Преобразование между распределениями в частотно-временном анализе - Transformation between distributions in time–frequency analysis

В области частотно-временной анализ, несколько формулировок сигнала используются для представления сигнала в совместной частотно-временной области.^[1]

Существует несколько методов и преобразований, называемых «частотно-временными распределениями» (TFD), взаимосвязь которых организовал Леон Коэн.^{[2] [3][4][5]}Наиболее полезные и популярные методы образуют класс, называемый «квадратичным» или билинейные частотно-временные распределения. Основным членом этого класса является Распределение Вигнера – Вилля (WVD), так как все другие TFD могут быть записаны как сглаженные или свернутые версии WVD. Еще один популярный представитель этого класса - спектрограмма который является квадратом величины кратковременное преобразование Фурье (STFT). Преимущество спектрограммы в том, что она положительна и ее легко интерпретировать, но также есть и недостатки, например, она необратима, что означает, что после вычисления спектрограммы сигнала исходный сигнал не может быть извлечен из спектрограммы. Теория и методология определения TFD, который проверяет определенные желаемые свойства, даны в «Теории квадратичных TFD».^[6]

Цель этой статьи - проиллюстрировать некоторые элементы процедуры преобразования одного дистрибутива в другой. Метод, используемый для преобразования распределения, заимствован из формулировка фазового пространства из квантовая механика, хотя предметом данной статьи является «обработка сигналов». Отмечая, что сигнал может быть восстановлен из определенного распределения при определенных условиях, с учетом определенного TFD ρ₁(т, ж), представляющий сигнал в совместной частотно-временной области, другой, другой, TFD ρ₂(т, е) того же сигнала можно получить для расчета любого другого распределения путем простого сглаживания или фильтрации; некоторые из этих отношений показаны ниже. Полное рассмотрение вопроса можно найти в книге Коэна.

Общий класс

Если мы используем переменную ω=2πf, то, заимствуя обозначения, используемые в области квантовой механики, мы можем показать это частотно-временное представление, такое как Функция распределения Вигнера (WDF) и другие билинейные частотно-временные распределения, можно выразить как

${\displaystyle C(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)\phi (\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta ,}$   (1)

куда ${\displaystyle \phi (\theta ,\tau )}$ представляет собой двумерную функцию, называемую ядром, которая определяет распределение и его свойства (для получения терминологии обработки сигналов и решения этого вопроса читателю отсылаем к ссылкам, уже процитированным во введении).

Ядро Функция распределения Вигнера (WDF) - один. Однако не следует придавать этому особого значения, поскольку можно написать общую форму так, чтобы ядро ​​любого дистрибутива было единым, и в этом случае ядро Функция распределения Вигнера (WDF) было бы чем-то другим.

Формулировка характеристической функции

Характеристическая функция - двойная преобразование Фурье распределения. При проверке уравнения. (1) можно получить, что

${\displaystyle C(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint M(\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau }$ (2)

куда

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}M(\theta ,\tau )&=\phi (\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)e^{j\theta u}\,du\\&=\phi (\theta ,\tau )A(\theta ,\tau )\\\end{alignedat}}}$ (3)

и где ${\displaystyle A(\theta ,\tau )}$ - симметричная функция неоднозначности. Характеристическую функцию уместно назвать обобщенной функцией неоднозначности.

Преобразование между дистрибутивами

Чтобы получить это соотношение, предположим, что есть два распределения, ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$, с соответствующими ядрами, ${\displaystyle \phi _{1}}$ и ${\displaystyle \phi _{2}}$. Их характерные функции:

${\displaystyle M_{1}(\phi ,\tau )=\phi _{1}(\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)s\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{j\theta u}\,du}$ (4)

${\displaystyle M_{2}(\phi ,\tau )=\phi _{2}(\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)s\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{j\theta u}\,du}$ (5)

Разделите одно уравнение на другое, чтобы получить

${\displaystyle M_{1}(\phi ,\tau )={\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}M_{2}(\phi ,\tau )}$ (6)

Это важная взаимосвязь, потому что она связывает характерные функции. Чтобы деление было правильным, ядро ​​не может быть нулем в конечной области.

