Группа тарских монстров - Tarski monster group

Эта статья о бесконечной группе, известной как группа монстров Тарского. О самой большой из спорадических простых групп см. Группа монстров.

В области современной алгебры, известной как теория групп, а Группа тарских монстров, названный в честь Альфред Тарский, является бесконечным группа грамм, такая, что каждая собственная подгруппа ЧАС из грамм, отличная от тождественной подгруппы, является циклическая группа порядка фиксированного простое число п. Группа монстров Тарского обязательно просто. Это было показано Александр Ю. Ольшанский в 1979 году, что существуют группы Тарского и что существует группа Тарского п-группа для каждого простого числа п > 10⁷⁵. Они являются источником контрпримеры домыслы в теория групп, самое главное Проблема Бернсайда и гипотеза фон Неймана.

Определение

Позволять ${\displaystyle p}$ фиксированное простое число. Бесконечная группа ${\displaystyle G}$ называется группой Тарского монстра для ${\displaystyle p}$ если каждая нетривиальная подгруппа (т.е. каждая подгруппа кроме 1 и самой G) имеет ${\displaystyle p}$ элементы.

Характеристики

• ${\displaystyle G}$ обязательно конечно порожден. Фактически он генерируется каждыми двумя некоммутирующими элементами.
• ${\displaystyle G}$ это просто. Если ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ и ${\displaystyle U\leq G}$ любая подгруппа отлична от ${\displaystyle N}$ подгруппа ${\displaystyle NU}$ имел бы ${\displaystyle p^{2}}$ элементы.
• Конструкция Ольшанского показывает, что существуют континуум-многие неизоморфные группы монстров Тарского для каждого простого числа ${\displaystyle p>10^{75}}$.
• Группы монстров Тарского являются примером непримиримый группы, не содержащие свободной подгруппы.

Рекомендации

• А.Ю. Ольшанский, Бесконечная группа с подгруппами простых порядков, Матем. СССР Изв. 16 (1981), 279–289; перевод Известий Акад. АН СССР сер. Матем. 44 (1980), 309–321.
• А.Ю. Ольшанский, Группы ограниченного периода с подгруппами простого порядка, Алгебра и логика, 21 (1983), 369–418; перевод Алгебры и логики 21 (1982), 553–618.
• Ольшанский, А.Ю. (1991), Геометрия определения отношений в группах, Математика и ее приложения (Советская серия), 70, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN  978-0-7923-1394-6