Потенциал Юкавы - Yukawa potential - Wikipedia

В частица, атомный и физика конденсированного состояния, а Потенциал Юкавы (также называемый экранированный Кулоновский потенциал) это потенциал формы

${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}},}$

куда грамм - масштабная постоянная величины, т.е. амплитуда потенциала, м - масса частицы, р - радиальное расстояние до частицы, а α - еще одна константа масштабирования, так что ${\displaystyle r\approx {\tfrac {1}{\alpha m}}}$ приблизительный диапазон. Потенциал монотонно возрастающий в р и это отрицательно, подразумевая сила притягательна. В системе СИ единица измерения потенциала Юкавы - (1 / м).

В Кулоновский потенциал из электромагнетизм является примером потенциала Юкавы с ${\displaystyle e^{-\alpha mr}}$ коэффициент равен 1, везде. Это можно интерпретировать как утверждение, что фотон масса м равно 0.

Во взаимодействии между мезон поле и фермион поле, постоянная грамм равно константа связи датчика между этими полями. В случае ядерная сила, фермионы были бы протон и другой протон или нейтрон.

История

До Хидеки Юкава газета 1935 года,^[1] физики изо всех сил пытались объяснить результаты атомной модели Джеймса Чедвика, которая состояла из положительно заряженных протонов и нейтронов, упакованных внутри небольшого ядра с радиусом порядка 10⁻¹⁴ метров. Физики знали, что электромагнитные силы такой длины заставят эти протоны отталкиваться друг от друга, а ядро ​​развалится.^[2] Так возникла мотивация для дальнейшего объяснения взаимодействий между элементарными частицами. В 1932 г. Вернер Гейзенберг предложил «Platzwechsel» (миграционное) взаимодействие между нейтронами и протонами внутри ядра, в котором нейтроны были составными частицами протонов и электронов. Эти составные нейтроны испускают электроны, создавая силу притяжения с протонами, а затем сами превращаются в протоны. Когда в 1933 г. Сольвей Конференция Гейзенберг предложил свое взаимодействие, физики подозревали, что оно имеет две формы:

${\displaystyle J(r)=ae^{-br}\quad {\textrm {or}}\quad J(r)=ae^{-br^{2}}}$

из-за его малой дальности.^[3] Однако в его теории было много вопросов. А именно, для электрона со спином 1/2 и протон спина 1/2 добавить к нейтронному спину 1/2. То, как Гейзенберг рассматривал этот вопрос, впоследствии сформировало идеи изоспин.

Идея Гейзенберга об обменном взаимодействии (а не кулоновской силе) между частицами внутри ядра побудила Ферми сформулировать свои идеи относительно бета-распад в 1934 г.^[3] Нейтрон-протонное взаимодействие Ферми не было основано на «миграции» нейтрона и протонов между собой. Вместо этого Ферми предложил испускание и поглощение двух легких частиц: нейтрино и электрона, а не только электрона (как в теории Гейзенберга). Пока Взаимодействие Ферми Решили вопрос о сохранении момента количества движения и момента импульса советские физики Игорь Тамм и Дмитрий Иванеко продемонстрировал, что сила, связанная с испусканием нейтрино и электронов, недостаточно сильна, чтобы связать протоны и нейтроны в ядре.^[4]

В своей статье, опубликованной в феврале 1935 года, Хидеки Юкава объединяет идею ближнего силового взаимодействия Гейзенберга и идею Ферми об обменной частице, чтобы решить проблему взаимодействия нейтрона и протона. Он вывел потенциал, который включает член экспоненциального затухания (${\displaystyle e^{-\alpha mr}}$) и электромагнитный член (${\displaystyle 1/r}$). По аналогии с квантовая теория поля Юкава знал, что потенциал и соответствующее ему поле должны быть результатом обменной частицы. В случае QED, эта обменная частица была фотон 0 масс. В случае Юкавы обменная частица имела некоторую массу, которая была связана с диапазоном взаимодействия (определяемым соотношением ${\displaystyle {\tfrac {1}{\alpha m}}}$). Поскольку радиус действия ядерной силы был известен, Юкава использовал свое уравнение, чтобы предсказать, что масса частицы-посредника примерно в 200 раз больше массы электрона. Физики назвали эту частицу "мезон, "поскольку его масса находилась посередине между протоном и электроном. Мезон Юкавы был обнаружен в 1947 году и стал известен как пион.^[4]

Связь с кулоновским потенциалом

Рисунок 1: Сравнение потенциалов Юкавы, где грамм= 1 и с различными значениями для м.

Фигура 2: «Дальнее» сравнение сил Юкавы и Кулона, где грамм=1.

