Соскоб Тейлора - Taylor scraping flow - Wikipedia

В динамика жидкостей, Соскоб Тейлора это тип двумерного угловой поток возникает, когда одна из стен скользит по другой с постоянной скоростью, названная в честь Г. И. Тейлор.^[1][2][3]

Описание потока

Рассмотрим плоскую стену, расположенную на ${\displaystyle \theta =0}$ в цилиндрических координатах ${\displaystyle (r,\theta )}$, движущийся с постоянной скоростью ${\displaystyle U}$ влево. Рассмотрим другую плоскую стенку (скребок) в наклонном положении, образующем угол ${\displaystyle \alpha }$ из положительного ${\displaystyle x}$ направление и пусть точка пересечения будет в ${\displaystyle r=0}$. Это описание эквивалентно перемещению скребка вправо со скоростью ${\displaystyle U}$. Проблема особенная при ${\displaystyle r=0}$ потому что в начале координат скорости не являются непрерывными, поэтому градиент скорости там бесконечен.

Тейлор заметил, что инерционные члены пренебрежимо малы, пока интересующая область находится в пределах ${\displaystyle r\ll \nu /U}$(или, что эквивалентно Число Рейнольдса ${\displaystyle Re=Ur/\nu \ll 1}$), поэтому внутри области поток по существу представляет собой Стокса поток. Например, Джордж Бэтчелор дает типичное значение для смазочного масла со скоростью ${\displaystyle U=10{\text{ cm}}/{\text{s}}}$ в качестве ${\displaystyle r\ll 0.4{\text{ cm}}}$.^[4] Тогда для двумерной плоской задачи уравнение имеет вид

${\displaystyle \nabla ^{4}\psi =0,\quad u_{r}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},\quad u_{\theta }=-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}}$

куда ${\displaystyle \mathbf {v} =(u_{r},u_{\theta })}$ - поле скоростей и ${\displaystyle \psi }$ это функция потока. Граничные условия:

${\displaystyle {\begin{aligned}r>0,\ \theta =0:&\quad u_{r}=-U,\ u_{\theta }=0\\r>0,\ \theta =\alpha :&\quad u_{r}=0,\ u_{\theta }=0\end{aligned}}}$

Решение

Попытка отделяемый решение формы ${\displaystyle \psi =Urf(\theta )}$ сводит проблему к

${\displaystyle f^{iv}+2f''+f=0}$

с граничными условиями

${\displaystyle f(0)=0,\ f'(0)=-1,\ f(\alpha )=0,\ f'(\alpha )=0}$

Решение^[5]

${\displaystyle f(\theta )={\frac {1}{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}[\theta \sin \alpha \sin(\alpha -\theta )-\alpha (\alpha -\theta )\sin \theta ]}$

Следовательно, поле скорости равно

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&={\frac {U}{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}\{\sin \alpha [\sin(\alpha -\theta )-\theta \cos(\alpha -\theta )]+\alpha [\sin \theta -(\alpha -\theta )\cos \theta ]\}\\u_{\theta }&=-{\frac {U}{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}[\theta \sin \alpha \sin(\alpha -\theta )-\alpha (\alpha -\theta )\sin \theta ]\end{aligned}}}$

Давление может быть получено интегрированием уравнения количества движения

${\displaystyle \nabla p=\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} ,\quad p(r,\infty )=p_{\infty }}$

который дает,

${\displaystyle p(r,\theta )-p_{\infty }={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\alpha \sin \theta +\sin \alpha \sin(\alpha -\theta )}{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}}$

Напряжения на скребке

Напряжения на скребке

Касательное напряжение и нормальное напряжение на скребке из-за давления и сил вязкости равны

${\displaystyle \sigma _{t}={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\sin \alpha -\alpha \cos \alpha }{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }},\quad \sigma _{n}={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\alpha \sin \alpha }{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}}$

То же самое напряжение скребка, если оно разрешено в декартовых координатах (параллельно и перпендикулярно нижней пластине, т.е. ${\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{t}\sin \alpha +\sigma _{n}\cos \alpha ,\ \sigma _{y}=-\sigma _{t}\cos \alpha +\sigma _{n}\sin \alpha }$) находятся

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\alpha -\sin \alpha \cos \alpha }{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }},\quad \sigma _{y}={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}}$

Как отмечалось ранее, все напряжения становятся бесконечными при ${\displaystyle r=0}$, потому что градиент скорости там бесконечен. В реальной жизни в точке будет огромное давление, которое зависит от геометрии контакта. Напряжения показаны на рисунке, как указано в исходной статье Тейлора.

