Тригонометрия тетраэдра - Trigonometry of a tetrahedron

В тригонометрия тетраэдра^[1] объясняет отношения между длина и различные виды углы генерала тетраэдр.

Тригонометрические величины

Классические тригонометрические величины

Следующие тригонометрические величины обычно связаны с общим тетраэдром:

• 6 длина кромки - связаны с шестью ребрами тетраэдра.
• 12 углы лица - их по три на каждую из четырех граней тетраэдра.
• 6 двугранные углы - связаны с шестью ребрами тетраэдра, поскольку любые две грани тетраэдра соединены ребром.
• 4 телесные углы - связаны с каждой точкой тетраэдра.

Позволять ${\displaystyle X={\overline {P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}}}}$ - общий тетраэдр, где ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}}$ произвольные точки в трехмерное пространство.

Кроме того, пусть ${\displaystyle e_{ij}}$ быть гранью, которая соединяет ${\displaystyle P_{i}}$ и ${\displaystyle P_{j}}$ и разреши ${\displaystyle F_{i}}$ быть гранью тетраэдра напротив точки ${\displaystyle P_{i}}$; другими словами:

• ${\displaystyle e_{ij}={\overline {P_{i}P_{j}}}}$
• ${\displaystyle F_{i}={\overline {P_{j}P_{k}P_{l}}}}$

куда ${\displaystyle i,j,k,l\in \{1,2,3,4\}}$ и ${\displaystyle i\neq j\neq k\neq l}$.

Определите следующие количества:

• ${\displaystyle d_{ij}}$ = длина края ${\displaystyle e_{ij}}$
• ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$ = угловой разброс в точке ${\displaystyle P_{i}}$ на лице ${\displaystyle F_{j}}$
• ${\displaystyle \theta _{ij}}$ = двугранный угол между двумя гранями, примыкающими к краю ${\displaystyle e_{ij}}$
• ${\displaystyle \Omega _{i}}$ = телесный угол в точке ${\displaystyle P_{i}}$

Площадь и объем

Позволять ${\displaystyle \Delta _{i}}$ быть площадь лица ${\displaystyle F_{i}}$. Такую площадь можно рассчитать по Формула Герона (если известны все три длины ребра):

${\displaystyle \Delta _{i}={\sqrt {\frac {(d_{jk}+d_{jl}+d_{kl})(-d_{jk}+d_{jl}+d_{kl})(d_{jk}-d_{jl}+d_{kl})(d_{jk}+d_{jl}-d_{kl})}{16}}}}$

или по следующей формуле (если известны угол и два соответствующих ребра):

${\displaystyle \Delta _{i}={\frac {1}{2}}d_{jk}d_{jl}\sin \alpha _{j,i}}$

Позволять ${\displaystyle h_{i}}$ быть высота с точки ${\displaystyle P_{i}}$ к лицу ${\displaystyle F_{i}}$. В объем ${\displaystyle V}$ тетраэдра ${\displaystyle X}$ дается следующей формулой:

$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\Delta _{i}h_{i}}$$

Он удовлетворяет следующему соотношению:^[2]

${\displaystyle 288V^{2}={\begin{vmatrix}2Q_{12}&Q_{12}+Q_{13}-Q_{23}&Q_{12}+Q_{14}-Q_{24}\\Q_{12}+Q_{13}-Q_{23}&2Q_{13}&Q_{13}+Q_{14}-Q_{34}\\Q_{12}+Q_{14}-Q_{24}&Q_{13}+Q_{14}-Q_{34}&2Q_{14}\end{vmatrix}}}$

куда ${\displaystyle Q_{ij}=d_{ij}^{2}}$ - квадранты (квадрат длины) ребер.

Основные положения тригонометрии

Аффинный треугольник

Возьми лицо ${\displaystyle F_{i}}$; края будут иметь длину ${\displaystyle d_{jk},d_{jl},d_{kl}}$ и соответствующие противоположные углы даются ${\displaystyle \alpha _{l,i},\alpha _{k,i},\alpha _{j,i}}$.

Обычные законы для планарная тригонометрия треугольника справедливы для этого треугольника.

Проективный треугольник

Рассмотрим проективный (сферический) треугольник в момент ${\displaystyle P_{i}}$; вершинами этого проективного треугольника являются три прямые, соединяющие ${\displaystyle P_{i}}$ с остальными тремя вершинами тетраэдра. Края будут иметь сферическую длину. ${\displaystyle \alpha _{i,j},\alpha _{i,k},\alpha _{i,l}}$ а соответствующие противоположные сферические углы задаются выражением ${\displaystyle \theta _{ij},\theta _{ik},\theta _{il}}$.

Обычные законы для сферическая тригонометрия для этого проективного треугольника.

