Тонкая шлицевая пластина - Thin plate spline

Тонкие шлицы пластины (TPS) площадь сплайн основанная на данных техника интерполяция и сглаживание. Их познакомили с геометрический дизайн пользователя Duchon.^[1] Это важный частный случай полигармонический сплайн. Robust Point Matching (RPM) - это распространенное расширение, вскоре известное как алгоритм TPS-RPM.^[2]

Физическая аналогия

Название шлиц тонкой пластины относится к физической аналогии, включающей изгиб тонкого листа металла. Точно так же, как металл обладает жесткостью, подгонка TPS также сопротивляется изгибу, что подразумевает штраф, связанный с гладкостью подогнанной поверхности. В физических условиях прогиб находится в ${displaystyle z}$ направление, ортогональное плоскости. Чтобы применить эту идею к задаче преобразования координат, можно интерпретировать подъем пластины как перемещение ${displaystyle x}$ или же ${displaystyle y}$ координаты в плоскости. В 2D случаях при наличии набора ${displaystyle K}$ соответствующие точки, деформация TPS описывается ${displaystyle 2(K+3)}$ параметры, которые включают в себя 6 глобальных параметров аффинного движения и ${displaystyle 2K}$ коэффициенты соответствия контрольных точек. Эти параметры вычисляются путем решения линейной системы, другими словами, TPS имеет закрытое решение.

Измерение гладкости

TPS возникает из рассмотрения интеграла от квадрата второй производной - это составляет его меру гладкости. В случае, когда ${displaystyle x}$ является двумерным, для интерполяции TPS соответствует функции отображения ${displaystyle f(x)}$ между соответствующими наборами точек ${displaystyle {y_{i}}}$ и ${displaystyle {x_{i}}}$ который минимизирует следующую энергетическую функцию:

${displaystyle E_{mathrm {tps} }(f)=sum _{i=1}^{K}|y_{i}-f(x_{i})|^{2}}$

Вариант сглаживания, соответственно, использует параметр настройки ${displaystyle lambda }$ для контроля жесткости деформации, уравновешивая вышеупомянутый критерий с мерой качества посадки, тем самым сводя к минимуму:

${displaystyle E_{mathrm {tps} ,mathrm {smooth} }(f)=sum _{i=1}^{K}|y_{i}-f(x_{i})|^{2}+lambda iint left[left({frac {partial ^{2}f}{partial x_{1}^{2}}}ight)^{2}+2left({frac {partial ^{2}f}{partial x_{1}partial x_{2}}}ight)^{2}+left({frac {partial ^{2}f}{partial x_{2}^{2}}}ight)^{2}ight]{ extrm {d}}x_{1},{ extrm {d}}x_{2}}$

Для этой вариационной задачи можно показать, что существует единственный минимизатор ${displaystyle f}$ .^[3] В заключительный элемент дискретизации этой вариационной задачи метод эластичные карты, используется для сбор данных и уменьшение нелинейной размерности.

Радиальная базисная функция

Основная статья: Радиальная базисная функция

Сплайн тонкой пластины имеет естественное представление в терминах радиальных базисных функций. Учитывая набор контрольных точек ${displaystyle {c_{i},i=1,2,ldots ,K}}$, радиальная базисная функция определяет пространственное отображение, которое отображает любое местоположение ${displaystyle x}$ в космосе в новое место ${displaystyle f(x)}$, представлена

${displaystyle f(x)=sum _{i=1}^{K}w_{i}varphi (left|x-c_{i}ight|)}$

куда ${displaystyle left|cdot ight|}$ обозначает обычный Евклидова норма и ${displaystyle {w_{i}}}$ - это набор коэффициентов отображения. TPS соответствует радиальному базисному ядру ${displaystyle varphi (r)=r^{2}log r}$.

Сплайн

Предположим, что точки находятся в двух измерениях (${displaystyle D=2}$). Можно использовать однородные координаты для набора точек, где точка ${displaystyle y_{i}}$ представлен как вектор ${displaystyle (1,y_{ix},y_{iy})}$. Уникальный минимайзер ${displaystyle f}$ параметризуется ${displaystyle alpha }$ который состоит из двух матриц ${displaystyle d}$ и ${displaystyle c}$ (${displaystyle alpha ={d,c}}$).

${displaystyle f_{tps}(z,alpha )=f_{tps}(z,d,c)=zcdot d+phi (z)cdot c=zcdot d+sum _{i=1}^{K}phi _{i}(z)c_{i}}$

где d - это ${displaystyle (D+1) imes (D+1)}$ матрица, представляющая аффинное преобразование (следовательно, ${displaystyle z}$ это ${displaystyle 1 imes (D+1)}$ вектор) и c является ${displaystyle K imes (D+1)}$ Матрица коэффициентов коробления, представляющая неаффинную деформацию. Функция ядра ${displaystyle phi (z)}$ это ${displaystyle 1 imes K}$ вектор для каждой точки ${displaystyle z}$, где каждая запись ${displaystyle phi _{i}(z)=|z-x_{i}|^{2}log |z-x_{i}|}$. Обратите внимание, что для TPS контрольные точки ${displaystyle {c_{i}}}$ выбираются такими же, как и набор точек для деформации ${displaystyle {x_{i}}}$, поэтому мы уже используем ${displaystyle {x_{i}}}$ на месте контрольных точек.

