Спиноры в трех измерениях - Spinors in three dimensions

В математика, то спинор концепция как специализированная для три измерения можно лечить с помощью традиционных представлений о скалярное произведение и перекрестное произведение. Это часть подробного алгебраического обсуждения группы вращений ТАК (3).

Формулировка

Ассоциация спинора с комплексом 2 × 2 Эрмитова матрица был сформулирован Эли Картан.^[1]

Подробно, учитывая вектор Икс = (Икс₁, Икс₂, Икс₃) действительных (или комплексных) чисел, можно связать комплексную матрицу

${displaystyle {vec {x}}ightarrow X =left({egin{matrix}x_{3}&x_{1}-ix_{2}x_{1}+ix_{2}&-x_{3}end{matrix}}ight).}$

В физике это часто записывается как скалярное произведение ${displaystyle Xequiv {f {sigma }}.{f {x}}}$, куда ${displaystyle {f {sigma }}equiv (sigma _{1},sigma _{2},sigma _{3})}$ векторная форма Матрицы Паули. Матрицы этой формы обладают следующими свойствами, которые внутренне связывают их с геометрией 3-мерного пространства:

• Det Икс = - (длина Икс)², где "det" обозначает детерминант.
• Икс ² = (длина Икс)²я, куда я - единичная матрица.
• ${displaystyle {frac {1}{2}}(XY+YX)=({mathbf {x} }cdot {mathbf {y} })I}$ ^[1]:43
• ${displaystyle {frac {1}{2}}(XY-YX)=iZ}$ куда Z матрица, связанная с кросс-произведением z = Икс × у.
• Если ты является единичным вектором, то -UXU - матрица, связанная с вектором, полученным из Икс отражением в плоскости, ортогональной ты.
• Это элементарный факт из линейная алгебра что любое вращение в 3-м пространстве складывается из двух отражений. (Точно так же любое ортогональное преобразование с изменением ориентации является либо отражением, либо произведением трех отражений.) Таким образом, если р это вращение, которое распадается как отражение в плоскости, перпендикулярной единичному вектору ты₁ с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной ты₂, то матрица U₂U₁XU₁U₂ представляет собой вращение вектора Икс через р.

Эффективно закодировав всю вращательную линейную геометрию 3-пространства в набор комплексных матриц 2 × 2, естественно спросить, какую роль, если таковые имеются, матрицы 2 × 1 (т. Е. вектор-столбец ) играть в. Предварительно спинор вектор-столбец

${displaystyle xi =left[{egin{matrix}xi _{1}xi _{2}end{matrix}}ight],}$ со сложными записями ξ₁ и ξ₂.

На пространство спиноров, очевидно, действуют комплексные матрицы 2 × 2. Кроме того, произведение двух отражений в данной паре единичных векторов определяет матрицу 2 × 2, действие которой на евклидовы векторы является вращением, поэтому есть действие вращений на спиноры. Однако есть одна важная оговорка: факторизация вращения не уникальна. Очевидно, что если Икс → RXR⁻¹ является представлением вращения, то заменяя р автор -р даст такое же вращение. Фактически, легко показать, что это единственная возникающая двусмысленность. Таким образом, действие вращения на спинор всегда двузначный.

Были некоторые предшественники работы Картана с комплексными матрицами 2 × 2: Вольфганг Паули использовали эти матрицы так интенсивно, что элементы определенного основа четырехмерного подпространства называются Матрицы Паули σ_я, так что эрмитова матрица записывается как Вектор Паули ${displaystyle {vec {x}}cdot {vec {sigma }}.}$^[2] В середине 19 века алгебраические операции этой алгебры четырех комплексных измерений изучались как бикватернионы.

Согласно книге Майкла Стоуна и Пола Голдбара «Математика для физики», «представления спина были открыты Эли Картаном в 1913 году, за несколько лет до того, как они стали нужны в физике», что противоречит вышеприведенному утверждению о предшественнике теории Картана. работа сделана Паули.