Законы тригонометрии для тетраэдра

Теорема о переменных синусах

Возьмите тетраэдр ${\displaystyle X}$, и рассмотрим точку ${\displaystyle P_{i}}$ как вершина. Теорема о переменных синусах задается следующим тождеством:

$${\displaystyle \sin(\alpha _{j,l})\sin(\alpha _{k,j})\sin(\alpha _{l,k})=\sin(\alpha _{j,k})\sin(\alpha _{k,l})\sin(\alpha _{l,j})}$$

Можно рассматривать две стороны этого тождества как соответствующие ориентации поверхности по часовой стрелке и против часовой стрелки.

Пространство всех форм тетраэдров

Ставя любую из четырех вершин в роли О дает четыре таких тождества, но не более трех из них независимы; если стороны трех из четырех тождеств «по часовой стрелке» умножаются и произведение получается равным произведению сторон «против часовой стрелки» тех же трех тождеств, а затем удаляются общие множители с обеих сторон, результат четвертая личность.

Три угла являются углами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда их сумма равна 180 ° (π радиан). Какое условие на 12 углов необходимо и достаточно, чтобы они были 12 углами какого-нибудь тетраэдра? Ясно, что сумма углов любой стороны тетраэдра должна составлять 180 °. Так как таких треугольников четыре, на суммы углов четыре таких ограничения, а количество степени свободы тем самым сокращается с 12 до 8. Четыре соотношения, заданные синус закон дополнительно уменьшите количество степеней свободы с 8 не до 4, а до 5, поскольку четвертое ограничение не является независимым от первых трех. Таким образом, пространство всех форм тетраэдров 5-мерное.^[3]

Закон синусов для тетраэдра

Видеть: Закон синусов

Закон косинусов для тетраэдра

В закон косинусов для тетраэдра^[4] связывает площади каждой грани тетраэдра и двугранные углы вокруг точки. Он задается следующим тождеством:

${\displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})}$

Связь двугранных углов тетраэдра

Возьмите общий тетраэдр ${\displaystyle X}$ и проецируйте лица ${\displaystyle F_{i},F_{j},F_{k}}$ на самолет с лицом ${\displaystyle F_{l}}$. Позволять ${\displaystyle c_{ij}=\cos \theta _{ij}}$.

Затем область лица ${\displaystyle F_{l}}$ дается суммой проектируемых площадей следующим образом:

$${\displaystyle \Delta _{l}=\Delta _{i}c_{jk}+\Delta _{j}c_{ik}+\Delta _{k}c_{ij}}$$

Путем замены ${\displaystyle i,j,k,l\in \{1,2,3,4\}}$ с каждой из четырех граней тетраэдра получается следующая однородная система линейных уравнений:

$${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta _{1}+\Delta _{2}c_{34}+\Delta _{3}c_{24}+\Delta _{4}c_{23}=0\\\Delta _{1}c_{34}-\Delta _{2}+\Delta _{3}c_{14}+\Delta _{4}c_{13}=0\\\Delta _{1}c_{24}+\Delta _{2}c_{14}-\Delta _{3}+\Delta _{4}c_{12}=0\\\Delta _{1}c_{23}+\Delta _{2}c_{13}+\Delta _{3}c_{12}-\Delta _{4}=0\end{cases}}}$$

Эта однородная система будет иметь решения именно тогда, когда:

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&c_{34}&c_{24}&c_{23}\\c_{34}&-1&c_{14}&c_{13}\\c_{24}&c_{14}&-1&c_{12}\\c_{23}&c_{13}&c_{12}&-1\end{vmatrix}}=0}$$

Расширяя этот определитель, получаем соотношение между двугранными углами тетраэдра:^[1] следующее:

$${\displaystyle 1-\sum _{1\leq i<j\leq 4}c_{ij}^{2}+\sum _{j=2 \atop k\neq l\neq j}^{4}c_{1j}^{2}c_{kl}^{2}=2\left(\sum _{i=1 \atop j\neq k\neq l\neq i}^{4}c_{ij}c_{ik}c_{il}+\sum _{2\leq j<k\leq 4 \atop l\neq j,k}c_{1j}c_{1k}c_{jl}c_{kl}\right)}$$

Расстояния между ребрами тетраэдра

Возьмите общий тетраэдр ${\displaystyle X}$ и разреши ${\displaystyle P_{ij}}$ быть точкой на краю ${\displaystyle e_{ij}}$ и ${\displaystyle P_{kl}}$ быть точкой на краю ${\displaystyle e_{kl}}$ так что отрезок линии ${\displaystyle {\overline {P_{ij}P_{kl}}}}$ перпендикулярно обоим ${\displaystyle e_{ij}}$ & ${\displaystyle e_{kl}}$. Позволять ${\displaystyle R_{ij}}$ быть длиной отрезка ${\displaystyle {\overline {P_{ij}P_{kl}}}}$.

