Звездная аберрация (вывод из преобразования Лоренца) - Stellar aberration (derivation from Lorentz transformation)

Звездная аберрация - астрономическое явление, «которое вызывает видимое движение небесных объектов». Математически можно доказать, что звездная аберрация вызвана изменением астрономического инерциальная система отсчета. Формула выводится с использованием Преобразование Лоренца звездного координаты.

Как астроном Джон Гершель уже объяснил в 1844 году, звездная аберрация делает нет зависят от относительной скорости звезды по направлению к Земле.^[1] Иначе затменные двойные звезды кажутся разделенными, что резко контрастирует с наблюдениями: обе звезды вращаются с высокой скоростью - и постоянно меняются, и разные векторы скорости - вокруг друг друга, но они выглядят как один пятно все время.

Звездная аберрация возникает только из-за изменения инерциальной системы отсчета астронома.

В 1926 году астрофизик Роберт Эмден опубликовал статью Aberration und Relativitätstheorie в журнале Naturwissenschaften.^[2] В этой статье он заявляет, что направление светового луча не зависит от движения звезды или движения Земли.^{[Примечания 1]} В то время противники специальной теории относительности полагали, что теория должна быть ошибочной, поскольку в ней утверждается, что звездная аберрация будет зависеть от относительной скорости звезды, что противоречит наблюдениям, и теории Р. Эмдена. В статье поясняется, что специальная теория относительности этого не предсказывает. Сегодня специальная теория относительности больше не оспаривается, но все еще есть статьи, которые предполагают, что аберрация будет зависеть от относительной скорости звезды.^[3]

Хотя (релятивистский) формула сложения скоростей может использоваться для объяснения звездной аберрации (см. Аберрация света ), другое (релятивистское) объяснение, использующее только Преобразование Лоренца также возможно, как будет показано ниже. Этот вывод использует только звездный координаты во время эмиссии и, следовательно, имеет формальный Преимущество: нет места для относительной скорости звезды по направлению к астроному, и поэтому очевидно, что наблюдаемое положение не зависит от скорости звезды - при условии, что результирующее изменение положения намного меньше, чем расстояние между звездой и Землей .^{[Примечания 2]} Наблюдаемое положение звезды также не зависело бы от движения Земли, если бы астроном мог все время использовать одну и ту же инерциальную систему отсчета. Но это, конечно, технически невозможно,^{[Примечания 3]} астроном использует свою текущую систему координат покоя, и эти текущие системы координат различаются в разное время, когда Земля вращается вокруг Солнца. Математически удобно объявить положение исходной звезды в системе координат покоя Солнца (точнее: центр масс Солнечной системы) как «реальное» положение, и что разница с этим «реальным» положением имеет вид «аберрация».^{[Примечания 4]}

Пример расчета

путь светового сигнала в системе отсчета S

путь светового сигнала в системе отсчета S '

S и S 'являются (квази) инерциальными системами отсчета, а система отсчета S' находится в равномерном движении с v_Икс = 0,5c относительно S, так что в будущем звезда приближается к началу системы координат (и, следовательно, дальше в прошлом). Оси x, y и z обеих систем должны быть параллельны, и в момент времени t = t '= 0 истоки обеих систем должны совпадать. Следовательно, согласно преобразованию Лоренца получаем: ${\displaystyle \scriptstyle \beta =v/c}$, ${\displaystyle \scriptstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$: y '= y; z = z '; ${\displaystyle \scriptstyle x'=\gamma \cdot (x-\beta \cdot ct)}$

Предположим теперь, что звезда излучала световой сигнал в момент времени ${\displaystyle \scriptstyle c\,t_{1}=-5\,Ly}$ на месте ${\displaystyle \scriptstyle x_{1}=4\,Ly\;,\;y_{1}=3\,Ly\;,\;z_{1}=0}$ (Координаты S) и что этот световой сигнал принимается астрономом во время ${\displaystyle \scriptstyle c\,t_{2}=0}$ на месте ${\displaystyle \scriptstyle x_{2}=0\;,\;y_{2}=0\;,\;z_{2}=0}$.

