Симметричная функция Стэнли - Stanley symmetric function

В математика и особенно в алгебраическая комбинаторика, то Симметричные функции Стэнли семья симметричные многочлены представлен Ричард Стэнли  (1984 ) в своем исследовании симметричная группа из перестановки.

Формально симметричная функция Стэнли F_ш(Икс₁, Икс₂, ...), индексированный перестановкой ш определяется как сумма определенных фундаментальные квазисимметричные функции. Каждое слагаемое соответствует приведенному разложению ш, то есть способ написания ш как продукт минимально возможного количества смежные транспозиции. Они были введены Стэнли в ходе перечисления редуцированных разложений перестановок и, в частности, его доказательства того, что перестановка ш₀ = п(п - 1) ... 21 (записано здесь в однострочная запись ) имеет ровно

${\displaystyle {\frac {{\binom {n}{2}}!}{1^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdot 5^{n-3}\cdots (2n-3)^{1}}}}$

уменьшенные разложения. (Здесь ${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$ обозначает биномиальный коэффициент п(п - 1) / 2 и! обозначает факториал.)

Характеристики

Симметричная функция Стэнли F_ш является однородный с степень равно количеству инверсии из ш. В отличие от других хороших семейств симметричных функций, симметричные функции Стэнли имеют много линейных зависимостей и поэтому не образуют основа из кольцо симметричных функций. Когда симметричная функция Стэнли раскладывается по базису Функции Шура, все коэффициенты равны неотрицательный целые числа.

Симметрические функции Стэнли обладают тем свойством, что они являются стабильным пределом Полиномы Шуберта

${\displaystyle F_{w}(x)=\lim _{n\to \infty }{\mathfrak {S}}_{1^{n}\times w}(x)}$

где мы рассматриваем обе части как формальные степенные ряды и берем предельный коэффициент.

Рекомендации

• Стэнли, Ричард П. (1984), «О количестве приведенных разложений элементов групп Кокстера» (PDF), Европейский журнал комбинаторики, 5 (4): 359–372, Дои:10.1016 / s0195-6698 (84) 80039-6, ISSN  0195-6698, МИСТЕР  0782057