Символ Штейнберга - Steinberg symbol

В математике Символ Штейнберга - функция спаривания, которая обобщает Символ Гильберта и играет роль в алгебраическая K-теория из поля. Назван в честь математика. Роберт Стейнберг.

Для поля F мы определяем Символ Штейнберга (или просто символ) быть функцией${\displaystyle (\cdot ,\cdot ):F^{*}\times F^{*}\rightarrow G}$, куда грамм - абелева группа, записанная мультипликативно, такая, что

• ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ бимультипликативный;
• если ${\displaystyle a+b=1}$ тогда ${\displaystyle (a,b)=1}$.

Символы на F происходят от «универсального» символа, который можно рассматривать как принимающий значения в ${\displaystyle F^{*}\otimes F^{*}/\langle a\otimes 1-a\rangle }$. По теореме Мацумото эта группа ${\displaystyle K_{2}F}$ и является частью Милнор К-теория для поля.

Характеристики

Если (⋅, ⋅) - символ, то (при условии, что все термины определены)

• ${\displaystyle (a,-a)=1}$;
• ${\displaystyle (b,a)=(a,b)^{-1}}$;
• ${\displaystyle (a,a)=(a,-1)}$ элемент порядка 1 или 2;
• ${\displaystyle (a,b)=(a+b,-b/a)}$.

Примеры

• Тривиальный символ, тождественно 1.
• В Символ Гильберта на F со значениями в {± 1}, определенными^[1][2]

${\displaystyle (a,b)={\begin{cases}1,&{\mbox{ if }}z^{2}=ax^{2}+by^{2}{\mbox{ has a non-zero solution }}(x,y,z)\in F^{3};\\-1,&{\mbox{ if not.}}\end{cases}}}$

• В Символ Конту-Каррера символ кольца Серия Laurent power над Артинианское кольцо.

Непрерывные символы

Если F это топологическое поле затем символ c является слабо непрерывный если для каждого у в F^∗ набор Икс в F^∗ такой, что c(Икс,у) = 1 является закрыто в F^∗. Это не ссылается на топологию в кодомене. грамм. Если грамм это топологическая группа, то можно говорить о непрерывный символ, и когда грамм является Хаусдорф то непрерывный символ слабо непрерывен.^[3]

Единственные слабо непрерывные символы на р - тривиальный символ и символ Гильберта: единственный слабо непрерывный символ на C - тривиальный символ.^[4] Характеристика слабо непрерывных символов на неархимедовой местное поле F был получен Муром. Группа K₂(F) - прямая сумма циклическая группа порядка м и делимая группа K₂(F)^м. Символ на F поднимается до гомоморфизма на K₂(F) и является слабо непрерывным именно тогда, когда аннулирует делимую компоненту K₂(F)^м. Отсюда следует, что каждый слабо непрерывный символ пропускается через символ нормального остатка.^[5]

Смотрите также

• Группа Стейнберга (K-теория)

Рекомендации

1. Серр, Жан-Пьер (1996). Курс арифметики. Тексты для выпускников по математике. 7. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-90040-5.
2. Милнор (1971) стр.94
3. Милнор (1971) стр.165
4. Милнор (1971) с.166
5. Милнор (1971) стр.175

• Коннер, П.Е .; Перлис Р. (1984). Обзор форм следов полей алгебраических чисел. Серия по чистой математике. 2. World Scientific. ISBN  9971-966-05-0. Zbl  0551.10017.
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями. Аспирантура по математике. 67. Американское математическое общество. С. 132–142. ISBN  0-8218-1095-2. Zbl  1068.11023.
• Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую K-теорию. Анналы математических исследований. 72. Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press. МИСТЕР  0349811. Zbl  0237.18005.
• Стейнберг, Роберт (1962). "Générateurs, Relations et revêtements de groupes algébriques". Коллок. Théorie des Groupes Algébriques (На французском). Брюссель: Готье-Виллар: 113–127. МИСТЕР  0153677. Zbl  0272.20036.

внешняя ссылка

• Символ Штейнберга на Энциклопедия математики