В S положение звезды и ось x образуют угол ${\displaystyle \delta }$ с ${\displaystyle \scriptstyle \tan \delta =3/4\;\rightarrow \;\delta =36.87^{\circ }}$Но в S ' ${\displaystyle \scriptstyle x_{1}'=\gamma \cdot (x_{1}-\beta \cdot c\,t_{1})=1,1547\cdot (4Lj-0,5\cdot (-5Lj))=7,50555Lj;\quad y_{1}'=y_{1}=3Lj}$ и поэтому угол ${\displaystyle \delta '}$ между положением звезды и осью x '^{[Примечания 5]} является ${\displaystyle \scriptstyle \tan \delta '=y_{1}'/x_{1}'=3/7,50555\;\rightarrow \;\delta '=21,79^{\circ }}$

Расчет по формуле в аберрация света # Объяснение дает тот же результат: ${\displaystyle \scriptstyle \tan(\delta '/2)=\tan(\delta /2)\cdot {\sqrt {(1-0,5)/(1+0,5)}}=\tan(36,87^{\circ }/2)\cdot {\sqrt {1/3}}=0,19245\;}$ ${\displaystyle \scriptstyle \;\rightarrow \;\delta '/2=10,89^{\circ }\;\rightarrow \;\delta '=21,79^{\circ }}$.

Двумерная задача

Вывод формулы движения по оси абсцисс

Для вывода предполагается, что световой сигнал распространяется только через области космоса, где поле тяготения незначительно. Следовательно, достаточно использовать специальный относительность а путь светового сигнала - прямая линия в любой инерциальной системе отсчета.

Наблюдение в рама отдыха S из центр массы нашей Солнечной системы

Опорная рама центра масс (центр масс) очень хорошая^{[Примечания 6]} квазиинерциальная система отсчета для периодов времени порядка тысяч лет, поскольку нашей солнечной системе требуется около 230 миллионов лет (галактический год ), чтобы полностью обойти центр Млечный Путь. Пространственные координаты этой системы отсчета образуют Декартова система координат.

В системе отсчета S ${\displaystyle (x_{1}|y_{1}|0|c\,t_{1})}$ с ${\displaystyle c\,t_{1}<0}$ и ${\displaystyle (x_{1}|y_{1})\neq (0|0)}$ - координаты (пространство-время), в которых звезда излучает световой сигнал, и ${\displaystyle (0|0|0|0)}$ - координаты, в которых астроном получает световой сигнал.

В системе отсчета S световой сигнал начинается в ${\displaystyle t_{1}<0}$ и останавливается на время ${\displaystyle t_{2}=0}$ и поэтому световой сигнал действительно преодолел расстояние ${\displaystyle d=c\cdot (0-t_{1})=-c\,t_{1}}$ .

В S путь светового сигнала - прямая линия, образующая угол ${\displaystyle \delta }$ с осью абсцисс: ${\displaystyle \sin \delta ={\frac {y_{1}}{d}}={\frac {y_{1}}{-c\,t_{1}}}}$ и ${\displaystyle \cos \delta ={\frac {x_{1}}{-c\,t_{1}}}}$

Наблюдение в инерциальной системе отсчета S ', которая находится в равномерном движении (относительно S) вдоль оси x

Начало системы отсчета S 'находится в равномерном движении относительно S с ${\displaystyle (v|0|0)}$, т.е. движется по оси x, а оси x, y и z S 'и S параллельны друг другу и в момент времени ${\displaystyle \scriptstyle t=t'=0}$ происхождение S и S 'совпадают. Позволять ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}},\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$

S 'теперь является такой же хорошей квазиинерциальной системой отсчета, что и S: пространственные координаты образуют Декартова система координат а путь светового сигнала - прямая линия.

Согласно преобразованию Лоренца получаем: ${\displaystyle x_{1}'=\gamma \cdot (x_{1}-\beta \cdot c\,t_{1}),y_{1}'=y_{1},z_{1}'=0,c\,t_{1}'=\gamma \cdot (c\,t_{1}-\beta \cdot x_{1})}$

В системе отсчета S 'световой сигнал начинается в ${\displaystyle t_{1}'<0}$ и останавливается на время ${\displaystyle t_{2}'=0}$ и поэтому световой сигнал действительно преодолел расстояние ${\displaystyle d\,'=c\cdot (0-t_{1}')=-c\,t_{1}'}$ .

