Переписка Шимуры - Shimura correspondence

В теория чисел, то Переписка Шимуры это соответствие между модульные формы F половинного интегрального веса k+1/2 и модульные формы ж четного веса 2k, обнаруженный Горо Шимура  (1973 ). Он обладает тем свойством, что собственное значение Оператор Гекке Т_п² на F равно собственному значению Т_п на ж.

Позволять ${\displaystyle f}$ - голоморфная параболическая форма с весом ${\displaystyle (2k+1)/2}$ и характер ${\displaystyle \chi }$ . Для любого простого числа п, позволять

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)n^{-s}=\prod _{p}(1-\omega _{p}p^{-s}+(\chi _{p})^{2}p^{2k-1-2s})^{-1}\ ,}$

куда ${\displaystyle \omega _{p}}$являются собственными значениями Операторы Гекке ${\displaystyle T(p^{2})}$ определяется по п.

С использованием функциональное уравнение из L-функция, Шимура показало, что

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)q^{n}}$

является голоморфным модульная функция с весом 2k и характер ${\displaystyle \chi ^{2}}$ .

Доказательство Шимуры использует Свертка Ранкина-Сельберга из ${\displaystyle f(z)}$ с тета-серией ${\displaystyle \theta _{\psi }(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\psi (n)n^{\nu }e^{2i\pi n^{2}z}\ ({\scriptstyle \nu ={\frac {1-\psi (-1)}{2}}})}$ для различных персонажей Дирихле ${\displaystyle \psi }$ затем применяется Обратная теорема Вейля.

Рекомендации

• Бамп, Д. (2001) [1994], "Переписка Симуры", Энциклопедия математики, EMS Press
• Шимура, Горо (1973), "О модульных формах полуцелого веса", Анналы математики, Вторая серия, 97: 440–481, Дои:10.2307/1970831, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970831, МИСТЕР  0332663