Чтобы получить связь между распределениями, возьмем двойной преобразование Фурье обеих сторон и используйте уравнение. (2)

${\displaystyle C_{1}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}M_{2}(\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau }$ (7)

Теперь выразите ${\displaystyle M_{2}}$ с точки зрения ${\displaystyle C_{2}}$ чтобы получить

${\displaystyle C_{1}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiiint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}C_{2}(t,\omega ')e^{j\theta (t'-t)+j\tau (\omega '-\omega )}\,d\theta \,d\tau \,dt'\,d\omega '}$ (8)

Это отношение можно записать как

${\displaystyle C_{1}(t,\omega )=\iint g_{12}(t'-t,\omega '-\omega )C_{2}(t,\omega ')\,dt'\,d\omega '}$ (9)

с

${\displaystyle g_{12}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}e^{j\theta t+j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau }$ (10)

Связь спектрограммы с другими билинейными представлениями

Теперь мы специализируемся на случае преобразования произвольного представления в спектрограмму. В формуле. (9), оба ${\displaystyle C_{1}}$ быть спектрограммой и ${\displaystyle C_{2}}$ быть произвольными. Кроме того, для упрощения обозначений ${\displaystyle \phi _{SP}=\phi _{1},\phi =\phi _{2}}$, и ${\displaystyle g_{SP}=g_{12}}$ заданы и записаны как

${\displaystyle C_{SP}(t,\omega )=\iint g_{SP}\left(t'-t,\omega '-\omega \right)C\left(t,\omega '\right)\,dt'\,d\omega '}$ (11)

Ядро для спектрограммы с окном, ${\displaystyle h(t)}$, является ${\displaystyle A_{h}(-\theta ,\tau )}$ и поэтому

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{SP}(t,\omega )&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {A_{h}(-\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )}}e^{j\theta t+j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint {\dfrac {1}{\phi (\theta ,\tau )}}h^{*}(u-{\tfrac {\tau }{2}})h(u+{\tfrac {\tau }{2}})e^{j\theta t+j\tau \omega -j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint h^{*}(u-{\tfrac {\tau }{2}})h(u+{\tfrac {\tau }{2}}){\dfrac {\phi (\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}e^{-j\theta t+j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\\end{aligned}}}$

Если рассматривать только ядра, для которых ${\displaystyle \phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1}$ держит тогда

${\displaystyle g_{SP}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint h^{*}(u-{\tfrac {\tau }{2}})h(u+{\tfrac {\tau }{2}})\phi (\theta ,\tau )e^{-j\theta t+j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta =C_{h}(t,-\omega )}$

и поэтому

${\displaystyle C_{SP}(t,\omega )=\iint C_{s}(t',\omega ')C_{h}(t'-t,\omega '-\omega )\,dt'\,d\omega '}$

Это показал Янссен [4]. Когда ${\displaystyle \phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )}$ не равно единице, то

${\displaystyle C_{SP}(t,\omega )=\iiiint G(t'',\omega '')C_{s}(t',\omega ')C_{h}(t''+t'-t,-\omega ''+\omega -\omega ')\,dt'\,dt''\,d\omega '\,d\omega ''}$

куда

${\displaystyle G(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {e^{-j\theta t-j\tau \omega }}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}\,d\theta \,d\tau }$

Рекомендации

1. Л. Коэн, "Частотно-временной анализ", Prentice-Hall, Нью-Йорк, 1995. ISBN  978-0135945322
2. Л. Коэн, "Обобщенные функции распределения в фазовом пространстве", J. Math. Phys., 7 (1966) стр. 781–786, DOI: 10.1063 / 1.1931206
3. Л. Коэн, "Проблема квантования и вариационный принцип в формулировке фазового пространства квантовой механики", J. Math. Phys., 7 С. 1863–1866, 1976.
4. А. Дж. Э. М. Янссен, "О геометрическом месте и распространении функций псевдоплотности в частотно-временной плоскости", Журнал исследований Philips, т. 37. С. 79–110, 1982.
5. Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Частотно-временное представление характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Цифровая обработка сигналов, т. 19, нет. 1, стр. 153-183, январь 2009 г.
6. Б. Боашаш, «Теория квадратичных TFD», глава 3, стр. 59–82, в Б. Боашаш, редактор, Частотно-временной анализ и обработка сигналов: исчерпывающий справочник, Elsevier, Oxford, 2003; ISBN  0-08-044335-4.