Система дифференциальных уравнений - System of differential equations - Wikipedia

В математике система дифференциальных уравнений конечный набор дифференциальные уравнения. Такая система может быть либо линейный или же нелинейный. Также такая система может быть либо системой обыкновенные дифференциальные уравнения или система уравнения в частных производных.

Линейная система дифференциальных уравнений

Основная статья: Линейное дифференциальное уравнение

Как и любая система уравнений, система линейных дифференциальных уравнений называется сверхопределенный если уравнений больше, чем неизвестных. Система Уравнения Коши – Римана является примером переопределенной системы.

Чтобы переопределенная система имела решение, она должна удовлетворять условия совместимости.^[1] Например, рассмотрим систему:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=f_{i},1\leq i\leq m.}$

Тогда необходимые условия для того, чтобы система имела решение:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}=0,1\leq i,k\leq m.}$

Смотрите также: Задача Коши и Фундаментальный принцип Эренпрейса.

Нелинейная система дифференциальных уравнений

Основная статья: Нелинейное дифференциальное уравнение

Возможно, самым известным примером нелинейной системы дифференциальных уравнений является Уравнения Навье – Стокса. В отличие от линейного случая, существование решения нелинейной системы представляет собой трудную проблему (см. Существование и гладкость Навье – Стокса..)

Смотрите также: h-принцип.

Дифференциальная система

А дифференциальная система является средством изучения системы дифференциальных уравнений в частных производных с использованием геометрических идей, таких как дифференциальные формы и векторные поля.

Например, условия совместности переопределенной системы дифференциальных уравнений могут быть кратко сформулированы в терминах дифференциальных форм (то есть, если быть точным, форма должна быть замкнута). Видеть условия интегрируемости дифференциальных систем для большего.

Смотрите также: Категория: дифференциальные системы.

Примечания

1. https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Overdetermined_system

Смотрите также

• интегральная геометрия
• Теорема Картана – Кураниши о продолжении

Рекомендации

• Л. Эренпрейс, Универсальность преобразования радона, Oxford Univ. Пресса, 2003.
• Громов М. (1986), Отношения с частными производными, Springer, ISBN  3-540-12177-3
• М. Кураниши, "Лекции по инволютивным системам дифференциальных уравнений в частных производных", Publ. Soc. Мат. Сан-Паулу (1967)
• Пьер Шапира, Микродифференциальные системы в сложной области, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 269, Springer-Verlag, 1985.

дальнейшее чтение

• https://mathoverflow.net/questions/273235/a-very-basic-question-about-projection-in-formal-pde-theory
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Involutional_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Complete_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Partial_differential_equations_on_a_manifold