В S 'путь светового сигнала тоже прямой. Образует угол ${\displaystyle \delta '}$ с осью x и получаем:

${\displaystyle \sin \delta '={\frac {y_{1}'}{d\,'}}={\frac {y_{1}}{-c\,t_{1}'}}={\frac {y_{1}}{-\gamma \cdot (c\,t_{1}-\beta \cdot x_{1})}}={\frac {y_{1}}{-c\,t_{1}\cdot \gamma \cdot \left(1-\beta \cdot {\frac {x_{1}}{c\,t_{1}}}\right)}}={\frac {\frac {y_{1}}{-c\,t_{1}}}{\gamma \cdot \left(1+\beta \cdot {\frac {x_{1}}{-c\,t_{1}}}\right)}}={\frac {\sin \delta }{\gamma \cdot (1+\beta \cdot \cos \delta )}}}$

${\displaystyle \cos \delta '={\frac {x_{1}'}{-c\,t_{1}'}}={\frac {\gamma \cdot (x_{1}-\beta \cdot c\,t_{1})}{-\gamma \cdot (c\,t_{1}-\beta \cdot x_{1})}}={\frac {-c\,t_{1}\cdot \gamma \cdot \left({\frac {x_{1}}{-c\,t_{1}}}+\beta \right)}{-c\,t_{1}\cdot \gamma \cdot \left(1+\beta \cdot {\frac {x_{1}}{-c\,t_{1}}}\right)}}={\frac {{\frac {x_{1}}{-c\,t_{1}}}+\beta }{1+\beta \cdot {\frac {x_{1}}{-c\,t_{1}}}}}={\frac {\cos \delta +\beta }{1+\beta \cdot \cos \delta }}}$

Следовательно: ${\displaystyle \tan \delta '={\frac {\sin \delta '}{\cos \delta '}}={\frac {\sin \delta }{\gamma \cdot (\cos \delta +\beta )}}}$

Это те же формулы, что и в аберрация света # Объяснение.

Приближенная формула движения по оси x при v / c << 1

${\displaystyle \triangle \delta \;=\;\delta '-\delta \;}$ - изменение угла δ. Поскольку β << 1, это изменение также очень мало.

Случай I: ${\displaystyle \;\delta \neq \pm 90^{\circ }\;\rightarrow \;\cos \delta \neq 0}$

Поскольку Δδ << 1 получается: ${\displaystyle {\frac {\tan \delta '-\tan \delta }{\triangle \delta }}\approx {\frac {d}{d\delta }}\tan \delta ={\frac {1}{(\cos \delta )^{2}}}\;\rightarrow \;\triangle \delta \;=\;(\cos \delta )^{2}\cdot (\tan \delta '-\tan \delta )}$

При β << 1 получаем: ${\displaystyle \tan \delta '={\frac {\sin \delta }{\gamma (\cos \delta +\beta )}}\approx {\frac {\sin \delta }{\cos \delta +\beta }}={\frac {\sin \delta }{\cos \delta \cdot \left(1+{\frac {\beta }{\cos \delta }}\right)}}\approx \tan \delta \cdot \left(1-{\frac {\beta }{\cos \delta }}\right)}$

Следовательно ${\displaystyle \triangle \delta \;=\;(\cos \delta )^{2}\cdot (\tan \delta '-\tan \delta )=(\cos \delta )^{2}\cdot \tan \delta \left(1-{\frac {\beta }{\cos \delta }}\;-1\right)=-\cos \delta \cdot \tan \delta \cdot \beta =-\beta \cdot \sin \delta }$

