Полиномы Стирлинга - Stirling polynomials - Wikipedia

В математика, то Полиномы Стирлинга семья многочлены которые обобщают важные последовательности чисел, появляющиеся в комбинаторика и анализ, которые тесно связаны с Числа Стирлинга, то Числа Бернулли, а обобщенный Полиномы Бернулли. Есть несколько вариантов Полином Стирлинга последовательность, рассматриваемая ниже, в первую очередь, включая Последовательность Шеффера форма последовательности, ${\displaystyle S_{k}(x)}$, определяемого характерным образом через специальную форму его экспоненциальной производящей функции, и Полиномы Стирлинга (свертки), ${\displaystyle \sigma _{n}(x)}$, которые также удовлетворяют характеристике обычный производящей функции и которые используются при обобщении Числа Стирлинга (обоих видов) на произвольные сложный -значные входы. Мы считаем "сверточный полиномвторой в последнем подразделе статьи вариант этой последовательности и ее свойства. Остальные варианты полиномов Стирлинга изучаются в дополнительных ссылках на статьи, приведенные в ссылках.

Определение и примеры

Для неотрицательного целые числа k, полиномы Стирлинга, S_k(Икс), площадь Последовательность Шеффера за ${\displaystyle (g(t),{\bar {f}}(t)):=\left(e^{-t},\log \left({\frac {t}{1-e^{-t}}}\right)\right)}$ ^[1] определяемая экспоненциальной производящей функцией

${\displaystyle \left({t \over {1-e^{-t}}}\right)^{x+1}=\sum _{k=0}^{\infty }S_{k}(x){t^{k} \over k!}.}$

Полиномы Стирлинга являются частным случаем Полиномы Норлунда (или же обобщенные полиномы Бернулли ) ^[2] каждый с экспоненциальной производящей функцией

${\displaystyle \left({t \over {e^{t}-1}}\right)^{a}e^{zt}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}^{(a)}(z){t^{k} \over k!},}$

заданный соотношением ${\displaystyle S_{k}(x)=B_{k}^{(x+1)}(x+1)}$.

Первые 10 многочленов Стирлинга приведены в следующей таблице:

${\displaystyle {\begin{array}{r|l}k&S_{k}(x)\\\hline 0&1\\1&{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x+1)\\2&{\scriptstyle {\frac {1}{12}}}(3x^{2}+5x+2)\\3&{\scriptstyle {\frac {1}{8}}}(x^{3}+2x^{2}+x)\\4&{\scriptstyle {\frac {1}{240}}}(15x^{4}+30x^{3}+5x^{2}-18x-8)\\5&{\scriptstyle {\frac {1}{96}}}(3x^{5}+5x^{4}-5x^{3}-13x^{2}-6x)\\6&{\scriptstyle {\frac {1}{4032}}}(63x^{6}+63x^{5}-315x^{4}-539x^{3}-84x^{2}+236x+96)\\7&{\scriptstyle {\frac {1}{1152}}}(9x^{7}-84x^{5}-98x^{4}+91x^{3}+194x^{2}+80x)\\8&{\scriptstyle {\frac {1}{34560}}}(135x^{8}-180x^{7}-1890x^{6}-840x^{5}+6055x^{4}+8140x^{3}+884x^{2}-3088x-1152)\\9&{\scriptstyle {\frac {1}{7680}}}(15x^{9}-45x^{8}-270x^{7}+182x^{6}+1687x^{5}+1395x^{4}-1576x^{3}-2684x^{2}-1008x)\end{array}}}$

Еще один вариант полиномов Стирлинга рассматривается в ^[3] (см. также подраздел о Полиномы свертки Стирлинга ниже). В частности, в статье И. Гесселя и Р. П. Стэнли определены модифицированные полиномиальные последовательности Стирлинга: ${\displaystyle f_{k}(n):=S(n+k,n)}$ и ${\displaystyle g_{k}(n):=c(n,n-k)}$ куда ${\displaystyle c(n,k):=(-1)^{n-k}s(n,k)}$ являются беззнаковый Числа Стирлинга первого рода, с точки зрения двух Число Стирлинга треугольники для неотрицательных целых чисел ${\displaystyle n\geq 1,\ k\geq 0}$. Для фиксированных ${\displaystyle k\geq 0}$, обе ${\displaystyle f_{k}(n)}$ и ${\displaystyle g_{k}(n)}$ являются полиномами входных ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ каждая степень ${\displaystyle 2k}$ и с ведущим коэффициентом, определяемым двойной факториал срок ${\displaystyle (1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1))/(2k)!}$.

Характеристики

Ниже ${\displaystyle B_{k}(x)}$ обозначить Полиномы Бернулли и ${\displaystyle B_{k}=B_{k}(0)}$ то Числа Бернулли по соглашению ${\displaystyle B_{1}=B_{1}(0)=-{\tfrac {1}{2}};}$ ${\displaystyle s_{m,n}}$ обозначает Число Стирлинга первого рода; и ${\displaystyle S_{m,n}}$ обозначает Числа Стирлинга второго рода.

