грина поэтому дается обратное преобразование Фурье:

${\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\;\iint \mathrm {d} ^{2}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}}{k_{\perp }^{2}+1/\rho ^{2}}}.}$

Этот интеграл можно вычислить с помощью полярные координаты в k-пространство:

${\displaystyle \mathbf {k} _{\perp }=(k_{r}\cos(\theta ),k_{r}\sin(\theta ))}$

Интегрирование по угловой координате дает Функция Бесселя, а интеграл сводится к единице по радиальному волновое число ${\displaystyle k_{r}}$:

${\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{2\pi }}\;\int _{0}^{+\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,J_{0}(k_{r}r_{\perp })}{k_{r}^{2}+1/\rho ^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}K_{0}(r_{\perp }\,/\,\rho ).}$

Смотрите также

• Юкава взаимодействие

Рекомендации

1. Камрин, Кен; Коваль, Георг (26 апреля 2012 г.). «Нелокальное определяющее соотношение для устойчивого гранулированного потока» (PDF). Письма с физическими проверками. 108 (17): 178301. Bibcode:2012PhRvL.108q8301K. Дои:10.1103 / PhysRevLett.108.178301. PMID  22680912.