Дело IIa: ${\displaystyle \;\delta \;=90^{\circ }\;}$, следовательно: ${\displaystyle \tan \delta '={\frac {\sin 90^{\circ }}{\gamma \cdot (\cos 90^{\circ }+\beta )}}={\frac {1}{\gamma \cdot \beta }}\;\approx {\frac {1}{\beta }}\quad \rightarrow \quad \cot \delta '=\beta \quad \rightarrow \quad \delta '=\operatorname {arccot} \beta \approx {\frac {\pi }{2}}-\beta }$

и поэтому: ${\displaystyle \triangle \delta =\delta '-\delta =-\beta \quad \left(=-\beta \cdot \sin(90^{\circ })\right)}$

Случай IIb: ${\displaystyle \;\delta \;=-90^{\circ }\;}$, и поэтому: ${\displaystyle \tan \delta '={\frac {-1}{\gamma \cdot \beta }}\;\approx -{\frac {1}{\beta }}\quad \rightarrow \quad \cot \delta '=-\beta \quad \rightarrow \quad \delta '=\operatorname {arccot} \beta \approx -{\frac {\pi }{2}}+\beta \quad }$    ^{[Примечания 7]}

Следовательно: ${\displaystyle \triangle \delta =\delta '-\delta =+\beta \quad \left(=-\beta \cdot \sin(-90^{\circ })\right)}$

Вывод:Изменение угла Δδ = δ'-δ в случае β = v / c << 1 можно описать приближенной формулой ${\displaystyle \triangle \delta =-{\frac {v}{c}}\cdot \sin \delta \;}$ соотв. в степени ${\displaystyle \triangle \delta =-{\frac {v}{c}}\cdot \sin \delta \cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$

Симметричный вид (точной) формулы движения по оси абсцисс

С помощью формула касательного полуугла ${\displaystyle \scriptstyle \tan(\alpha /2)=\sin \alpha /(1+\cos \alpha )}$ можно доказать симметричную форму: ${\displaystyle \tan {\frac {\delta '}{2}}={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\cdot \tan {\frac {\delta }{2}}}$ (вывод найден в SR-учебнике^[4])

${\displaystyle \tan {\frac {\delta '}{2}}={\frac {\sin \delta '}{1+\cos \delta '}}={\frac {\frac {\sin \delta }{\gamma \cdot (1+\beta \cdot \cos \delta )}}{{\frac {1+\beta \cdot \cos \delta }{1+\beta \cdot \cos \delta }}+{\frac {\cos \delta +\beta }{1+\beta \cdot \cos \delta }}}}={\frac {\sin \delta }{\gamma \cdot (1+\beta \cdot \cos \delta +\cos \delta +\beta )}}={\frac {\sin \delta }{\gamma \cdot (1+\beta )\cdot (1+\cos \delta )}}={\frac {\tan {\frac {\delta }{2}}}{\gamma \cdot (1+\beta )}}}$

И, как ${\displaystyle {\frac {1}{\gamma \cdot (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}}$ симметричная форма следует.

Формула движения по оси y

Позволять ${\displaystyle \theta }$ быть углом между световым лучом (= путь светового сигнала, который представляет собой прямую линию) и осью y, при этом θ положительно, если ось y должна вращаться против часовой стрелки, чтобы совпадать со световым лучом. Тогда вывод формулы угла θ 'для движения вдоль оси y аналогичен выводу формулы угла δ' для движения вдоль оси x.

Следовательно: ${\displaystyle \tan \theta \,'={\frac {\sin \theta }{\gamma \cdot (\cos \theta +\beta )}}}$

Симметричная форма: ${\displaystyle \tan {\frac {\theta \,'}{2}}={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\cdot \tan {\frac {\theta }{2}}}$ и приблизительная формула: ${\displaystyle \triangle \theta =-\beta \cdot \sin \theta }$

В качестве ${\displaystyle \theta =\delta -90^{\circ }}$ и, как ${\displaystyle \scriptstyle \sin(\delta -90^{\circ })=-\sin(90^{\circ }-\delta )=-\cos \delta \;,\;\cos(\delta -90^{\circ })=\cos(90^{\circ }-\delta )=\sin \delta }$ и ${\displaystyle \scriptstyle \tan(\delta -90^{\circ })=-\tan(90^{\circ }-\delta )=-\cot \delta }$ получается:

${\displaystyle \tan(\delta '-90^{\circ })={\frac {\sin(\delta -90^{\circ })}{\gamma \cdot \left(\cos(\delta -90^{\circ })+\beta \right)}}}$ и поэтому: ${\displaystyle -\cot \delta '={\frac {-\cos \delta }{\gamma \cdot (\sin \delta +\beta )}}}$ и поэтому ${\displaystyle \cot \delta '={\frac {\cos \delta }{\gamma \cdot (\sin \delta +\beta )}}}$

С ${\displaystyle \cot \delta '={\frac {1}{\tan \delta '}}}$ также получают: ${\displaystyle \tan \delta '={\frac {\gamma \cdot (\sin \delta +\beta )}{\cos \delta }}}$

А симметричная форма: ${\displaystyle \tan {\frac {\delta '-90^{\circ }}{2}}={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\cdot \tan {\frac {\delta -90^{\circ }}{2}}}$

И, как ${\displaystyle \scriptstyle \triangle \theta =(\delta '-90^{\circ })-(\delta -90^{\circ })=\triangle \delta }$ приблизительная формула: ${\displaystyle \triangle \delta =\triangle \theta =-\beta \cdot \sin(\delta -90^{\circ })=+\beta \cdot \cos \delta }$   

Формула движения по лучу, лежащему в плоскости x-y с вектором направления (cos α | sin α)

Из тех же рассуждений, что и выше, получается формула: ${\displaystyle \tan(\delta '-\alpha )={\frac {\sin(\delta -\alpha )}{\gamma \cdot \left(\cos(\delta -\alpha )+\beta \right)}}}$

Симметричная форма: ${\displaystyle \tan {\frac {\delta '-\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\cdot \tan {\frac {\delta -\alpha }{2}}}$

Приблизительная формула: ${\displaystyle \triangle \delta =-\beta \cdot \sin(\delta -\alpha )}$ и в градусной мере: ${\displaystyle \triangle \delta =-{\frac {v}{c}}\cdot \sin(\delta -\alpha )\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$

Трехмерная проблема

Гелиоцентрические координаты эклиптики

Координаты эклиптики в центре Земли

Применение: Аберрация в астрономии.

Звездная аберрация является чисто следствием изменения системы отсчета. Астроном вращается (вместе с Землей) вокруг Солнца и, кроме того, вращается вокруг оси Земли. Следовательно, его текущая система покоя S 'имеет разные скорости относительно системы покоя S барицентра Солнечной системы в разное время. Отсюда астроном замечает, что положение звезды меняется. Формула выводится при условии, что изменение позиция звезды и Земли в период наблюдения ничтожно малы.^{[Примечания 8]} Это верно почти для всех звезд: амплитуда параллакс звезды на расстоянии ≥ n парсек, составляет ≤ 1 / n ".

Звездная аберрация из-за орбиты Земли (вокруг Солнца)

Средняя орбитальная скорость Земли составляет ${\displaystyle v_{e}={\frac {2\cdot \pi \cdot 1\,AE}{365,25\,d}}=29,78\,km/s}$, и поэтому ${\displaystyle {\frac {v_{e}}{c}}=0,00009935}$.

-> ${\displaystyle {\frac {v}{c}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=20,5^{\prime \prime }}$.

${\displaystyle k_{A}=20,5^{\prime \prime }}$ дублируется константа аберрации для годовой аберрации.^[5]

Звездная аберрация из-за вращения Земли

Астроном из широта ${\displaystyle \varphi }$ вращается за 24 часа вокруг оси Земли. Следовательно, его скорость вращения ${\displaystyle v_{r}={\frac {\cos \varphi \cdot 40000\,km}{1\,d}}=\cos \varphi \cdot 463\,m/s}$. Следовательно ${\displaystyle {\frac {v_{r}}{c}}=\cos \varphi \cdot 1,54\cdot 10^{-6}}$. Сформируйте так называемый дневной аберрации каждый получает дополнительный вклад (при макс.) ${\displaystyle \cos \varphi \cdot 0,32^{\prime \prime }}$.

