Теорема о трех щелях - Three-gap theorem

В математике теорема о трех щелях, теорема о трех расстояниях, или же Гипотеза Штейнгауза заявляет, что если разместить п точки на окружности, под углами θ, 2θ, 3θ ... от начальной точки, то будет не более трех различных расстояний между парами точек в соседних позициях по кругу. Когда есть три расстояния, наибольшее из трех всегда равно сумме двух других.[1] Пока не θ является рациональным кратным π, также будет как минимум два различных расстояния.

Этот результат был предположен Хьюго Штайнхаус, и доказано в 1950-х годах Вера Т. Сос, Янош Сураньи [ху ], и Станислав Свержковский. Его приложения включают изучение роста растений и музыкальных систем настройки, а также теорию Штурмские слова.

Приложения

Вид сбоку стебля растения, на котором последовательные листья разделены золотой угол

В филлотаксис (теория роста растений), было замечено, что каждый следующий лист на стеблях многих растений поворачивается от предыдущего листа золотой угол, примерно 137,5 °. Было высказано предположение, что этот угол максимизирует способность листьев растения собирать солнце.[2] Если смотреть с конца на стебель растения, выросшего таким образом, между двумя листьями будет не более трех различных углов, идущих подряд в циклическом порядке, заданном этим видом сверху.[3] На рисунке наибольший из этих трех углов встречается три раза между листами с номерами 3 и 6, между листами 4 и 7 и между листами 5 и 8. Второй по величине угол встречается пять раз, между листами 6 и 1, 9 и 4, 7 и 2, 10 и 5, 8 и 3. И наименьший угол встречается только дважды, между листами 1 и 9 и между листами 2 и 10. (Это явление не имеет ничего общего с Золотое сечение; то же свойство - наличие только трех различных промежутков между последовательными точками на окружности - имеет место для любого другого угла поворота, а не только для золотого угла.)[3]

Геометрический вид оттенков Пифагорейский тюнинг точками на круге, показывая Пифагорейская запятая (промежуток между первой и последней точками пути) как величина, на которую эта система настройки не может приблизиться к обычному додекаграмма. Ребра между точками круга - это идеальные квинты из которого построена эта система настройки.

В теория музыки, из этой теоремы следует, что если a система настройки является генерируется на некоторое количество последовательных кратных заданного интервал сводится к циклической последовательности, если два тона считаются эквивалентными, если они различаются целым числом октавы, то между последовательными тонами гаммы существует не более трех разных интервалов.[4][5] Например, Пифагорейский тюнинг строится таким образом из кратных идеальный пятый. Он имеет только два различных интервала, представляющих его полутоны,[6] но если бы он был продлен еще на один шаг, то последовательность интервалов между его тонами включала бы третий более короткий интервал, Пифагорейская запятая.[7]

В теории Штурмские слова, из теоремы следует, что слова заданной длины п которые встречаются в данном штурмовском слове, имеют не более трех различных частот. Если есть три частоты, то одна из них должна равняться сумме двух других.[8]

История и доказательства

Теорема о трех щелях была высказана Хьюго Штайнхаус, а его первые доказательства были опубликованы в конце 1950-х гг. Вера Т. Сос,[9] Янош Сураньи [ху ],[10] и Станислав Свержковский.[11] Были опубликованы и несколько более поздних доказательств.[12][13][14][15][16]

Следующее простое доказательство принадлежит Фрэнку Ляну. Определите зазор (дугу окружности между соседними точками данного набора) как жесткий если повернуть этот зазор на угол θ не создает другого промежутка такой же длины. Каждый оборот θ увеличивает положение конечных точек зазора в порядке размещения точек, и такое увеличение не может повторяться бесконечно, поэтому каждый зазор имеет ту же длину, что и жесткий зазор. Но единственный способ сделать зазор жестким - это сделать так, чтобы одна из двух его конечных точек была последней точкой в ​​последовательности размещения (так, чтобы соответствующая точка отсутствовала в повернутом зазоре) или чтобы другая точка приземлилась в своей повернутой копии. Конечная точка может отсутствовать только в том случае, если разрыв является одним из двух промежутков по обе стороны от последней точки в порядке размещения. И точка может приземлиться внутри повернутой копии, только если это первая точка в порядке размещения. Таким образом, может быть не более трех жестких зазоров и не более трех длин зазоров. Кроме того, когда их три, повернутая копия жесткого зазора, в котором есть первая точка, разделяется этой точкой на два меньших зазора, поэтому в этом случае самая длинная длина зазора является суммой двух других.[17][18]