Изотропные векторы

Спиноры можно построить прямо из изотропные векторы в 3-м пространстве без использования кватернионной конструкции. Чтобы мотивировать это введение спиноров, предположим, что Икс матрица, представляющая вектор Икс в комплексе 3-х комнатный. Предположим далее, что Икс изотропен: т.е.

${displaystyle {mathbf {x} }cdot {mathbf {x} }=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0.}$

Тогда, поскольку определитель Икс равен нулю, между его строками или столбцами существует пропорциональность. Таким образом, матрица может быть записана как внешний продукт двух комплексных 2-векторов:

${displaystyle X=2left[{egin{matrix}xi _{1}xi _{2}end{matrix}}ight]left[{egin{matrix}-xi _{2}&xi _{1}end{matrix}}ight].}$

Эта факторизация дает сверхдетерминированная система уравнений в координатах вектора Икс:

${displaystyle left.{egin{matrix}xi _{1}^{2}-xi _{2}^{2}&=x_{1}i(xi _{1}^{2}+xi _{2}^{2})&=x_{2}-2xi _{1}xi _{2}&=x_{3}end{matrix}}ight}}$

(1)

при условии ограничения

${displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0.}$

(2)

Эта система допускает решения

${displaystyle xi _{1}=pm {sqrt {frac {x_{1}-ix_{2}}{2}}},quad xi _{2}=pm {sqrt {frac {-x_{1}-ix_{2}}{2}}}.}$

(3)

Любой выбор знака решает систему (1). Таким образом, спинор можно рассматривать как изотропный вектор наряду с выбором знака. Обратите внимание, что из-за логарифмическое ветвление, невозможно выбрать знак последовательно так, чтобы (3) непрерывно изменяется при полном вращении между координатами Икс. Несмотря на эту неоднозначность представления вращения на спиноре, вращения однозначно действуют посредством дробно-линейное преобразование по соотношению ξ₁:ξ₂ поскольку один выбор знака в решении (3) заставляет выбрать второй знак. В частности, пространство спиноров - это проективное представление ортогональной группы.

Вследствие этой точки зрения спиноры можно рассматривать как своего рода «квадратный корень» из изотропных векторов. В частности, вводя матрицу

${displaystyle C=left({egin{matrix}0&1-1&0end{matrix}}ight),}$

система (1) эквивалентно решению Икс = 2 ξ ^тξ C для неопределенного спинора ξ.

А тем более, если роли ξ и Икс теперь перевернуты, форма Q(ξ) = Икс определяет для каждого спинора ξ, вектор Икс квадратично по компонентам ξ. Если эта квадратичная форма поляризованный, он определяет билинейную векторнозначную форму на спинорах Q(μ, ξ). Затем эта билинейная форма тензорно трансформируется при отражении или вращении.

Реальность

Приведенные выше соображения одинаково применимы независимо от того, является ли рассматриваемое исходное евклидово пространство реальным или сложным. Однако, когда пространство реально, спиноры обладают некоторой дополнительной структурой, которая, в свою очередь, облегчает полное описание представления группы вращений. Предположим, для простоты, что скалярное произведение в 3-м пространстве имеет положительно определенную сигнатуру:

${displaystyle left|xight|^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}$

(4)

Согласно этому соглашению действительные векторы соответствуют эрмитовым матрицам. Кроме того, действительные повороты, сохраняющие форму (4) соответствуют (в двузначном смысле) унитарным матрицам детерминантной единицы. Говоря современным языком, это представляет собой особая унитарная группа SU (2) как двойная крышка СО (3). Как следствие, спинорное эрмитово произведение

${displaystyle langle mu |xi angle ={ar {mu }}_{1}xi _{1}+{ar {mu }}_{2}xi _{2}}$

(5)

сохраняется при всех поворотах, поэтому является каноническим.

