Парадокс стокса - Stokes paradox - Wikipedia

В науке о поток жидкости, Парадокс Стокса это явление, что не может быть ползущего потока жидкость вокруг диска в двух измерениях; или, что то же самое, отсутствие нетривиального стационарного решения для Уравнения Стокса вокруг бесконечно длинного цилиндра. Это противоположно 3-мерному случаю, где метод Стокса дает решение проблемы обтекания сферы.^[1][2]

Вывод

Вектор скорости ${\displaystyle u}$ из жидкость можно записать в терминах функция потока ${\displaystyle \psi }$ в качестве

${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}&-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}.\end{pmatrix}}}$

Как функция тока в задаче Стокса, ${\displaystyle \psi }$ удовлетворяет бигармоническое уравнение.^[3] Поскольку самолет можно рассматривать как комплексная плоскость, проблема может быть решена методами комплексный анализ. В этом подходе ${\displaystyle \psi }$ либо настоящий или же мнимая часть из

${\displaystyle {\bar {z}}f(z)+g(z)}$.^[4]

Здесь ${\displaystyle z=x+iy}$, куда ${\displaystyle i}$ это воображаемый единица измерения, ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$, и ${\displaystyle f(z),g(z)}$ находятся голоморфные функции вне диска. Мы возьмем на себя реальную роль не теряя общий смысл.Теперь функция ${\displaystyle u}$, определяется ${\displaystyle u=u_{x}+iu_{y}}$ вводится. ${\displaystyle u}$ можно записать как ${\displaystyle u=-2i{\frac {\partial \psi }{\partial {\bar {z}}}}}$, или же ${\displaystyle {\frac {1}{2}}iu={\frac {\partial \psi }{\partial {\bar {z}}}}}$ (с использованием Производные Виртингера Это вычислено, чтобы быть равным

${\displaystyle {\frac {1}{2}}iu=f(z)+z{\bar {f\prime }}(z)+{\bar {g\prime }}(z).}$

Без ограничения общности диск можно считать единичный диск, состоящий из всех сложные числа z из абсолютная величина меньше или равно 1.

В граничные условия находятся:

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }u=1,}$

${\displaystyle u=0,}$

в любое время ${\displaystyle |z|=1}$,^[1][5]и представляя функции ${\displaystyle f,g}$ в качестве Серия Laurent:^[6]

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f_{n}z^{n},\quad g(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g_{n}z^{n},}$

первое условие подразумевает ${\displaystyle f_{n}=0,g_{n}=0}$ для всех ${\displaystyle n\geq 2}$.

Используя полярную форму ${\displaystyle z}$ приводит к ${\displaystyle z^{n}=r^{n}e^{in\theta },{\bar {z}}^{n}=r^{n}e^{-in\theta }}$.После вывода в виде ряда ты, подставив в него это вместе с ${\displaystyle r=1}$, и при изменении некоторых индексов второе граничное условие переводится как

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in\theta }\left(f_{n}+(2-n){\bar {f}}_{2-n}+(1-n){\bar {g}}_{1-n}\right)=0.}$

Поскольку комплексные тригонометрические функции ${\displaystyle e^{in\theta }}$ составить линейно независимый множества, следует, что все коэффициенты в ряду равны нулю. Рассматривая эти условия для каждого ${\displaystyle n}$ после учета условия на бесконечности показывает, что ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ обязательно имеют форму

${\displaystyle f(z)=az+b,\quad g(z)=-bz+c,}$

куда ${\displaystyle a}$ мнимое число (противоположное собственному комплексно сопряженный ), и ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ - комплексные числа. Подставив это в ${\displaystyle u}$ дает результат, что ${\displaystyle u=0}$ во всем мире ${\displaystyle u_{x}}$ и ${\displaystyle u_{y}}$ быть нулевым. Следовательно, движения быть не может - единственное решение состоит в том, что цилиндр покоится относительно всех точек жидкости.

Разрешение

Парадокс вызван ограниченной достоверностью приближения Стокса, как объясняется в Осеена критика: справедливость уравнений Стокса зависит от Число Рейнольдса мала, и это условие не может выполняться на сколь угодно больших расстояниях ${\displaystyle r}$.^[7][2]

Правильное решение для цилиндра было получено с использованием Уравнения Озеена, и те же уравнения приводят к улучшенной аппроксимации сила сопротивления на сфере.^[8][9]

Смотрите также

• Приближение Озеена
• Закон Стокса

Рекомендации

1. Лэмб, Гораций (1945). Гидродинамика (Шестое изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр.602–604.
2. Ван Дайк, Милтон (1975). Методы возмущений в механике жидкости. Параболический пресс.
3. Лэмб, Гораций (1945). Гидродинамика (Шестое изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр.602.
4. Вайсштейн, Эрик В. (2002). CRC Краткая энциклопедия математики. CRC Press. ISBN  1584883472.
5. Лэмб, Гораций (1945). Гидродинамика (Шестое изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр.615.
6. Сарасон, Дональд (1994). Заметки по теории сложных функций. Беркли, Калифорния.
7. Лэмб, Гораций (1945). Гидродинамика (Шестое изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр.608–609.
8. Лэмб, Гораций (1945). Гидродинамика (Шестое изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр.609–616.
9. Гольдштейн, Сидней (1965). Современные разработки в гидродинамике. Dover Publications.