Напряжение в направлении, параллельном нижней стенке, уменьшается как ${\displaystyle \alpha }$ увеличивается и достигает минимального значения ${\displaystyle \sigma _{x}=2\mu U/r}$ в ${\displaystyle \alpha =\pi }$. Тейлор говорит: «Самая интересная и, возможно, неожиданная особенность расчетов заключается в том, что ${\displaystyle \sigma _{y}}$ не меняет знак в диапазоне ${\displaystyle 0<\alpha <\pi }$. В диапазоне ${\displaystyle \pi /2<\alpha <\pi }$ вклад в ${\displaystyle \sigma _{y}}$ из-за нормального напряжения имеет противоположный знак, чем из-за касательного напряжения, но последнее больше. Мастихинные ножи, используемые художниками для удаления краски со своих палитр, представляют собой очень гибкие скребки. Поэтому их можно использовать только под таким углом, чтобы ${\displaystyle \sigma _{n}}$ мала, и, как будет видно на рисунке, это происходит только тогда, когда ${\displaystyle \alpha }$ почти ${\displaystyle 180^{\circ }}$. На самом деле художники инстинктивно держат свои мастихины в этом положении ». Далее он добавляет:« Штукатур с другой стороны держит инструмент для сглаживания, чтобы ${\displaystyle \alpha }$ маленький. Таким образом он может получить большие значения ${\displaystyle \sigma _{y}/\sigma _{x}}$ которые необходимы для наложения штукатурки от выступов к впадинам ».

Очистка степенной жидкости

Поскольку приложения для очистки важны для неньютоновская жидкость (например, соскабливание краски, лака для ногтей, крема, масла, меда и т. д.), этот случай необходимо учитывать. Анализ был проведен Дж. Ридлером и Вильгельмом Шнайдером в 1983 г., и им удалось получить автомодельные решения за степенные жидкости удовлетворяющий соотношению для кажущаяся вязкость^[6]

${\displaystyle \mu =m_{z}\left\{4\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)\right]^{2}+\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}-r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)\right]^{2}\right\}^{(n-1)/2}}$

куда ${\displaystyle m_{z}}$ и ${\displaystyle n}$ являются константами. Решение для функции тока потока, создаваемого пластиной, движущейся вправо, дается выражением

${\displaystyle \psi =Ur\left\{\left[1-{\frac {J_{1}(\theta )}{J_{1}(\alpha )}}\right]\sin \theta +{\frac {J_{2}(\theta )}{J_{1}(\alpha )}}\cos \theta \right\}}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=\mathrm {sgn} (F)\int _{0}^{\theta }|F|^{1/n}\cos x\,dx,\\J_{2}&=\mathrm {sgn} (F)\int _{0}^{\theta }|F|^{1/n}\sin x\,dx\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}F=\sin({\sqrt {n(2-n)}}x-C)\quad {\text{if}}\,n<2,\\F={\sqrt {x-C}}\qquad \qquad \qquad \quad {\text{if}}\,n=2,\\F=\sinh({\sqrt {n(n-2)}}x-C)\quad {\text{if}}\,n>2\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle C}$ это корень ${\displaystyle J_{2}(\alpha )=0}$. Можно проверить, что это решение сводится к решению Тейлора для ньютоновских жидкостей, т. Е. Когда ${\displaystyle n=1}$.

Рекомендации

1. Тейлор, Г. И. (1960). «Подобие решения гидродинамических задач». Аэронавтика и астронавтика. 4: 214.
2. Тейлор, Г. И. (1962). «О соскабливании вязкой жидкости с плоской поверхности». Miszellangen der Angewandten Mechanik. Festschrift Walter Tollmien. С. 313–315.
3. Тейлор, Г. И. (1958). Бакалавр, Г. К. (ред.). Научные статьи. п. 467.
4. Бэтчелор, Джордж Кейт (2000). Введение в динамику жидкости. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-66396-2.
5. Ачесон, Дэвид Дж. (1990). Элементарная гидродинамика. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-859660-X.
6. Riedler, J .; Шнайдер, В. (1983). «Вязкое течение в угловых областях с движущейся стенкой и утечкой жидкости». Acta Mechanica. 48 (1–2): 95–102. Дои:10.1007 / BF01178500.