Если, однако, сигнатура внутреннего продукта в 3-м пространстве неопределенная (то есть невырожденная, но также и не положительно определенная), то предшествующий анализ должен быть скорректирован, чтобы отразить это. Предположим тогда, что форма длины в 3-пространстве задается следующим образом:

${displaystyle left|mathbf {x} ight|^{2}=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}$

(4′)

Далее продолжается построение спиноров предыдущих разделов, но с Икс₂ замена я х₂ во всех формулах. Согласно этому новому соглашению, матрица, связанная с действительным вектором (Икс₁,Икс₂,Икс₃) само по себе реально:

${displaystyle left({egin{matrix}x_{3}&x_{1}-x_{2}x_{1}+x_{2}&-x_{3}end{matrix}}ight)}$.

Форма (5) больше не инвариантна относительно действительного вращения (или поворота), так как группа, стабилизирующая (4′) теперь Группа Лоренца О (2,1). Вместо этого антиэрмитская форма

${displaystyle langle mu |xi angle ={ar {mu }}_{1}xi _{2}-{ar {mu }}_{2}xi _{1}}$

определяет соответствующее понятие внутреннего продукта для спиноров в этой метрической сигнатуре. Эта форма инвариантна относительно преобразований в связной компоненте тождества O (2,1).

В любом случае четвертая форма

${displaystyle langle mu |xi angle ^{2}={hbox{length}}left(Q({ar {mu }},xi )ight)^{2}}$

полностью инвариантно относительно O (3) (или O (2,1) соответственно), где Q является векторной билинейной формой, описанной в предыдущем разделе. Тот факт, что это инвариант квартики, а не квадратичный, имеет важное следствие. Если ограничиться группой специальных ортогональных преобразований, то можно однозначно извлечь квадратный корень из этой формы и получить отождествление спиноров с их двойниками. На языке теории представлений это означает, что существует только одно неприводимое спиновое представление SO (3) (или SO (2,1)) с точностью до изоморфизма. Если, однако, инверсии (например, отражения в плоскости) также разрешены, тогда уже невозможно отождествлять спиноры с их двойниками из-за изменения знака при применении отражения. Таким образом, существует два неприводимых спиновых представления O (3) (или O (2,1)), иногда называемых изображения булавок.

Структуры реальности

Различия между этими двумя подписями можно систематизировать с помощью понятия структура реальности на пространстве спиноров. Неформально, это рецепт для приема комплексного конъюгата спинора, но таким образом, что он может не соответствовать обычному конъюгату по компонентам спинора. В частности, структура реальности задается эрмитовой матрицей 2 × 2 K чей продукт сам с собой является единичной матрицей: K² = Идентификатор. Сопряжение спинора относительно структуры реальности K определяется

${displaystyle xi ^{*}=K{ar {xi }}.}$

Конкретная форма внутреннего произведения векторов (например, (4) или же (4′)) определяет структуру реальности (с коэффициентом -1), требуя

${displaystyle {ar {X}}=KXK,}$, в любое время Икс матрица, связанная с действительным вектором.

Таким образом K = IC структура реальности в евклидовой сигнатуре (4), и K = Идентификатор это для подписи (4′). Имея в руках структуру реальности, можно получить следующие результаты:

• Икс является матрицей, связанной с действительным вектором тогда и только тогда, когда, ${displaystyle {ar {X}}=KXK,}$.
• Если μ и ξ спинор, то внутренний продукт

${displaystyle langle mu |xi angle =i,^{t}mu ^{*}Cxi }$

определяет эрмитову форму, инвариантную относительно собственных ортогональных преобразований.

Примеры в физике

Спиноры спиновых матриц Паули

Смотрите также: кватернионы и пространственное вращение

Часто первым примером спиноров, с которыми сталкивается студент, изучающий физику, являются спиноры 2 × 1, используемые в теории электронного спина Паули. Матрицы Паули - вектор из трех 2 × 2 матрицы которые используются как вращение операторы.

