Теорема Сольера - Solèrs theorem - Wikipedia

В математика, Теорема солера является результатом о некоторых бесконечномерных векторные пространства. В нем говорится, что любой ортомодулярный форма, имеющая бесконечную ортонормированную последовательность, является Гильбертово пространство над действительные числа, сложные числа или же кватернионы.^[1][2] Первоначально доказано Мария Пиа Сольер, результат значим для квантовая логика^[3][4] и основы квантовая механика.^[5][6] В частности, теорема Соля помогает восполнить пробел в попытках использовать Теорема Глисона вывести квантовую механику из теоретико-информационный постулаты.^[7][8]

Физик Джон К. Баэз Примечания,

Ничто в предположениях не упоминает континуум: гипотезы чисто алгебраические. Поэтому кажется довольно волшебным, что [ делительное кольцо над которым определяется гильбертово пространство] вынужден быть действительными числами, комплексными числами или кватернионами.^[6]

Написав через десять лет после первоначальной публикации Солера, Питовски называет свою теорему «знаменитой».^[7]

Заявление

Позволять ${\displaystyle \mathbb {K} }$ быть делительное кольцо. Это означает, что это звенеть в котором можно складывать, вычитать, умножать и делить, но в котором умножение не обязательно коммутативный. Предположим, что это кольцо имеет сопряжение, т.е. операцию ${\displaystyle x\mapsto x^{*}}$ для которого

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*},\\&(xy)^{*}=y^{*}x^{*}{\text{ (the order of multiplication is inverted), and }}\\&(x^{*})^{*}=x.\end{aligned}}}$

Рассмотрим векторное пространство V со скалярами в ${\displaystyle \mathbb {K} }$, и отображение

${\displaystyle (u,v)\mapsto \langle u,v\rangle \in \mathbb {K} }$

который ${\displaystyle \mathbb {K} }$ -линейный в левой (или правой) записи, удовлетворяющий тождеству

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle v,u\rangle ^{*}.}$

Это называется эрмитовой формой. Предположим, что эта форма невырождена в том смысле, что

${\displaystyle \langle u,v\rangle =0{\text{ for all values of }}u{\text{ only if }}v=0.}$

Для любого подпространства S позволять ${\displaystyle S^{\bot }}$ быть ортогональным дополнением кS. Назовем подпространство «закрытым», если ${\displaystyle S^{\bot \bot }=S.}$

Назовите все это векторное пространство и эрмитову форму «ортомодулярной», если для каждого замкнутого подпространства S у нас есть это ${\displaystyle S+S^{\bot }}$ это все пространство. (Термин «ортомодулярный» происходит от изучения квантовой логики. В квантовой логике распределительный закон считается провалом из-за принцип неопределенности, и он заменяется «модулярным законом» или, в случае бесконечномерных гильбертовых пространств, «ортомодулярным законом».^[6])

Набор векторов ${\textstyle u_{i}\in V}$ называется ортонормированным, если

$${\displaystyle \langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$$

Результат такой:

Если это пространство имеет бесконечное ортонормированное множество, то тело скаляров представляет собой либо поле действительных чисел, либо поле комплексных чисел, либо кольцо кватернионы.

Рекомендации

1. Солер, М. П. (1 января 1995 г.). «Характеризация гильбертовых пространств ортомодулярными пространствами». Коммуникации в алгебре. 23 (1): 219–243. Дои:10.1080/00927879508825218. ISSN  0092-7872.
2. Престель, Александр (1995-12-01). «О характеризации Солома гильбертовых пространств». Manuscripta Mathematica. 86 (1): 225–238. Дои:10.1007 / bf02567991. ISSN  0025-2611.
3. Кок, Боб; Мур, Дэвид; Вилс, Александр (2000). «Операционная квантовая логика: обзор». Текущие исследования в области оперативной квантовой логики. Спрингер, Дордрехт. С. 1–36. arXiv:Quant-ph / 0008019. Дои:10.1007/978-94-017-1201-9_1. ISBN  978-90-481-5437-1.
4. Аэртс, Дидерик; Ван Стейртегем, Барт (1 марта 2000 г.). «Квантовая аксиоматика и теорема М. П. Солера». Международный журнал теоретической физики. 39 (3): 497–502. arXiv:Quant-ph / 0105107. Дои:10.1023 / а: 1003661015110. ISSN  0020-7748.
5. Холланд, Сэмюэл С. (1995). "Ортомодулярность в бесконечных измерениях; теорема М. Солера". Бюллетень Американского математического общества. 32 (2): 205–234. arXiv:математика / 9504224. Дои:10.1090 / s0273-0979-1995-00593-8. ISSN  0273-0979.
6. Баэз, Джон С. (1 декабря 2010 г.). "Теорема Слера". Кафе n-категории. Получено 2017-07-22.
7. Питовски, Итамар (2006). «Квантовая механика как теория вероятностей». Физическая теория и ее интерпретация. Серия Западного Онтарио по философии науки. 72. Спрингер, Дордрехт. С. 213–240. arXiv:Quant-ph / 0510095. Дои:10.1007/1-4020-4876-9_10. ISBN  978-1-4020-4875-3.
8. Гринбаум, Алексей (01.09.2007). «Реконструкция квантовой теории» (PDF). Британский журнал философии науки. 58 (3): 387–408. Дои:10.1093 / bjps / axm028. ISSN  0007-0882.
   Cassinelli, G .; Лахти, П. (13 ноября 2017 г.). «Квантовая механика: почему комплексное гильбертово пространство?». Философские труды Королевского общества A. 375 (2106): 20160393. Bibcode:2017RSPTA.37560393C. Дои:10.1098 / rsta.2016.0393. ISSN  1364-503X. PMID  28971945.