Сегре встраивание - Segre embedding

В математика, то Сегре встраивание используется в проективная геометрия рассмотреть декартово произведение (наборов) из двух проективные пространства как проективное разнообразие. Он назван в честь Коррадо Сегре.

Определение

В Карта Сегре можно определить как карту

${\displaystyle \sigma :P^{n}\times P^{m}\to P^{(n+1)(m+1)-1}\ }$

взяв пару очков ${\displaystyle ([X],[Y])\in P^{n}\times P^{m}}$ к их продукту

${\displaystyle \sigma :([X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}],[Y_{0}:Y_{1}:\cdots :Y_{m}])\mapsto [X_{0}Y_{0}:X_{0}Y_{1}:\cdots :X_{i}Y_{j}:\cdots :X_{n}Y_{m}]\ }$

(в Икс_яY_j взяты в лексикографический порядок ).

Вот, ${\displaystyle P^{n}}$ и ${\displaystyle P^{m}}$ проективны векторные пространства над произвольным поле, а обозначение

${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}]\ }$

это из однородные координаты на пространстве. Изображение карты представляет собой разновидность, называемую Сегре разновидность. Иногда его пишут как ${\displaystyle \Sigma _{n,m}}$.

Обсуждение

На языке линейная алгебра, для данного векторные пространства U и V над тем же поле K, есть естественный способ сопоставить их декартово произведение с их тензорное произведение.

${\displaystyle \varphi :U\times V\to U\otimes V.\ }$

В общем, это не обязательно инъективный потому что для ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle V}$ и любые ненулевые ${\displaystyle c}$ в ${\displaystyle K}$,

${\displaystyle \varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{-1}v=\varphi (cu,c^{-1}v).\ }$

Рассматривая основные проективные пространства п(U) и п(V) это отображение становится морфизмом многообразий

${\displaystyle \sigma :P(U)\times P(V)\to P(U\otimes V).\ }$

Это не только инъективно в теоретико-множественном смысле: это закрытое погружение в том смысле алгебраическая геометрия. То есть можно задать систему уравнений для изображения. За исключением проблем с обозначениями, легко сказать, что это за уравнения: они выражают два способа разложения произведений координат из тензорного произведения, полученных двумя разными способами: что-то из U раз что-то из V.

Это отображение или морфизм σ это Сегре встраивание. Подсчитывая размерности, он показывает, как произведение проективных пространств измерений м и п встраивается в измерение

${\displaystyle (m+1)(n+1)-1=mn+m+n.\ }$

В классической терминологии координаты на товаре называются мультиоднородный, а произведение обобщено на k факторы k-образное проективное пространство.

Свойства

Сорт Сегре является примером детерминантное разнообразие; это нулевое геометрическое место миноров 2 × 2 матрицы ${\displaystyle (Z_{i,j})}$. То есть многообразие Сегре является общим нулевым локусом квадратичные многочлены

${\displaystyle Z_{i,j}Z_{k,l}-Z_{i,l}Z_{k,j}.\ }$

Вот, ${\displaystyle Z_{i,j}}$ понимается как естественная координата на изображении карты Сегре.

Сорт Сегре ${\displaystyle \Sigma _{n,m}}$ является категориальным продуктом ${\displaystyle P^{n}\ }$ и ${\displaystyle P^{m}}$.^[1]Проекция

${\displaystyle \pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\ }$

к первому множителю может быть задано m + 1 отображениями на открытых подмножествах, покрывающих многообразие Сегре, которые согласовывают пересечения подмножеств. Для фиксированных ${\displaystyle j_{0}}$, карта выдается отправкой ${\displaystyle [Z_{i,j}]}$ к ${\displaystyle [Z_{i,j_{0}}]}$. Уравнения ${\displaystyle Z_{i,j}Z_{k,l}=Z_{i,l}Z_{k,j}\ }$ убедитесь, что эти карты согласуются друг с другом, потому что если ${\displaystyle Z_{i_{0},j_{0}}\neq 0}$ у нас есть ${\displaystyle [Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{0}}Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{1}}Z_{i,j_{0}}]=[Z_{i,j_{0}}]}$.

Слои произведения - линейные подпространства. То есть пусть

${\displaystyle \pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\ }$

быть проекцией на первый фактор; и аналогично ${\displaystyle \pi _{Y}}$ для второго фактора. Тогда изображение карты

${\displaystyle \sigma (\pi _{X}(\cdot ),\pi _{Y}(p)):\Sigma _{n,m}\to P^{(n+1)(m+1)-1}\ }$

для фиксированной точки п является линейным подпространством codomain.

Примеры

Квадрик

Например с м = п = 1 получаем вложение произведения проективная линия с собой в п³. Изображение - это квадрика, и, как легко видеть, содержит два однопараметрических семейства линий. Над сложные числа это довольно общий неособый квадрика. Сдача

${\displaystyle [Z_{0}:Z_{1}:Z_{2}:Z_{3}]\ }$

быть однородные координаты на п³, эта квадрика задается как геометрическое место нулей квадратичного многочлена, заданного детерминант

${\displaystyle \det \left({\begin{matrix}Z_{0}&Z_{1}\\Z_{2}&Z_{3}\end{matrix}}\right)=Z_{0}Z_{3}-Z_{1}Z_{2}.\ }$

Сегре тройной

Карта

${\displaystyle \sigma :P^{2}\times P^{1}\to P^{5}}$

известен как Сегре тройной. Это пример рациональной нормальной прокрутки. Пересечение трехмерного многообразия Сегре и трехплоскости ${\displaystyle P^{3}}$ это витая кубическая кривая.

Веронезе сорт

Изображение диагонали ${\displaystyle \Delta \subset P^{n}\times P^{n}}$ под картой Сегре находится Веронезе сорт второй степени

${\displaystyle \nu _{2}:P^{n}\to P^{n^{2}+2n}.\ }$

Приложения

Поскольку отображение Сегре является категориальным произведением проективных пространств, это естественное отображение для описания не-запутанные состояния в квантовая механика и квантовая теория информации. Точнее, карта Сегре описывает, как брать продукты проективные гильбертовы пространства.

В алгебраическая статистика, Разновидности Сегре соответствуют моделям независимости.

Вложение Сегре п²×п² в п⁸ единственный Сорт Севери размерности 4.

использованная литература

1. МакКернан, Джеймс (2010). «Курс алгебраической геометрии, лекция 6: Изделия и изделия из волокна» (PDF). материалы онлайн-курса. Получено 11 апреля 2014.

• Харрис, Джо (1995), Алгебраическая геометрия: первый курс, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97716-4
• Хассет, Брендан (2007), Введение в алгебраическую геометрию, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 154, г. Дои:10.1017 / CBO9780511755224, ISBN  978-0-521-69141-3, Г-Н  2324354