Если частица не имеет массы (т.е. м= 0), то потенциал Юкавы сводится к кулоновскому потенциалу, и диапазон называется бесконечным. Фактически у нас есть:

${\displaystyle m=0\Rightarrow e^{-\alpha mr}=e^{0}=1.}$

Следовательно, уравнение

${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}\;{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}}}$

упрощается до вида кулоновского потенциала

${\displaystyle V_{\text{Coulomb}}(r)=-g^{2}\;{\frac {1}{r}}.}$

где мы устанавливаем постоянную масштабирования равной:

${\displaystyle g^{2}={\frac {q_{1}q_{2}}{~4\pi \epsilon _{0}~}}\quad }$^[5]

Сравнение дальнодействующего потенциала Юкавы и Кулона показано на рисунке 2. Можно видеть, что кулоновский потенциал действует на большем расстоянии, тогда как потенциал Юкавы довольно быстро приближается к нулю. Однако любой потенциал Юкавы или кулоновский потенциал отличен от нуля для любых больших р.

преобразование Фурье

Самый простой способ понять, что потенциал Юкавы связан с массивным полем, - это изучить его преобразование Фурье. Надо

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-g^{2}}{(2\pi )^{3}}}\int e^{i\mathbf {k\cdot r} }{\frac {4\pi }{k^{2}+(\alpha m)^{2}}}\;\operatorname {d} ^{3}k}$

где интеграл ведется по всем возможным значениям 3-векторных импульсов k. В этой форме и установив коэффициент масштабирования на единицу, ${\displaystyle \alpha =1}$, дробь ${\displaystyle {\frac {4\pi }{~k^{2}+m^{2}~}}}$ считается пропагатор или же Функция Грина из Уравнение Клейна – Гордона.

Амплитуда Фейнмана

Обмен одиночными частицами.

Потенциал Юкавы может быть получен как амплитуда низшего порядка взаимодействия пары фермионов. В Юкава взаимодействие связывает фермионное поле ${\displaystyle \psi (x)}$ к мезонному полю ${\displaystyle \phi (x)}$ со связующим членом

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }(x)=g~{\overline {\psi }}(x)~\phi (x)~\psi (x)~.}$

В амплитуда рассеяния для двух фермионов один с начальным импульсом ${\displaystyle p_{1}}$ а другой с импульсом ${\displaystyle p_{2}}$, обмениваясь мезоном с импульсом k, дается Диаграмма Фейнмана справа.

Правила Фейнмана для каждой вершины связывают фактор грамм с амплитудой; так как эта диаграмма имеет две вершины, общая амплитуда будет иметь коэффициент ${\displaystyle g^{2}}$. Линия в середине, соединяющая две линии фермионов, представляет собой обмен мезоном. Правило Фейнмана для обмена частицами заключается в использовании пропагатора; пропагатор массивного мезона ${\displaystyle {\frac {-4\pi }{~k^{2}+m^{2}~}}}$. Таким образом, мы видим, что амплитуда Фейнмана для этого графика не более чем

${\displaystyle V(\mathbf {k} )=-g^{2}{\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}~.}$

Из предыдущего раздела видно, что это преобразование Фурье потенциала Юкавы.

Собственные значения уравнения Шредингера

Радиальное уравнение Шредингера с потенциалом Юкавы можно решить пертурбативно.^{[6][7][8](гл. 16)} Используя радиальное уравнение Шредингера в виде

${\displaystyle \left[~{\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\operatorname {d} r^{2}}}+k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-V(r)~\right]~\Psi \left(\ell ,\,k;~r\right)=0~,}$

и потенциал Юкавы в степенной форме

${\displaystyle V(r)=\sum _{i=-1}^{\infty }M_{i+1}(-r)^{i},}$

и установка ${\displaystyle K=ik}$, для момента количества движения получаем ${\displaystyle \ell }$ выражение

${\displaystyle \ell +n+1=-{\frac {~\Delta _{n}(K)~}{2K}}}$

за ${\displaystyle |K|\rightarrow \infty ,}$ куда

${\displaystyle \Delta _{n}(K)=M_{0}-{\frac {1}{2K^{2}}}{\Bigl [}~n(n+1)M_{2}+M_{0}M_{1}~{\Bigr ]}-{\frac {(2n+1)M_{0}M_{2}}{4K^{3}}}}$

${\displaystyle \quad +~{\frac {1}{8K^{4}}}{\Bigl [}~3M_{4}(n-1)n(n+1)(n+2)+2M_{3}M_{0}(3n^{2}+3n-1)}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +~6M_{2}M_{1}n(n+1)+2M_{2}M_{0}^{2}+3{M_{1}}^{2}M_{0}~{\Bigr ]}}$

${\displaystyle \quad +~{\frac {(2n+1)}{8K^{5}}}{\Bigl [}~3M_{4}M_{0}(n^{2}+n-1)+3M_{3}M_{0}^{2}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +~M_{2}^{2}n(n+1)+4M_{2}M_{1}M_{0}~{\Bigr ]}\quad +\quad O\left({\frac {1}{K^{7}}}\right)~.}$

