Приближение случайной фазы - Random phase approximation

Кольцевые диаграммы, суммируемые для получения приближения RPA. Жирные линии выше обозначают взаимодействующие функции Грина, не жирные линии обозначают функцию Грина без взаимодействия, а пунктирные линии обозначают взаимодействия двух тел.

В приближение случайной фазы (RPA) - метод аппроксимации в физика конденсированного состояния И в ядерная физика. Впервые он был представлен Дэвид Бом и Дэвид Пайнс как важный результат в серии основополагающих статей 1952 и 1953 гг.^[1][2][3] На протяжении десятилетий физики пытались учесть эффект микроскопического квантово-механический взаимодействие между электроны в теории материи. RPA Бома и Пайнса объясняет слабое экранированное кулоновское взаимодействие и обычно используется для описания динамического линейного электронного отклика электронных систем.

В RPA предполагается, что электроны реагируют только на полную электрический потенциал V(р) который представляет собой сумму внешнего возмущающего потенциала V_доб(р) и скрининговый потенциал V_sc(р). Предполагается, что внешний возмущающий потенциал колеблется с одной частотой ω, так что модель дает самосогласованное поле (SCF) метод ^[4] динамичный диэлектрик функция, обозначенная ε_RPA(k, ω).

Вклад в диэлектрическая функция от полного электрического потенциала предполагается усреднить, так что только потенциал на волновом векторе k способствует. Это и есть приближение случайных фаз. Результирующая диэлектрическая проницаемость, также называемая Диэлектрическая проницаемость Линдхарда,^[5][6] правильно предсказывает ряд свойств электронного газа, в том числе плазмоны.^[7]

В конце 1950-х годов РПА критиковали за чрезмерный учет степеней свободы, и призыв к обоснованию привел к интенсивной работе среди физиков-теоретиков. В основополагающей статье Мюррей Гелл-Манн и Кейт Брюкнер показали, что RPA может быть получена из суммирования цепочки ведущего порядка Диаграммы Фейнмана в плотном электронном газе.^[8]

Последовательность этих результатов стала важным обоснованием и мотивировала очень сильный рост теоретической физики в конце 50-х и 60-х годов.

Применение: основное состояние RPA взаимодействующей бозонной системы.

Вакуум РПА ${displaystyle left|mathbf {RPA} ightangle }$ для бозонной системы можно выразить через некоррелированный бозонный вакуум ${displaystyle left|mathbf {MFT} ightangle }$ и оригинальные бозонные возбуждения ${displaystyle mathbf {a} _{i}^{dagger }}$

${displaystyle left|mathrm {RPA} ightangle ={mathcal {N}}mathbf {e} ^{Z_{ij}mathbf {a} _{i}^{dagger }mathbf {a} _{j}^{dagger }/2}left|mathrm {MFT} ightangle }$

куда Z симметричная матрица с ${displaystyle |Z|leq 1}$ и

${displaystyle {mathcal {N}}={frac {leftlangle mathrm {MFT} ight|left.mathrm {RPA} ightangle }{leftlangle mathrm {MFT} ight|left.mathrm {MFT} ightangle }}}$

Нормализация может быть рассчитана как

${displaystyle langle mathrm {RPA} |mathrm {RPA} angle ={mathcal {N}}^{2}langle mathrm {MFT} |mathbf {e} ^{z_{i}({ ilde {mathbf {q} }}_{i})^{2}/2}mathbf {e} ^{z_{j}({ ilde {mathbf {q} }}_{j}^{dagger })^{2}/2}|mathrm {MFT} angle =1}$

куда ${displaystyle Z_{ij}=(X^{mathrm {t} })_{i}^{k}z_{k}X_{j}^{k}}$ это разложение по сингулярным числам из ${displaystyle Z_{ij}}$.${displaystyle { ilde {mathbf {q} }}^{i}=(X^{dagger })_{j}^{i}mathbf {a} ^{j}}$

${displaystyle {mathcal {N}}^{-2}=sum _{m_{i}}sum _{n_{j}}{frac {(z_{i}/2)^{m_{i}}(z_{j}/2)^{n_{j}}}{m!n!}}langle mathrm {MFT} |prod _{i,j}({ ilde {mathbf {q} }}_{i})^{2m_{i}}({ ilde {mathbf {q} }}_{j}^{dagger })^{2n_{j}}|mathrm {MFT} angle }$

${displaystyle =prod _{i}sum _{m_{i}}(z_{i}/2)^{2m_{i}}{frac {(2m_{i})!}{m_{i}!^{2}}}=}$

${displaystyle prod _{i}sum _{m_{i}}(z_{i})^{2m_{i}}{1/2 choose m_{i}}={sqrt {det(1-|Z|^{2})}}}$

связь между новым и старым возбуждением задается

${displaystyle { ilde {mathbf {a} }}_{i}=left({frac {1}{sqrt {1-Z^{2}}}}ight)_{ij}mathbf {a} _{j}+left({frac {1}{sqrt {1-Z^{2}}}}Zight)_{ij}mathbf {a} _{j}^{dagger }}$.

Рекомендации

1. Бом, Дэвид; Сосны, Дэвид (1 мая 1951 г.). «Коллективное описание электронных взаимодействий. I. Магнитные взаимодействия». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 82 (5): 625–634. Дои:10.1103 / Physrev.82.625. ISSN  0031-899X.
2. Сосны, Дэвид; Бом, Дэвид (15 января 1952 г.). "Коллективное описание электронных взаимодействий: II. Коллективные и индивидуальные частичные аспекты взаимодействия". Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 85 (2): 338–353. Дои:10.1103 / Physrev.85.338. ISSN  0031-899X.
3. Бом, Дэвид; Сосны, Дэвид (1 октября 1953 г.). «Коллективное описание электронных взаимодействий: III. Кулоновские взаимодействия в вырожденном электронном газе». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 92 (3): 609–625. Дои:10.1103 / Physrev.92.609. ISSN  0031-899X.
4. Ehrenreich, H .; Коэн, М. Х. (15 августа 1959 г.). "Самосогласованный полевой подход к проблеме многих электронов". Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 115 (4): 786–790. Дои:10.1103 / Physrev.115.786. ISSN  0031-899X.
5. Дж. Линдхард (1954). «О свойствах газа заряженных частиц» (PDF). Kongelige Danske Videnskabernes Selskab, Matematisk-Fysiske Meddelelser. 28 (8).
6. Н. В. Эшкрофт и Н. Д. Мермин, Физика твердого тела (Thomson Learning, Торонто, 1976 г.)
7. Г. Д. Махан, Физика многих частиц, 2-е изд. (Plenum Press, Нью-Йорк, 1990).
8. Гелл-Манн, Мюррей; Брюкнер, Кейт А. (15 апреля 1957 г.). «Энергия корреляции электронного газа при высокой плотности» (PDF). Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 106 (2): 364–368. Дои:10.1103 / Physrev.106.364. ISSN  0031-899X.