Учитывая единичный вектор в 3-х измерениях, например (а, б, c) беретсяскалярное произведение с матрицами спина Паули, чтобы получить матрицу спина для вращения в направлении единичного вектора.

В собственные векторы этой спиновой матрицы - это спиноры для спина-1/2, ориентированные в направлении, заданном вектором.

Пример: ты = (0,8, -0,6, 0) - единичный вектор. Расстановка точек с матрицами Полиспина дает матрицу:

${displaystyle S_{u}=(0.8,-0.6,0.0)cdot {vec {sigma }}=0.8sigma _{1}-0.6sigma _{2}+0.0sigma _{3}={egin{bmatrix}0.0&0.8+0.6i�.8-0.6i&0.0end{bmatrix}}}$

Собственные векторы можно найти обычными методами линейная алгебра, но удобный прием - заметить, что матрица спина Паули является инволютивная матрица, то есть квадрат указанной выше матрицы является единичная матрица.

Таким образом, (матричное) решение проблемы собственных векторов с собственными значениями ± 1 есть просто 1 ± S_ты. То есть,

${displaystyle S_{u}(1pm S_{u})=pm 1(1pm S_{u})}$

Затем можно выбрать любой из столбцов матрица собственных векторов в качестве векторного решения при условии, что выбранный столбец не равен нулю. В первом столбце приведенного выше решения по собственным векторам для двух собственных значений будут:

${displaystyle {egin{bmatrix}1.0+(0.0)�.0+(0.8-0.6i)end{bmatrix}},{egin{bmatrix}1.0-(0.0)�.0-(0.8-0.6i)end{bmatrix}}}$

Уловка, используемая для нахождения собственных векторов, связана с концепциейидеалы, т. е. собственные векторы матрицы (1 ± S_ты) / 2 являются операторы проекции или же идемпотенты и поэтому каждый генерируетидеальный в алгебре Паули. Тот же трюк работает в любом Алгебра Клиффорда, в частности Алгебра Дирака это обсуждается ниже. Эти проекторы также можно увидеть в матрица плотности теория, где они являются примерами чистых матриц плотности.

В более общем смысле, оператор проекции спина в (а, б, c) направление задается

${displaystyle {frac {1}{2}}{egin{bmatrix}1+c&a-iba+ib&1-cend{bmatrix}}}$

и любой ненулевой столбец можно взять в качестве оператора проекции. Хотя два столбца выглядят по-разному, можно использовать а² + б² + c² = 1, чтобы показать, что они кратны (возможно, нулю) одного и того же спинора.

Основные пометки

В атомная физика и квантовая механика, собственность вращение играет главную роль. В дополнение к своим другим свойствам все частицы обладают неклассическим свойством, т. Е. Не имеющим никакого соответствия в традиционной физике, а именно: вращение, что является своего рода собственный угловой момент. В позиционном представлении вместо волновой функции без спина ψ = ψ(р) со спином: ψ = ψ(р, σ), куда σ принимает следующий дискретный набор значений:

${displaystyle sigma =-Scdot hbar ,-(S-1)cdot hbar ,...,+(S-1)cdot hbar ,+Scdot hbar }$.

В полный угловой момент оператор ${displaystyle {vec {mathbb {J} }}}$, частицы соответствует сумма из орбитальный угловой момент (т.е. разрешены только целые числа) и внутренняя часть, то вращение. Различают бозоны (S = 0, ± 1, ± 2, ...) и фермионы (S = ± 1/2, ± 3/2, ± 5/2, ...).

Смотрите также

• Сфера Блоха

Рекомендации

1. Картан, Эли (1981) [1938], Теория спиноров, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-64070-9, МИСТЕР  0631850
2. Вектор Паули - формальный прием. Его можно рассматривать как элемент M₂(ℂ) ⊗ ℝ³, где тензорное пространство произведения наделен отображением ⋅: ℝ³ × M₂(ℂ) ⊗ ℝ³ → M₂(ℂ).