• Особые значения:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{k}(-m)&={\frac {(-1)^{k}}{k+m-1 \choose k}}S_{k+m-1,m-1}&&0<m\in \mathbb {Z} \\[6pt]S_{k}(-1)&=\delta _{k,0}\\[6pt]S_{k}(0)&=(-1)^{k}B_{k}\\[6pt]S_{k}(1)&=(-1)^{k+1}((k-1)B_{k}+kB_{k-1})\\[6pt]S_{k}(2)&={\tfrac {(-1)^{k}}{2}}((k-1)(k-2)B_{k}+3k(k-2)B_{k-1}+2k(k-1)B_{k-2})\\[6pt]S_{k}(k)&=k!\\[6pt]\end{aligned}}}$

• Если ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle m\geq n}$ тогда:^[4]

${\displaystyle S_{n}(m)=(-1)^{n}B_{n}^{(m+1)}(0),}$

и:

${\displaystyle S_{n}(m)={(-1)^{n} \over {m \choose n}}s_{m+1,m+1-n}.}$

• Последовательность ${\displaystyle S_{k}(x-1)}$ имеет биномиальный тип, поскольку

${\displaystyle S_{k}(x+y-1)=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}S_{i}(x-1)S_{k-i}(y-1).}$

Более того, эта основная рекурсия выполняется:

${\displaystyle S_{k}(x)=(x-k){S_{k}(x-1) \over x}+kS_{k-1}(x+1).}$

• Явные представления, включающие числа Стирлинга, могут быть выведены с помощью Формула интерполяции Лагранжа:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{k}(x)&=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{k-n}S_{k+n,n}{{x+n \choose n}{x+k+1 \choose k-n} \over {k+n \choose n}}\\[6pt]&=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}s_{k+n+1,n+1}{{x-k \choose n}{x-k-n-1 \choose k-n} \over {k+n \choose k}}\\[6pt]&=k!\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}\sum _{m=j}^{k}{x+m \choose m}{m \choose j}L_{k+m}^{(-k-j)}(-j)\\[6pt]\end{aligned}}}$

Здесь, ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}}$ находятся Полиномы Лагерра.

• Также имеют место следующие отношения:

${\displaystyle {k+m \choose k}S_{k}(x-m)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{k+m \choose i}S_{k-i+m,m}\cdot S_{i}(x),}$

${\displaystyle {k-m \choose k}S_{k}(x+m)=\sum _{i=0}^{k}{k-m \choose i}s_{m,m-k+i}\cdot S_{i}(x).}$

• Из дифференцирования производящей функции легко следует, что

${\displaystyle S_{k}^{\prime }(x)=-\sum _{j=0}^{k-1}{k \choose j}S_{j}(x){\frac {B_{k-j}}{k-j}}.}$

Полиномы свертки Стирлинга

Определение и примеры

Другой вариант полиномиальной последовательности Стирлинга соответствует частному случаю сверточные полиномы изучено по статье Кнута ^[5] и в Конкретная математика ссылка. Сначала определим эти полиномы через Числа Стирлинга первого рода в качестве

${\displaystyle \sigma _{n}(x)=\left[{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right]\cdot {\frac {1}{x(x-1)\cdots (x-n)}}.}$

Следовательно, эти многочлены удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, заданному формулой

${\displaystyle (x+1)\sigma _{n}(x+1)=(x-n)\sigma _{n}(x)+x\sigma _{n-1}(x),\ n\geq 1.}$

Эти Стирлинги "свертка"полиномы могут использоваться для определения чисел Стирлинга, ${\displaystyle \scriptstyle {\left[{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right]}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right\}}}$, для целых чисел ${\displaystyle n\geq 0}$ и произвольный комплексные ценности ${\displaystyle x}$В следующей таблице приведены несколько частных случаев этих многочленов Стирлинга для первых нескольких ${\displaystyle n\geq 0}$.

${\displaystyle {\begin{array}{r|c}n&\sigma _{n}(x)\\\hline 0&{\frac {1}{x}}\\1&{\frac {1}{2}}\\2&{\frac {3x-1}{24}}\\3&{\frac {x^{2}-x}{48}}\\4&{\frac {15x^{3}-30x^{2}+5x+2}{5760}}\end{array}}}$

Производящие функции

Этот вариант полиномиальной последовательности Стирлинга имеет особенно красивую обычную производящие функции следующих форм:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {ze^{z}}{e^{z}-1}}\right)^{x}&=\sum _{n\geq 0}x\sigma _{n}(x)z^{n}\\\left({\frac {1}{z}}\ln {\frac {1}{1-z}}\right)^{x}&=\sum _{n\geq 0}x\sigma _{n}(x+n)z^{n}.\end{aligned}}}$

