Теорема о формальных функциях - Theorem on formal functions

В алгебраическая геометрия, то теорема о формальных функциях заявляет следующее:^[1]

Позволять ${\displaystyle f:X\to S}$ быть правильный морфизм из нётерские схемы связной связкой ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на Икс. Позволять ${\displaystyle S_{0}}$ быть закрытой подсхемой S определяется ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ и ${\displaystyle {\widehat {X}},{\widehat {S}}}$ формальное завершение относительно ${\displaystyle X_{0}=f^{-1}(S_{0})}$ и ${\displaystyle S_{0}}$. Тогда для каждого ${\displaystyle p\geq 0}$ каноническое (непрерывное) отображение:

${\displaystyle (R^{p}f_{*}{\mathcal {F}})^{\wedge }\to \varprojlim _{k}R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}_{k}}$

является изоморфизмом (топологического) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\widehat {S}}}$-модули, где

• Левый член ${\displaystyle \varprojlim R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}{\mathcal {O}}_{S}/{{\mathcal {I}}^{k+1}}}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}={\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}({\mathcal {O}}_{S}/{\mathcal {I}}^{k+1})}$
• Каноническое отображение получается предельным переходом.

Теорема используется для вывода некоторых других важных теорем: Факторизация Штейна и версия Основная теорема Зарисского это говорит, что правильный бирациональный морфизм в нормальный сорт является изоморфизмом. Некоторые другие следствия (с обозначениями, как указано выше):

Следствие:^[2] Для любого ${\displaystyle s\in S}$, топологически,

${\displaystyle ((R^{p}f_{*}{\mathcal {F}})_{s})^{\wedge }\simeq \varprojlim H^{p}(f^{-1}(s),{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}({\mathcal {O}}_{s}/{\mathfrak {m}}_{s}^{k}))}$

где пополнение слева по ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{s}}$.

Следствие:^[3] Позволять р быть таким, чтобы ${\displaystyle \operatorname {dim} f^{-1}(s)\leq r}$ для всех ${\displaystyle s\in S}$. потом

${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}=0,\quad i>r.}$

Corollay:^[4] Для каждого ${\displaystyle s\in S}$, существует открытая окрестность U из s такой, что

${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}|_{U}=0,\quad i>\operatorname {dim} f^{-1}(s).}$

Следствие:^[5] Если ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{S}}$, тогда ${\displaystyle f^{-1}(s)}$ подключен для всех ${\displaystyle s\in S}$.

Теорема также приводит к Теорема существования Гротендика, что придает эквивалентность категории когерентных пучков на схеме и категории когерентных пучков при ее формальном пополнении (в частности, дает алгебрализуемость).

Наконец, можно ослабить гипотезу теоремы; ср. Illusie. Согласно Иллюзи (стр. 204), доказательство, данное в EGA III, принадлежит Серру. Оригинальное доказательство (принадлежащее Гротендику) так и не было опубликовано.

Построение канонического отображения

Пусть настройка будет как в леде. В доказательстве используется следующее альтернативное определение канонического отображения.

Позволять ${\displaystyle i':{\widehat {X}}\to X,i:{\widehat {S}}\to S}$ - канонические отображения. Тогда у нас есть карта изменения базы из ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\widehat {S}}}$-модули

${\displaystyle i^{*}R^{q}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{p}{\widehat {f}}_{*}(i'^{*}{\mathcal {F}})}$.

куда ${\displaystyle {\widehat {f}}:{\widehat {X}}\to {\widehat {S}}}$ индуцируется ${\displaystyle f:X\to S}$. С ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ согласован, мы можем идентифицировать ${\displaystyle i'^{*}{\mathcal {F}}}$ с ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {F}}}}$. С ${\displaystyle R^{q}f_{*}{\mathcal {F}}}$ также когерентен (как ж правильно), выполняя ту же идентификацию, следующее гласит:

${\displaystyle (R^{q}f_{*}{\mathcal {F}})^{\wedge }\to R^{p}{\widehat {f}}_{*}{\widehat {\mathcal {F}}}}$.

С помощью ${\displaystyle f:X_{n}\to S_{n}}$ куда ${\displaystyle X_{n}=(X_{0},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {J}}^{n+1})}$ и ${\displaystyle S_{n}=(S_{0},{\mathcal {O}}_{S}/{\mathcal {I}}^{n+1})}$, также получаем (после перехода к пределу):

${\displaystyle R^{q}{\widehat {f}}_{*}{\widehat {\mathcal {F}}}\to \varprojlim R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}_{n}}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ такие же, как и раньше. Можно проверить, что состав двух карт - это одна и та же карта в леде. (см. EGA III-1, раздел 4)

Примечания

1. EGA III-1, 4.1.5 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEGA_III-1 (помощь)
2. EGA III-1, 4.2.1 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEGA_III-1 (помощь)
3. Hartshorne, Гл. III. Следствие 11.2. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHartshorne (помощь)
4. Тот же аргумент, что и в предыдущем следствии.
5. Hartshorne, Гл. III. Следствие 11.3. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHartshorne (помощь)

Рекомендации

• Люк Иллюзи, Темы по алгебраической геометрии
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 11. Дои:10.1007 / bf02684274. МИСТЕР  0217085.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157