Установка всех коэффициентов ${\displaystyle M_{i}}$ Кроме ${\displaystyle M_{0}}$ равным нулю, получаем известное выражение для собственного значения Шредингера для кулоновского потенциала и радиального квантового числа п является положительным целым числом или нулем как следствие граничных условий, которым должны удовлетворять волновые функции кулоновского потенциала. В случае потенциала Юкавы наложение граничных условий сложнее. Таким образом, в деле Юкавы ${\displaystyle \nu =n}$ является лишь приближением, и параметр ${\displaystyle \nu }$ заменяет целое число п действительно представляет собой асимптотическое разложение, подобное приведенному выше, с первым приближением целочисленного значения соответствующего кулоновского случая. Вышеупомянутое разложение для орбитального углового момента или Траектория Редже ${\displaystyle \ell (K)}$ можно перевернуть для получения собственных значений энергии или, что то же самое, ${\displaystyle |K|^{2}~.}$ Получается:^[9]

${\displaystyle |K|^{2}=-M_{1}+{\frac {M_{0}^{2}}{4(\ell +n+1)^{2}}}{\biggl \{}~1-4n(n+1)(\ell +n+1)^{2}{\frac {M_{2}}{M_{0}}}+4(2n+1)(\ell +n+1)^{2}{\frac {M_{2}}{M_{0}^{3}}}}$

${\displaystyle \quad +~4{\frac {(\ell +n+1)^{4}}{M_{0}^{6}}}{\Bigl [}~3M_{4}M_{0}(n-1)n(n+1)(n+2+3)}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -~3M_{2}^{2}n^{2}(n+1)^{2}+2M_{3}M_{0}^{2}(3n^{2}+3n-1)+2M_{2}M_{0}^{3}~{\Bigr ]}}$

${\displaystyle \quad -~24{\frac {(2n+1)(\ell +n+1)^{5}}{M_{0}^{6}}}{\Bigl [}~M_{0}M_{4}(n^{2}+n-1)+M_{0}^{3}M_{3}-M_{2}^{2}n(n+1)~{\Bigr ]}}$

${\displaystyle \quad -~4{\frac {(\ell +n+1)^{6}}{M_{0}^{9}}}{\Bigl [}~10M_{6}M_{0}^{2}(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad +~~4M_{3}M_{0}^{5}+2M_{5}M_{0}^{3}{\Bigl (}~5n(n+1)(3n^{2}+3n-10)+12~{\Bigr )}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad +~~2M_{4}M_{0}^{4}(6n^{2}+6n-11)+2M_{2}^{2}M_{0}^{3}(9n^{2}+9n-1)}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad -~10M_{3}M_{2}M_{0}^{2}n(n+1)(3n^{2}+3n+2)+20M_{2}^{3}n^{3}(n+1)^{3}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad -~30M_{4}M_{2}M_{0}(n-1)n^{2}(n+1)^{2}(n+2)~{\Bigr ]}\quad +\quad ...{\biggr \}}~.}$

Приведенное выше асимптотическое разложение углового момента ${\displaystyle \ell (K)}$ в порядке убывания K также можно получить с помощью Метод ВКБ. Однако в этом случае, как и в случае с Кулоновский потенциал выражение ${\displaystyle \ell (\ell +1)}$ в центробежном члене уравнения Шредингера должен быть заменен на ${\displaystyle (\ell +{\tfrac {1}{2}})^{2}}$, как первоначально утверждал Лангер,^[10] причина в том, что сингулярность слишком сильна для неизменного применения Метод ВКБ. Правильность этого рассуждения следует из вывода ВКБ правильного результата в кулоновском случае (с Коррекция Лангера ),^[8](p404) и даже вышеуказанного разложения в случае Юкавы с приближениями ВКБ более высокого порядка.^[11]

Поперечное сечение

Мы можем вычислить дифференциальное сечение между протоном или нейтроном и пионом, используя потенциал Юкавы. Мы используем Борновское приближение, который говорит нам, что в сферически симметричном потенциале мы можем аппроксимировать исходящую рассеянную волновую функцию как сумму входящей плоской волновой функции и небольшого возмущения:

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})\approx A{\bigg [}(e^{ipr})+{\frac {e^{ipr}}{r}}f(\theta ){\bigg ]}}$

куда ${\displaystyle {\vec {p}}=p{\hat {z}}}$ - набегающий импульс частицы. Функция ${\displaystyle f(\theta )}$ дан кем-то:

${\displaystyle f(\theta )={\frac {-2\,\mu }{~\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|~}}\,\int \limits _{0}^{\infty }r\,V(r)\,\sin {\left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|\,r\,\right)}~\operatorname {d} r~}$

