Скрининг Томаса – Ферми - Thomas–Fermi screening

Скрининг Томаса – Ферми теоретический подход к вычислению эффектов экранирование электрического поля электронами в твердом теле.^[1] Это частный случай более общего Теория Линдхарда; в частности, экранирование Томаса – Ферми является пределом формулы Линдхарда, когда волновой вектор (величина, обратная интересующему масштабу длины) намного меньше волнового вектора Ферми, то есть предел для больших расстояний.^[1] Он назван в честь Ллевеллин Томас и Энрико Ферми.

Волновой вектор Томаса – Ферми (в Гауссовские единицы измерения ) является^[1]

${\displaystyle k_{0}^{2}=4\pi e^{2}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}$,

где μ это химический потенциал (Уровень Ферми ), п - концентрация электронов и е это элементарный заряд.

Во многих случаях, включая полупроводники, которые не слишком легированы, п∝е^μ/k_BТ, где k_B постоянная Больцмана и Т это температура. В таком случае,

${\displaystyle k_{0}^{2}={\frac {4\pi e^{2}n}{k_{\rm {B}}T}}}$,

т.е. 1 /k₀ дается известной формулой для Длина Дебая. В противоположном крайнем случае, в пределе низких температур Т = 0, электроны ведут себя как квантовые частицы (фермионы ). Такое приближение справедливо для металлов при комнатной температуре, и экранирующий волновой вектор Томаса – Ферми k_TF приведены в атомные единицы является

${\displaystyle k_{\rm {TF}}^{2}=4\left({\frac {3n}{\pi }}\right)^{1/3}}$.

Если мы восстановим масса электрона ${\displaystyle m_{e}}$ и Постоянная Планка ${\displaystyle \hbar }$, экранирующий волновой вектор в гауссовых единицах равен ${\displaystyle k_{0}^{2}=k_{\rm {TF}}^{2}(m_{e}/\hbar ^{2})}$.

Для получения дополнительных сведений и обсуждения, в том числе одномерного и двумерного случаев, см. Статью о Теория Линдхарда.

Вывод

Связь между электронной плотностью и внутренним химическим потенциалом

В внутренний химический потенциал (тесно связанный с Уровень Ферми, см. ниже) системы электронов описывает, сколько энергии требуется, чтобы ввести дополнительный электрон в систему, без учета электрической потенциальной энергии. По мере увеличения количества электронов в системе (при фиксированных температуре и объеме) внутренний химический потенциал увеличивается. Это следствие во многом объясняется тем, что электроны удовлетворяют Принцип исключения Паули: только один электрон может занимать уровень энергии, а состояния электронов с более низкой энергией уже заполнены, поэтому новые электроны должны занимать состояния с более высокой энергией.

Связь описывается электронным числовая плотность ${\displaystyle n(\mu )}$ как функция μ, внутренний химический потенциал. Точная функциональная форма зависит от системы. Например, для трехмерного Ферми газ, невзаимодействующий электронный газ, при температуре абсолютного нуля соотношение ${\displaystyle n(\mu )\propto \mu ^{3/2}}$.

Доказательство: включая вырождение спина,

${\displaystyle n=2{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}{\frac {4}{3}}\pi k_{\rm {F}}^{3}\quad ,\quad \mu ={\frac {\hbar ^{2}k_{\rm {F}}^{2}}{2m}}.}$

(в этом контексте - то есть абсолютный ноль - внутренний химический потенциал чаще называют Энергия Ферми ).

Другой пример: полупроводник n-типа при низкой или средней концентрации электронов, ${\displaystyle n(\mu )\propto e^{\mu /k_{\rm {B}}T}}$.

Локальное приближение

Смотрите также: Приближение локальной плотности

Основное предположение в Модель Томаса – Ферми в том, что в каждой точке есть внутренний химический потенциал р это зависит от только от концентрации электронов в той же точке р. Такое поведение не может быть точным из-за Принцип неопределенности Гейзенберга. Ни один электрон не может существовать в одной точке; каждый разложен на волновой пакет размером ≈ 1 / k_F, где k_F - волновое число Ферми, т.е. типичное волновое число для состояний Поверхность Ферми. Следовательно, невозможно определить химический потенциал в одной точке, независимо от плотности электронов в соседних точках.

Тем не менее, модель Томаса – Ферми, вероятно, будет достаточно точным приближением, если потенциал не сильно меняется на длинах, сравнимых или меньших, чем 1 / k_F. Эта длина обычно соответствует нескольким атомам в металлах.

Электроны в равновесии, нелинейное уравнение

Наконец, модель Томаса – Ферми предполагает, что электроны находятся в равновесии, а это означает, что общий химический потенциал одинаков во всех точках. (В терминологии электрохимии " электрохимический потенциал электронов во всех точках одинакова ». В терминологии физики полупроводников« Уровень Ферми является плоским ». Этот баланс требует, чтобы вариации внутреннего химического потенциала согласовывались с равными и противоположными вариациями электрической потенциальной энергии. Это приводит к« основному уравнению нелинейной теории Томаса – Ферми »:^[1]

${\displaystyle \rho ^{\text{induced}}(\mathbf {r} )=-e[n(\mu _{0}+e\phi (\mathbf {r} ))-n(\mu _{0})]}$

где п(μ) - обсуждаемая выше функция (электронная плотность как функция внутреннего химического потенциала), е это элементарный заряд, р это позиция, а ${\displaystyle \rho ^{\text{induced}}(\mathbf {r} )}$ - индуцированный заряд при р. Электрический потенциал ${\displaystyle \phi }$ определяется таким образом, что ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )=0}$ в точках, где материал нейтрален по заряду (количество электронов точно равно количеству ионов), и аналогично μ₀ определяется как внутренний химический потенциал в точках, где материал является нейтральным по заряду.

