Тавтологическое кольцо - Tautological ring

В алгебраическая геометрия, то тавтологическое кольцо это подкольцо Кольцо для чау-чау из пространство модулей кривых порожденные тавтологическими классами. Это классы, полученные из 1 путем прямого продвижения по различным морфизмам, описанным ниже. В кольцо тавтологических когомологий - образ тавтологического кольца при отображении цикла (от кольца Чжоу до кольца когомологий).

Определение

Позволять ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ быть стеком модулей стабильные отмеченные кривые ${\displaystyle (C;x_{1},\ldots ,x_{n})}$, так что

• C сложная кривая арифметического рода г единственными особенностями которого являются узлы,

• то п точки Икс₁, ..., Икс_п различные гладкие точки C,

• отмеченная кривая устойчива, а именно ее группа автоморфизмов (оставляющая отмеченные точки инвариантными) конечна.

Последнее условие требует ${\displaystyle 2g-2+n>0}$ другими словами (г,п) не входит в число (0,0), (0,1), (0,2), (1,0). Стек ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ тогда имеет размер ${\displaystyle 3g-3+n}$. Помимо перестановок отмеченных точек, следующие морфизмы между этими стеками модулей играют важную роль в определении тавтологических классов:

• Забывчивые карты ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n-1}}$ которые действуют путем удаления данной точки Икс_k из набора отмеченных точек, затем повторно стабилизируя отмеченную кривую, если она больше не стабильна^{[требуется разъяснение ]}.

• Склейка карт ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'+1}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g+g',n+n'}}$ которые определяют k-я отмеченная точка кривой до л-й отмеченной точкой другого. Другой набор карт склейки - это ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+2}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g+1,n}}$ которые определяют k-й и л-й отмечены точки, таким образом увеличивая род, создавая замкнутый цикл.

В тавтологические кольца ${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$ одновременно определяются как наименьшие подкольца колец Чоу, замкнутые при прямом вызове с помощью забывания и склеивания отображений.^[1]

В кольцо тавтологических когомологий ${\displaystyle RH^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$ это изображение ${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$ под картой цикла. По состоянию на 2016 год неизвестно, изоморфны ли тавтологические и тавтологические кольца когомологий.

Генераторная установка

Для ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ мы определяем класс ${\displaystyle \psi _{k}\in R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$ следующим образом. Позволять ${\displaystyle \delta _{k}}$ - прямой переход 1 вдоль карты склейки ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{0,3}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}}$ который определяет отмеченную точку Икс_k первой кривой в одну из трех отмеченных точек y_я на сфере (последний выбор несущественен из-за автоморфизмов). Полученные точки для определенности упорядочим как Икс₁, ..., Икс_k−1, y₁, y₂, Икс_k+1, ..., Икс_п. потом ${\displaystyle \psi _{k}}$ определяется как продвижение ${\displaystyle -\delta _{k}^{2}}$ по забывчивой карте, которая забывает о сути y₂. Этот класс совпадает с первым классом Черна некоторого линейного расслоения.^[1]

Для ${\displaystyle i\geq 1}$ мы также определяем ${\displaystyle \kappa _{i}\in R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$ быть толчком ${\displaystyle (\psi _{k})^{i+1}}$ по забытой карте ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ что забывает k-й пункт. Это не зависит от k (просто переставьте точки).

Теорема. ${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$ аддитивно порождается пересылками по (любому количеству) отображений мономов в ${\displaystyle \psi }$ и ${\displaystyle \kappa }$ классы.

Эти форварды одночленов (далее называемые базовыми классами) не образуют основы. Набор отношений полностью не известен.

Теорема. Тавтологические кольца инвариантны относительно откатов по склеивающим и забывчивым отображениям. Существуют универсальные комбинаторные формулы, выражающие продвижение вперед, откат и произведение базовых классов как линейные комбинации базовых классов.

Гипотезы Фабера

Тавтологическое кольцо ${\displaystyle R^{\bullet }({\mathcal {M}}_{g,n})}$ на пространстве модулей гладких построконечный род г кривые просто состоят из ограничений классов в ${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$. Мы опускаем п когда он равен нулю (когда нет отмеченной точки).

В этом случае ${\displaystyle n=0}$ кривых без отмеченных точек, предположил Мамфорд, а Мэдсен и Вайсс доказали, что для любого ${\displaystyle d>0}$ карта ${\displaystyle \mathbb {Q} [\kappa _{1},\kappa _{2},\ldots ]\to H^{\bullet }({\mathcal {M}}_{g})}$ является изоморфизмом степени d для достаточно большого г. В этом случае все классы тавтологичны.