куда ${\displaystyle ~{\vec {p}}'=p\,{\hat {r}}~}$ - исходящий рассеянный импульс частицы и ${\displaystyle \mu }$ масса падающих частиц (не путать с ${\displaystyle m,}$ масса пиона). Мы рассчитываем ${\displaystyle f(\theta )}$ подключив ${\displaystyle V_{Yukawa}}$:

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\,\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,g^{2}\,\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\alpha mr}\,\sin {\left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|\,r\right)}\operatorname {d} r~}$

Оценка интеграла дает

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\,\mu \,g^{2}}{~\hbar ^{2}\,\left[(\alpha m)^{2}+\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|^{2}\right]~}}~}$

Энергосбережение подразумевает

${\displaystyle {\bigl |}{\vec {p}}{\bigr |}={\bigl |}{\vec {p}}'{\bigr |}=p~}$

так что

${\displaystyle \left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|=2\,p\,\sin \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)~}$

Подключив, получаем:

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\,\mu \,g^{2}}{\hbar ^{2}\,\left[\,(\alpha m)^{2}+4\,p^{2}\,\sin ^{2}\left({{\tfrac {1}{2}}\theta }\right)\,\right]}}~}$

Таким образом, мы получаем дифференциальное сечение:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} \Omega }}=\left|f(\theta )\right|^{2}={\frac {4\,\mu \,g^{4}}{\hbar ^{4}\,\left[\,(\alpha m)^{2}+4\,p^{2}\,\sin ^{2}\left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)\,\right]^{2}}}~}$^[5]

Суммируя, получаем полное сечение:

${\displaystyle \sigma =\int {\frac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} \Omega }}\operatorname {d} \Omega ={\frac {4\,\mu \,g^{4}}{\hbar ^{4}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {2\pi \sin(\theta )\operatorname {d} \theta }{\left[\,(\alpha m)^{2}+4\,p^{2}\,\sin ^{2}\left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)\,\right]^{2}}}={\frac {4\,\mu \,g^{4}}{\hbar ^{4}}}{\frac {4\pi }{(\alpha m)^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\right]}}}$

Смотрите также

• Юкава взаимодействие
• Экранированное уравнение Пуассона
• Бесселев потенциал

Рекомендации

1. Юкава, Х. (1935). «О взаимодействии элементарных частиц». Proc. Phys. Математика. Soc. Япония. 17: 48.
2. Линкольн, Дон (2004). Понимание Вселенной: от кварков до космоса. Сингапур: World Scientific. стр.75 –78. ISBN  978-9812387035.
3. Миллер, Артур I. (1985). «Вернер Гейзенберг и начало ядерной физики». Физика сегодня. 38 (11): 60–68. Bibcode:1985ФТ .... 38к..60М. Дои:10.1063/1.880993.
4. Браун, Лори М. (1986). «Хидеки Юкава и мезонная теория». Физика сегодня. 39 (12): 55–62. Bibcode:1986ФТ .... 39л..55Б. Дои:10.1063/1.881048.
5. Гриффитс, Дэвид Дж. (2017). Введение в квантовую механику. Кембридж, Соединенное Королевство: Издательство Кембриджского университета. п. 415. ISBN  978-1-107-17986-8.
6. Мюллер, H.J.W. (1965). "Редже-полюс в nichtrelativistischen Potentialstreuung". Annalen der Physik (на немецком). 470 (7–8): 395–411. Bibcode:1965АнП ... 470..395М. Дои:10.1002 / andp.19654700708.
7. Müller, H.J.W .; Шильхер, К. (февраль 1968 г.). «Рассеяние высоких энергий для потенциалов Юкавы». Журнал математической физики. 9 (2): 255–259. Дои:10.1063/1.1664576.
8. Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В. (2012). Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по путям (2-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN  978-9814397735.
9. Мюллер, H.J.W. (1965). «О вычислении траекторий Редже в нерелятивистском потенциальном рассеянии». Physica. 31 (5): 688–692. Bibcode:1965Phy .... 31..688M. Дои:10.1016/0031-8914(65)90006-6.
10. Лангер, Рудольф Э. (1937). «О формулах связи и решениях волнового уравнения». Физический обзор. 51 (8): 669–676. Bibcode:1937ПхРв ... 51..669Л. Дои:10.1103 / PhysRev.51.669.
11. Boukema, J.I. (1964). «Расчет траекторий Редже в теории потенциала по В.К.Б. и вариационным методам». Physica. 30 (7): 1320–1325. Bibcode:1964Phy .... 30.1320B. Дои:10.1016/0031-8914(64)90084-9.

Источники

• Браун, Г.; Джексон, AD (1976). Нуклон-нуклонное взаимодействие. Амстердам: Издательство Северной Голландии. ISBN  0-7204-0335-9.