Линеаризация, диэлектрическая функция

Если химический потенциал меняется не слишком сильно, приведенное выше уравнение можно линеаризовать:

${\displaystyle \rho ^{\text{induced}}(\mathbf {r} )\approx -e^{2}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\phi (\mathbf {r} )}$

где ${\displaystyle \partial n/\partial \mu }$ оценивается в μ₀ и рассматривается как постоянная величина.

Это соотношение может быть преобразовано в зависимое от волнового вектора диэлектрическая функция:^[1]

${\displaystyle \epsilon (\mathbf {q} )=1+{\frac {k_{0}^{2}}{q^{2}}}}$ (cgs-гауссовский )

где

${\displaystyle k_{0}={\sqrt {4\pi e^{2}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}}$

На большие расстояния (q→ 0) диэлектрическая проницаемость приближается к бесконечности, отражая тот факт, что заряды становятся все ближе и ближе к идеально экранированным, когда вы наблюдаете за ними издалека.

Пример: точечный сбор

Если точечный заряд Q находится в р= 0 в твердом теле, какое поле оно будет создавать с учетом электронного экранирования?

Нужно найти самосогласованное решение двух уравнений:

• Формула экранирования Томаса – Ферми дает плотность заряда в каждой точке р как функция потенциала ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$ в таком случае.
• В Уравнение Пуассона (полученный из Закон Гаусса ) связывает вторую производную потенциала с плотностью заряда.

Для нелинейной формулы Томаса – Ферми их одновременное решение может быть затруднено, и обычно аналитического решения нет. Однако у линеаризованной формулы есть простое решение:

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{r}}e^{-k_{0}r}}$ (cgs-гауссовский )

С участием k₀= 0 (без экранирования), это становится привычным Закон Кулона.

Обратите внимание, что может быть диэлектрическая проницаемость. в дополнение к скрининг, обсуждаемый здесь; например, из-за поляризации неподвижных электронов остова. В этом случае замените Q от Q/ ε, где ε - относительная диэлектрическая проницаемость за счет этих других вкладов.

Ферми-газ при произвольной температуре

Эффективная температура для экранирования Томаса – Ферми. Примерная форма объясняется в статье и использует мощность p = 1,8.

Для трехмерного Ферми газ (невзаимодействующий электронный газ) экранирующий волновой вектор ${\displaystyle k_{0}}$ можно выразить как функцию как температуры, так и энергии Ферми ${\displaystyle E_{\rm {F}}}$. Первый шаг - расчет внутреннего химического потенциала ${\displaystyle \mu }$, который включает в себя инверсию Интеграл Ферми – Дирака,

${\displaystyle {\frac {\mu }{k_{\rm {B}}T}}=F_{1/2}^{-1}\left[{2 \over {3\Gamma (3/2)}}\left({E_{\rm {F}} \over T}\right)^{3/2}\right]}$.

Мы можем выразить ${\displaystyle k_{0}}$ с точки зрения эффективной температуры ${\displaystyle T_{\rm {eff}}}$: ${\displaystyle k_{0}^{2}=4\pi e^{2}n/k_{\rm {B}}T_{\rm {eff}}}$, или ${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{\rm {eff}}=n\partial \mu /\partial n}$. Общий результат для ${\displaystyle T_{\rm {eff}}}$ является

${\displaystyle {T_{\rm {eff}} \over T}={4 \over 3\Gamma (1/2)}{(E_{F}/k_{\rm {B}}T)^{3/2} \over F_{-1/2}(\mu /k_{\rm {B}}T)}}$.

В классическом пределе ${\displaystyle k_{\rm {B}}T\gg E_{\rm {F}}}$, мы нашли ${\displaystyle T_{\rm {eff}}=T}$, а в вырожденном пределе ${\displaystyle k_{\rm {B}}T\ll E_{\rm {F}}}$ мы нашли

${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{\rm {eff}}=(2/3)E_{\rm {F}}}$.

Простая приблизительная форма, которая правильно восстанавливает оба предела:

${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{\rm {eff}}=\left[(k_{\rm {B}}T)^{p}+(2E_{\rm {F}}/3)^{p}\right]^{1/p}}$,

для любой мощности ${\displaystyle p}$. Значение, которое дает приличное согласие с точным результатом для всех ${\displaystyle k_{\rm {B}}T/E_{\rm {F}}}$ является ${\displaystyle p=1.8}$ ^[2], который имеет максимальную относительную погрешность <2,3%.

Смотрите также

• Уравнение Томаса – Ферми

использованная литература

1. Н. В. Эшкрофт и Н. Д. Мермин, Физика твердого тела (Thomson Learning, Торонто, 1976 г.)
2. Стэнтон, Лиам Дж .; Мурильо, Майкл С. (2016-04-08). «Перенос ионов в веществе с высокой плотностью энергии». Физический обзор E. Американское физическое общество (APS). 93 (4): 043203. Дои:10.1103 / Physreve.93.043203. ISSN  2470-0045.