Комплекс Тода – Смита - Toda–Smith complex

В математике Комплексы Тоды – Смита. находятся спектры характеризуется особенно простой BP-гомология, и являются полезными объектами в теория стабильной гомотопии.

Комплексы Тоды – Смита являются примерами периодических отображений в себя. Эти собственные отображения изначально использовались для построения бесконечных семейств элементов в гомотопических группах сфер. Их существование указывало путь к нильпотентность и теоремы периодичности^[1].

Математический контекст

История начинается со степени ${\displaystyle p}$ карта на ${\displaystyle S^{1}}$ (как кружок в комплексная плоскость ):

${\displaystyle S^{1}\to S^{1}\,}$

${\displaystyle z\mapsto z^{p}\,}$

Степень ${\displaystyle p}$ карта хорошо определена для ${\displaystyle S^{k}}$ в общем, где ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$.Если мы применим бесконечное приостановка функтор к этой карте, ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }S^{1}\to \Sigma ^{\infty }S^{1}=:\mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}}$ и берем кофайбер получившейся карты:

${\displaystyle S{\xrightarrow {p}}S\to S/p}$

Мы находим, что ${\displaystyle S/p}$ обладает замечательным свойством исходить из Пространство Мура (т. е. дизайнерское (ко) гомологическое пространство: ${\displaystyle H^{n}(X)\simeq Z/p}$, и ${\displaystyle {\tilde {H}}^{*}(X)}$ тривиально для всех ${\displaystyle *\neq n}$).

Также следует отметить, что периодические отображения, ${\displaystyle \alpha _{t}}$, ${\displaystyle \beta _{t}}$, и ${\displaystyle \gamma _{t}}$, происходят из отображений степеней между комплексами Тоды – Смита, ${\displaystyle V(0)_{k}}$, ${\displaystyle V(1)_{k}}$, и ${\displaystyle V_{2}(k)}$ соответственно.

Формальное определение

В ${\displaystyle n}$комплекс Тода – Смита, ${\displaystyle V(n)}$ куда ${\displaystyle n\in -1,0,1,2,3,\ldots }$, является конечным спектром, обладающим тем свойством, что его BP-гомология, ${\displaystyle BP_{*}(V(n)):=[\mathbb {S} ^{0},BP\wedge V(n)]}$, изоморфна ${\displaystyle BP_{*}/(p,\ldots ,v_{n})}$.

То есть комплексы Тода – Смита полностью характеризуются своим ${\displaystyle BP}$-local свойства, и определяются как любой объект ${\displaystyle V(n)}$ удовлетворяющее одному из следующих уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}BP_{*}(V(-1))&\simeq BP_{*}\\[6pt]BP_{*}(V(0))&\simeq BP_{*}/p\\[6pt]BP_{*}(V(1))&\simeq BP_{*}/(p,v_{1})\\[2pt]&{}\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$

Читателю может быть полезно вспомнить, что ${\displaystyle BP_{*}=\mathbb {Z} _{p}[v_{1},v_{2},...]}$, ${\displaystyle \deg v_{i}}$ = ${\displaystyle 2(p^{i}-1)}$.

Примеры комплексов Тоды – Смита.

• то сферический спектр, ${\displaystyle BP_{*}(S^{0})\simeq BP_{*}}$, который ${\displaystyle V(-1)}$.
• спектр Мура по модулю p, ${\displaystyle BP_{*}(S/p)\simeq BP_{*}/p}$, который ${\displaystyle V(0)}$

Рекомендации

1. Джеймс, И. М. (1995-07-18). Справочник по алгебраической топологии. Эльзевир. ISBN  9780080532981.