Если заменить решение на ${displaystyle f}$, ${displaystyle E_{tps}}$ становится:

${displaystyle E_{tps}(d,c)=|Y-Xd-Phi c|^{2}+lambda c^{T}Phi c}$

куда ${displaystyle Y}$ и ${displaystyle X}$ просто конкатенированные версии координат точки ${displaystyle y_{i}}$ и ${displaystyle x_{i}}$, и ${displaystyle Phi }$ это ${displaystyle (K imes K)}$ матрица сформирована из ${displaystyle phi (|x_{i}-x_{j}|)}$. Каждая строка каждой вновь сформированной матрицы происходит от одного из исходных векторов. Матрица ${displaystyle Phi }$ представляет собой ядро ​​TPS. Грубо говоря, ядро ​​TPS содержит информацию о внутренних структурных отношениях набора точек. В сочетании с коэффициентами коробления ${displaystyle c}$создается нежесткое коробление.

Приятным свойством TPS является то, что его всегда можно разложить на глобальный аффинный и локальный неаффинный компоненты. Следовательно, член гладкости TPS зависит исключительно от неаффинных компонентов. Это желательное свойство, особенно по сравнению с другими сплайнами, поскольку глобальные параметры позы, включенные в аффинное преобразование, не подвергаются штрафу.

Приложения

TPS широко используется в качестве модели нежесткого преобразования при выравнивании изображений и согласовании форм.^[4]Дополнительным приложением является анализ и сравнение археологических находок в 3D.^[5] и был реализован для треугольные сетки в Программный фреймворк GigaMesh.^[6]

Тонкая шлицевая пластина обладает рядом свойств, которые способствовали ее популярности:

1. Он создает гладкие поверхности, которые можно бесконечно дифференцировать.
2. Нет свободных параметров, требующих ручной настройки.
3. Он имеет решения в закрытой форме как для деформации, так и для оценки параметров.
4. Есть физическое объяснение его энергетической функции.

Однако обратите внимание, что шлицы уже в одном измерении могут вызвать серьезные «выбросы». В 2D такие эффекты могут быть гораздо более критичными, потому что TPS не объективны.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

• Взвешивание обратных расстояний
• Радиальная базисная функция
• Подразделение поверхности (новая альтернатива сплайн-поверхностям)
• Эластичная карта (дискретный вариант приближения тонкой пластины для многообразное обучение )
• Сплайн
• Полигармонический сплайн (шлиц тонкой пластины является частным случаем полигармонического сплайна)
• Сглаживающий сплайн

Рекомендации

1. Дж. Дюшон, 1976 г., Сплайны, минимизирующие инвариантные относительно вращения полунормы в пространствах Соболева. С. 85–100, В: Конструктивная теория функций многих переменных, Обервольфах, 1976, У. Шемпп и К. Целлер, ред., конспект лекций по математике, т. 571, Шпрингер, Берлин, 1977. Дои:10.1007 / BFb0086566
2. Чуй, Хайли (2001), Сопоставление нежестких точек: алгоритмы, расширения и приложения, Йельский университет, Нью-Хейвен, Коннектикут, США, CiteSeerX  10.1.1.109.6855
3. Вахба, Грейс (1990), Сплайновые модели для данных наблюдений, Филадельфия, Пенсильвания, США: Общество промышленной и прикладной математики (СИАМ), CiteSeerX  10.1.1.470.5213, Дои:10.1137/1.9781611970128, ISBN  978-0-89871-244-5
4. Букштейн, Ф. Л. (июнь 1989 г.). «Основные перекосы: шлицы тонких пластин и разложение деформаций». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу. 11 (6): 567–585. Дои:10.1109/34.24792.
5. Богач, Бартош; Пападимитриу, Николас; Панагиотопулос, Диамантис; Мара, Юбер (2019), «Восстановление и визуализация деформации в трехмерных уплотнениях Эгейского моря», Proc. 14-й Международной конференции по теории и приложениям компьютерного зрения (VISAPP), Прага, Чешская Республика, получено 28 марта 2019
6. «Урок № 13: Применение преобразования TPS-RPM». Программный фреймворк GigaMesh. Получено 3 марта 2019.

внешняя ссылка

• Объяснение упрощенной вариационной задачи
• TPS в MathWorld
• TPS в C ++
• TPS в шаблонном C ++
• Демонстрация интерактивного морфинга TPS
• TPS в R