В более общем смысле, если ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{t}(z)}$ степенной ряд, удовлетворяющий ${\displaystyle \ln \left(1-z{\mathcal {S}}_{t}(z)^{t-1}\right)=-z{\mathcal {S}}_{t}(z)^{t}}$у нас есть это

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{t}(z)^{x}=\sum _{n\geq 0}x\sigma _{n}(x+tn)z^{n}.}$

У нас также есть идентификатор связанной серии ^[6]

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}(-1)^{n-1}\sigma _{n}(n-1)z^{n}={\frac {z}{\ln(1+z)}}=1+{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{12}}+\cdots ,}$

и производящие функции, связанные с полиномом Стирлинга (Шеффера), заданные формулой

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}(-1)^{n+1}m\cdot \sigma _{n}(n-m)z^{n}=\left({\frac {z}{\ln(1+z)}}\right)^{m}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}(-1)^{n+1}m\cdot \sigma _{n}(m)z^{n}=\left({\frac {z}{1-e^{-z}}}\right)^{m}.}$

Свойства и отношения

Для целых чисел ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ и ${\displaystyle r,s\in \mathbb {C} }$, эти многочлены удовлетворяют двум формулам свертки Стирлинга, заданным формулой

${\displaystyle (r+s)\sigma _{n}(r+s+tn)=rs\sum _{k=0}^{n}\sigma _{k}(r+tk)\sigma _{n-k}(s+t(n-k))}$

и

${\displaystyle n\sigma _{n}(r+s+tn)=s\sum _{k=0}^{n}k\sigma _{k}(r+tk)\sigma _{n-k}(s+t(n-k)).}$

Когда ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$, мы также имеем, что многочлены, ${\displaystyle \sigma _{n}(m)}$, определяются через их отношения к Числа Стирлинга

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\}&=(-1)^{n-m+1}{\frac {n!}{(m-1)!}}\sigma _{n-m}(-m)\ ({\text{when }}m<0)\\\left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]&={\frac {n!}{(m-1)!}}\sigma _{n-m}(n)\ ({\text{when }}m>n),\end{aligned}}}$

и их отношения к Числа Бернулли данный

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{n}(m)&={\frac {(-1)^{m+n-1}}{m!(n-m)!}}\sum _{0\leq k<m}\left[{\begin{matrix}m\\m-k\end{matrix}}\right]{\frac {B_{n-k}}{n-k}},\ n\geq m>0\\\sigma _{n}(m)&=-{\frac {B_{n}}{n\cdot n!}},\ m=0.\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Полиномы Бернулли
• Многочлены Бернулли второго рода
• Шеффер и Последовательности апелляций
• Многочлены разности
• Специальные полиномиальные производящие функции
• Коэффициенты Грегори

Рекомендации

1. См. Раздел 4.8.8 Темное исчисление (1984) ссылка приведена ниже.
2. Видеть Полиномы Норлунда на MathWorld.
3. Гессель и Стэнли (1978). «Многочлены Стирлинга». J. Combin. Теория Сер. А. 53: 24–33. Дои:10.1016/0097-3165(78)90042-0.
4. Раздел 4.4.8 Темное исчисление.
5. Кнут, Д. Э. (1992). «Полиномы свертки». Mathematica J. 2: 67–78. arXiv:математика / 9207221. Bibcode:1992математика ...... 7221K.В статье приведены определения и свойства специальных сверточный полином семейства, определяемые специальными производящими функциями вида ${\displaystyle F(z)^{x}}$ за ${\displaystyle F(0)=1}$. Частные случаи этих полиномиальных последовательностей свертки включают биномиальный степенной ряд, ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{t}(z)=1+z{\mathcal {B}}_{t}(z)^{t}}$, так называемый древовидные многочлены, то Номера звонков, ${\displaystyle B(n)}$, а Полиномы Лагерра. За ${\displaystyle F_{n}(x):=[z^{n}]F(z)^{x}}$, многочлены ${\displaystyle n!\cdot F_{n}(x)}$ говорят, что они из биномиальный тип, и, кроме того, удовлетворяют соотношению производящей функции ${\displaystyle {\frac {zF_{n}(x+tn)}{(x+tn)}}=[z^{n}]{\mathcal {F}}_{t}(z)^{x}}$ для всех ${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$, куда ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}(z)}$ неявно определяется функциональное уравнение формы ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}(z)=F\left(x{\mathcal {F}}_{t}(z)^{t}\right)}$. В статье также обсуждаются асимптотические приближения и методы, применяемые к полиномиальным последовательностям этого типа.
6. Раздел 7.4 Конкретная математика.

• Erdeli, A .; Magnus, W .; Оберхеттингер, Ф. и Трикоми, Ф. Г. Высшие трансцендентные функции. Том III. Нью-Йорк.
• Грэм; Кнут и Паташник (1994). Конкретная математика: основа компьютерных наук.
• С. Роман (1984). Темное исчисление.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Стирлинга». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Полином Нёрлунда". MathWorld.
• В этой статье использован материал из полинома Стирлинга на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.