Тесно связанная, но более ранняя теорема, также называемая теоремой о трех щелях, заключается в том, что если А любая дуга окружности, то целочисленная последовательность кратных θ эта земля в А имеет не более трех пробелов между значениями последовательности. Опять же, если есть три пробела, то один является суммой двух других.[19][20]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Аллуш, Жан-Поль; Шаллит, Джеффри (2003), "2.6 Теорема о трех расстояниях", Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения, Cambridge University Press, стр. 53–55, ISBN  9780521823326
  2. ^ Адам, Джон А. (2011), Математическая прогулка на природе, Princeton University Press, стр. 35–41, ISBN  9781400832903
  3. ^ а б ван Равенштейн, Тони (1987), «Числовые последовательности и филлотаксис», Бюллетень Австралийского математического общества, 36 (2): 333, Дои:10.1017 / с0004972700026605
  4. ^ Кэри, Норман (2007), «Согласованность и сходство в правильно сформированных и попарных хорошо сформированных шкалах», Журнал математики и музыки, 1 (2): 79–98, Дои:10.1080/17459730701376743
  5. ^ Нарушима, Теруми (2017), Микротональность и системы настройки Эрва Вильсона: отображение гармонического спектра, Исследования Рутледжа по теории музыки, Рутледж, стр. 90–91, ISBN  9781317513421
  6. ^ Стром, Рейнхард; Блэкберн, Бонни Дж., ред. (2001), Музыка как концепция и практика в позднем средневековье, Том 3, Часть 1, Новая Оксфордская история музыки, Oxford University Press, стр. 252, ISBN  9780198162056
  7. ^ Бенсон, Дональд С. (2003), Более гладкий камешек: математические исследования, Oxford University Press, стр. 51, ISBN  9780198032977
  8. ^ Лотэр, М. (2002), "Штурмские слова", Алгебраическая комбинаторика слов, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-81220-7, Zbl  1001.68093
  9. ^ Сош, В. Т. (1958), «О распределении mod 1 последовательности ", Анна. Univ. Sci. Будапешт, Eötvös Sect. Математика., 1: 127–134
  10. ^ Surányi, J. (1958), "Über die Anordnung der Vielfachen einer reelen Zahl mod 1", Анна. Univ. Sci. Будапешт, Eötvös Sect. Математика., 1: 107–111
  11. ^ Свержковский, С. (1959), «О последовательной постановке дуги на окружности круга», Fundamenta Mathematicae, 46 (2): 187–189, Дои:10.4064 / FM-46-2-187-189, МИСТЕР  0104651
  12. ^ Холтон, Джон Х. (1965), "Распределение последовательности ", Proc. Cambridge Philos. Soc., 61 (3): 665–670, Дои:10.1017 / S0305004100039013, МИСТЕР  0202668
  13. ^ Слейтер, Ноэль Б. (1967), "Пробелы и шаги для последовательности ", Proc. Cambridge Philos. Soc., 63 (4): 1115–1123, Дои:10.1017 / S0305004100042195, МИСТЕР  0217019
  14. ^ ван Равенштейн, Тони (1988), "Теорема о трех щелях (гипотеза Штейнгауза)", Журнал Австралийского математического общества, Серия А, 45 (3): 360–370, Дои:10.1017 / S1446788700031062, МИСТЕР  0957201
  15. ^ Майеро, Микаэла (2000), "Теорема о трех разрывах (гипотеза Штейнгауза)", Типы доказательств и программ: международный семинар, TYPES'99, Лёкеберг, Швеция, 12–16 июня 1999 г., Избранные статьи, Конспект лекций по информатике, 1956, Springer, стр. 162–173, arXiv:cs / 0609124, Дои:10.1007/3-540-44557-9_10, ISBN  978-3-540-41517-6
  16. ^ Марклоф, Йенс; Стрёмбергссон, Андреас (2017), "Теорема о трех щелях и пространство решеток", Американский математический ежемесячный журнал, 124 (8): 741–745, arXiv:1612.04906, Дои:10.4169 / amer.math.monthly.124.8.741, HDL:1983 / b5fd0feb-e42d-48e9-94d8-334b8dc24505, МИСТЕР  3706822
  17. ^ Лян, Фрэнк М. (1979), «Краткое доказательство теорема о расстоянии », Дискретная математика, 28 (3): 325–326, Дои:10.1016 / 0012-365X (79) 90140-7, МИСТЕР  0548632
  18. ^ Шиу, Питер (2018), «Сноска к теореме о трех пробелах», Американский математический ежемесячный журнал, 125 (3): 264–266, Дои:10.1080/00029890.2018.1412210, МИСТЕР  3768035
  19. ^ Слейтер, Н. Б. (1950), "Распределение целых чисел для которого ", Proc. Cambridge Philos. Soc., 46 (4): 525–534, Дои:10.1017 / S0305004100026086, МИСТЕР  0041891
  20. ^ Флорек, К. (1951), "Une remarque sur la repartition des nombres". ", Коллок. Математика., 2: 323–324