Звездная аберрация из-за орбиты нашей солнечной системы вокруг центра Млечного Пути

Система покоя центра масс нашей Солнечной системы не является идеальной инерциальной системой отсчета, поскольку наша Солнечная система вращается вокруг центра Млечный Путь. Оценка времени обращения составляет 230 миллионов лет (оценки варьируются от 225 до 250 миллионов лет).^[6][7] По оценкам, расстояние между нашей Солнечной системой и центром Млечного Пути составляет около 28000 Ly, предполагаемый орбитальная скорость нашей солнечной системы ${\displaystyle \scriptstyle v={\frac {2\pi \cdot 280000\cdot 9,461\cdot 10^{15}\,m}{230\cdot 10^{6}\cdot 365,25\cdot 24\cdot 3600}}\approx \,230\,km/s}$. Это приведет к появлению эллипса аберрации с большой полуосью 2,6 '(угловые минуты ). Следовательно, за год угол аберрации может измениться (на макс.) ${\displaystyle \scriptstyle 2,6^{\prime }\cdot {\frac {2\pi \cdot 1\,a}{230000000\,a}}}$ = 4,3 µas (микросекунды ). Это очень маленькое значение сейчас невозможно обнаружить, возможно, это возможно с запланированной миссией Космический корабль Gaia.^[8]

Смотрите также

• Аберрация света
• Параллакс в астрономии

Примечания

1. (Риторический) вопрос Р. Эмдена «Каким образом на направление падающих на Землю световых лучей звезд повлияет движение Земли и движение (а не местоположение) звезды во время излучения?» он отвечает "Вовсе нет".
2. Т.е. звезды могут вращаться очень быстро, как затмевающие двойные звезды, если изменение положения намного меньше расстояния между звездой и землей.
3. Несложно (технически) компенсировать отклонение направление осей из-за вращения Земли и орбиты Земли, но практически невозможно (технически) компенсировать скорость порядка нескольких 1000 м / с. Этого можно добиться только с помощью математики.
4. Конечно, все инерциальные системы отсчета физически равны, но остальная система барицентра имеет математическое преимущество: это иметь в виду системы отсчета и со времени Галилео Галилей это предпочтительная система отсчета
5. Линии оси x и оси x 'лежат друг над другом.
6. Еще лучшей квазиинерциальной системой отсчета была бы система отсчета, в которой центр масс Млечного Пути покоился бы или находился в равномерном движении.
7. Здесь необходимо использовать решение с cot 0 = -π / 2, см. Сюжет арккота (х)
8. Для звезды этот период остался в прошлом.

Рекомендации

1. Гершель, Джон Фредерик Уильям (1844). "Schreiben des Herrn Baronets Herschel an den Herausgeber". Astronomische Nachrichten. 22 (520): 249–254. Bibcode:1844AN ..... 22..249H. Дои:10.1002 / asna.18450221702.
2. Эмден, Р. (1926). "Аберрация и относительность". Die Naturwissenschaften. 14 (16): 329–335. Bibcode:1926NW ..... 14..329E. Дои:10.1007 / BF01506966. S2CID  28867113. (14. Jahrgang, Heft 16)
3. См., Например, уравнение (4) в Клаус Касснер (2002). «Почему аберрацию Брэдли нельзя использовать для измерения абсолютных скоростей. Комментарий». Письма Europhysics (EPL). 58 (4): 637–638. arXiv:Astro-ph / 0203056. Bibcode:2002ЭЛ ..... 58..637К. Дои:10.1209 / epl / i2002-00443-7. S2CID  44963976.
4. Spezielle Relativitätstheorie für Studienanfänger, Юрген Фройнд, vdf-Verlag (Цюрих), 2-й. Эд. (2005)
5. см. например Константа аберрации и солнечный параллакс
6. видеть hypertextbook.com
7. НАСА - Вопрос месяца StarChild за февраль 2000 г.
8. Это намек от Х.-Х. Фойгт: Abriss der Astronomie, 6. Auflage. Herausgegeben von H.-J. Röser und W. Tscharnuter. 2012 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA., Стр. 35 из извлекать