Теория Линдхарда - Lindhard theory

Теория Линдхарда,[1][2] назван в честь датского профессора Йенса Линдхарда,[3][4] это метод расчета эффектов экранирование электрического поля электронами в твердом теле. Он основан на квантовой механике (теория возмущений первого порядка) и приближение случайной фазы.

Скрининг Томаса – Ферми может быть получен как частный случай более общей формулы Линдхарда. В частности, экранирование Томаса – Ферми является пределом формулы Линдхарда, когда волновой вектор (величина, обратная интересующему масштабу длины) намного меньше волнового вектора Ферми, то есть предел больших расстояний.[2]

В этой статье используется cgs-гауссовские единицы.

Формула

Формула Линдхарда для продольного диэлектрическая функция дан кем-то

Здесь, положительная бесконечно малая постоянная, является и - функция распределения носителей, которая является Функция распределения Ферми – Дирака для электронов в термодинамическом равновесии, однако эта формула Линдхарда справедлива и для неравновесных функций распределения.

Анализ формулы Линдхарда

Чтобы понять формулу Линдхарда, рассмотрим некоторые предельные случаи в 2-х и 3-х измерениях. Одномерный случай рассматривается и по-другому.

Три измерения

Предел длинных волн

Во-первых, рассмотрим длинноволновый предел ().

Для знаменателя формулы Линдхарда получаем

,

а для числителя формулы Линдхарда получаем

.

Подставляя их в формулу Линдхарда и принимая предел, получаем

,

где мы использовали , и .

(В единицах СИ заменить множитель к .)

Этот результат совпадает с классической диэлектрической функцией.

Статический предел

Во-вторых, рассмотрим статический предел (Формула Линдхарда принимает вид

.

Подставляя указанные выше равенства для знаменателя и числителя, получаем

.

Предполагая тепловое равновесное распределение носителей Ферми – Дирака, получаем

здесь мы использовали и .

Следовательно,

Здесь, - волновое число трехмерного экранирования (обратная длина трехмерного экранирования), определяемое как .

Тогда трехмерный статически экранированный кулоновский потенциал имеет вид

.

И преобразование Фурье этого результата дает

известный как Потенциал Юкавы. Обратите внимание, что в этом преобразовании Фурье, которое в основном представляет собой сумму по все , мы использовали выражение для малых за каждый значение что неверно.

Статически экранированный потенциал (верхняя криволинейная поверхность) и кулоновский потенциал (нижняя криволинейная поверхность) в трех измерениях

Для выродившегося Ферми газ (Т= 0), Энергия Ферми дан кем-то

,

Так что плотность

.

В Т=0, , так .

Подставляя это в приведенное выше уравнение трехмерного экранирующего волнового числа, мы получаем

.

Это 3D Скрининг Томаса – Ферми волновое число.

Для справки, Скрининг Дебая-Хюккеля описывает невырожденный предельный случай. Результат , трехмерное экранирующее волновое число Дебая – Хюккеля.

Два измерения

Предел длинных волн

Во-первых, рассмотрим длинноволновый предел ().

Для знаменателя формулы Линдхарда

,

а для числителя

.

Подставляя их в формулу Линдхарда и принимая предел , мы получаем

где мы использовали , и .

Статический предел

Во-вторых, рассмотрим статический предел (Формула Линдхарда принимает вид

.

Подставляя указанные выше равенства для знаменателя и числителя, получаем

.

Предполагая тепловое равновесное распределение носителей Ферми – Дирака, получаем

здесь мы использовали и .

Следовательно,

2D экранирующее волновое число (2D обратная экранирующая длина), определяемое как .

Тогда двумерный статически экранированный кулоновский потенциал имеет вид

.

Известно, что химический потенциал 2-мерный ферми-газ дан кем-то

,

и .

Итак, 2D экранирующее волновое число

Обратите внимание, что этот результат не зависит от п.

Одно измерение

На этот раз рассмотрим некоторый обобщенный случай уменьшения размерности. Чем меньше размер, тем слабее эффект экранирования. В меньшем измерении некоторые силовые линии проходят через материал барьера, при этом экранирование не оказывает никакого влияния. Для одномерного В этом случае мы можем предположить, что экранирование влияет только на силовые линии, расположенные очень близко к оси провода.

Эксперимент

В реальном эксперименте мы также должны учитывать эффект объемного трехмерного экранирования, даже если мы имеем дело с одномерным случаем, как с одиночной нитью. Экранирование Томаса – Ферми было применено к электронному газу, ограниченному нитью накала и коаксиальным цилиндром.[5] Для K2Pt (CN)4Cl0.32· 2.6H20 было обнаружено, что потенциал в области между нитью и цилиндром изменяется как а его эффективная длина экрана примерно в 10 раз больше, чем у металлических платина.[5]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Линдхард, Йенс (1954). «О свойствах газа заряженных частиц» (PDF). Danske Matematisk-fysiske Meddeleiser. 28 (8): 1–57. Получено 2016-09-28.
  2. ^ а б Н. В. Эшкрофт и Н. Д. Мермин, Физика твердого тела (Thomson Learning, Торонто, 1976 г.)
  3. ^ Андерсен, Йенс Ульрик; Зигмунд, Питер (сентябрь 1998 г.). "Йенс Линдхард". Физика сегодня. 51 (9): 89–90. Bibcode:1998ФТ .... 51и..89А. Дои:10.1063/1.882460. ISSN  0031-9228.
  4. ^ Смит, Хенрик (1983). «Функция Линдхарда и обучение физике твердого тела». Physica Scripta. 28 (3): 287–293. Bibcode:1983ФИЗЫ ... 28..287S. Дои:10.1088/0031-8949/28/3/005. ISSN  1402-4896.
  5. ^ а б Дэвис, Д. (1973). «Скрининг Томаса-Ферми в одном измерении». Физический обзор B. 7 (1): 129–135. Bibcode:1973ПхРвБ ... 7..129Д. Дои:10.1103 / PhysRevB.7.129.

Общий

  • Хауг, Хартмут; В. Кох, Стефан (2004). Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников (4-е изд.). World Scientific Publishing Co. Pte. ООО ISBN  978-981-238-609-0.