Гипотеза (Фабер). (1) Исчезают тавтологические кольца большой степени: ${\displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})=0}$ для ${\displaystyle d>g-2.}$ (2) ${\displaystyle R^{g-2}({\mathcal {M}}_{g})\cong \mathbb {Q} }$ и для этого изоморфизма существует явная комбинаторная формула. (3) Произведение (происходящее из кольца Чоу) классов определяет идеальную пару ${\displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})\times R^{g-d-2}({\mathcal {M}}_{g})\to R^{g-2}({\mathcal {M}}_{g})\cong \mathbb {Q} .}$

Несмотря на то что ${\displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})}$ тривиально исчезает для ${\displaystyle d>3g-3}$ из-за размера ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$, предполагаемая оценка намного ниже. Гипотеза полностью определит структуру кольца: многочлен от ${\displaystyle \kappa _{j}}$ когомологической степени d обращается в нуль тогда и только тогда, когда его спаривание со всеми многочленами когомологической степени ${\displaystyle g-d-2}$ исчезает.

Части (1) и (2) гипотезы доказаны. Часть (3), также называемая гипотезой Горенштейна, проверялась только на ${\displaystyle g<24}$. Для ${\displaystyle g=24}$ и высший род, несколько способов построения отношений между ${\displaystyle \kappa }$ классы обнаруживают тот же набор отношений, которые предполагают, что размеры ${\displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})}$ и ${\displaystyle R^{g-d-2}({\mathcal {M}}_{g})}$ разные. Если набор отношений, найденных этими методами, является полным, то гипотеза Горенштейна неверна. Помимо оригинального несистематического компьютерного поиска Фабера, основанного на классических отображениях между векторными расслоениями над ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}^{d}}$, то d-я степень волокна универсальной кривой ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}={\mathcal {M}}_{g,1}\twoheadrightarrow {\mathcal {M}}_{g}}$, для поиска отношений использовались следующие методы:

• Виртуальные классы пространства модулей стабильных факторов (над ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$) Пандхарипанде и Пиксон.^[2]

• Виттена р-спиновым классом и классификацией когомологических теорий поля Гивенталя-Телемана, использованной Пандхарипанде, Пиксоном, Звонкиным.^[3]

• Геометрия универсального якобиана над ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,1}}$, пользователя Yin.

• Степени тэта-делителя на универсальном абелевом многообразии, Грушевский и Захаров.^[4]

Доказано, что эти четыре метода дают одинаковый набор отношений.

Аналогичные гипотезы были сформулированы для пространств модулей ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ устойчивых кривых и ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\text{c.t.}}}$ устойчивых кривых компактного типа. Однако Петерсен-Томмази^[5] доказал, что ${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{2,20})}$ и ${\displaystyle R^{\bullet }({\mathcal {M}}_{2,8}^{\text{c.t.}})}$ не подчиняются (аналогичной) гипотезе Горенштейна. С другой стороны, Тавакол^[6] доказал, что для рода 2 пространство модулей устойчивых кривых с рациональными хвостами ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2,n}^{\text{r.t.}}}$ подчиняется условию Горенштейна для каждого п.

Смотрите также

• Формула ELSV
• Комплект ходжа
• Гипотеза Виттена

использованная литература

1. Faber, C .; Пандхарипанде, Р. (2011). «Тавтологические и нетавтологические когомологии пространства модулей кривых». arXiv:1101.5489 [math.AG ].
2. Pandharipande, R .; Пиксон, А. (2013). «Соотношения в тавтологическом кольце пространства модулей кривых». arXiv:1301.4561 [math.AG ].
3. Pandharipande, R .; Pixton, A .; Звонкин, Д. (2016). «Тавтологические отношения через структуры r-спина». arXiv:1607.00978 [math.AG ].
4. Грушевский, Самуил; Захаров, Дмитрий (2012). «Нулевое сечение универсального полуабелевого многообразия и цикл двойного ветвления». Математический журнал герцога. 163 (5): 953–982. arXiv:1206.3534. Дои:10.1215/00127094-26444575.
5. Петерсен, Дэн; Томмази, Орсола (2012). «Гипотеза Горенштейна неверна для тавтологического кольца $ mathcal { bar M} _ {2, n} $». Математические изобретения. 196 (2014): 139. arXiv:1210.5761. Bibcode:2014InMat.196..139P. Дои:10.1007 / s00222-013-0466-z.
6. Тавакол, Мехди (2011). «Тавтологическое кольцо пространства модулей M_ {2, n} ^ rt». arXiv:1101.5242 [math.AG ].

• Вакил, Рави (2003), «Пространство модулей кривых и его тавтологическое кольцо» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 50 (6): 647–658, Г-Н  1988577
• Грабер, Том; Вакил, Рави (2001), "На тавтологическом кольце ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$" (PDF), Турецкий математический журнал, 25 (1): 237–243, Г-Н  1829089