Найти ${\displaystyle R_{ij}}$:^[1]

Сначала проведите линию через ${\displaystyle P_{k}}$ параллельно ${\displaystyle e_{il}}$ и еще одна линия через ${\displaystyle P_{i}}$ параллельно ${\displaystyle e_{kl}}$. Позволять ${\displaystyle O}$ быть пересечением этих двух прямых. Присоединяйтесь к точкам ${\displaystyle O}$ и ${\displaystyle P_{j}}$. По конструкции, ${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{l}P_{k}}}}$ является параллелограммом и, следовательно, ${\displaystyle {\overline {OP_{k}P_{i}}}}$ и ${\displaystyle {\overline {OP_{l}P_{i}}}}$ являются конгруэнтными треугольниками. Таким образом, тетраэдр ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y={\overline {OP_{i}P_{j}P_{k}}}}$ равны по объему.

Как следствие, количество ${\displaystyle R_{ij}}$ равна высоте от точки ${\displaystyle P_{k}}$ к лицу ${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{j}}}}$ тетраэдра ${\displaystyle Y}$; это показано переводом линейного сегмента ${\displaystyle {\overline {P_{ij}P_{kl}}}}$.

По формуле объема тетраэдр ${\displaystyle Y}$ удовлетворяет следующему соотношению:

$${\displaystyle 3V=R_{ij}\times \Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})}$$

куда ${\displaystyle \Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})}$ это площадь треугольника ${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{j}}}}$. Поскольку длина отрезка ${\displaystyle {\overline {OP_{i}}}}$ равно ${\displaystyle d_{kl}}$ (в качестве ${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{l}P_{k}}}}$ - параллелограмм):

$${\displaystyle \Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})={\frac {1}{2}}d_{ij}d_{kl}\sin \lambda }$$

куда ${\displaystyle \lambda =\angle OP_{i}P_{j}}$. Таким образом, предыдущее отношение становится:

$${\displaystyle 6V=R_{ij}d_{ij}d_{kl}\sin \lambda }$$

Чтобы получить ${\displaystyle \sin \lambda }$, рассмотрим два сферических треугольника:

1. Возьмите сферический треугольник тетраэдра ${\displaystyle X}$ в момент ${\displaystyle P_{i}}$; у него будут стороны ${\displaystyle \alpha _{i,j},\alpha _{i,k},\alpha _{i,l}}$ и противоположные углы ${\displaystyle \theta _{ij},\theta _{ik},\theta _{il}}$. По сферическому закону косинусов:
   $${\displaystyle \cos \alpha _{i,k}=\cos \alpha _{i,j}\cos \alpha _{i,l}+\sin \alpha _{i,j}\sin \alpha _{i,l}\cos \theta _{ik}}$$
2. Возьмите сферический треугольник тетраэдра ${\displaystyle X}$ в момент ${\displaystyle P_{i}}$. Стороны даны ${\displaystyle \alpha _{i,l},\alpha _{k,j},\lambda }$ и единственный известный противоположный угол - это угол ${\displaystyle \lambda }$, данный ${\displaystyle \pi -\theta _{ik}}$. По сферическому закону косинусов:
   $${\displaystyle \cos \lambda =\cos \alpha _{i,l}\cos \alpha _{k,j}-\sin \alpha _{i,l}\sin \alpha _{k,j}\cos \theta _{ik}}$$

Объединение двух уравнений дает следующий результат:

$${\displaystyle \cos \alpha _{i,k}\sin \alpha _{k,j}+\cos \lambda \sin \alpha _{i,j}=\cos \alpha _{i,l}\left(\cos \alpha _{i,j}\sin \alpha _{k,j}+\sin \alpha _{i,j}\cos \alpha _{k,j}\right)=\cos \alpha _{i,l}\sin \alpha _{l,j}}$$

Изготовление ${\displaystyle \cos \lambda }$ предмет:

$${\displaystyle \cos \lambda =\cos \alpha _{i,l}{\frac {\sin \alpha _{l,j}}{\sin \alpha _{i,j}}}-\cos \alpha _{i,k}{\frac {\sin \alpha _{k,j}}{\sin \alpha _{i,j}}}}$$

Таким образом, используя закон косинуса и некоторую базовую тригонометрию:

$${\displaystyle \cos \lambda ={\frac {d_{ij}^{2}+d_{ik}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{ik}}}{\frac {d_{ik}}{d_{kl}}}-{\frac {d_{ij}^{2}+d_{il}^{2}-d_{jl}^{2}}{2d_{ij}d_{il}}}{\frac {d_{il}}{d_{kl}}}={\frac {d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{kl}}}}$$

Таким образом:

$${\displaystyle \sin \lambda ={\sqrt {1-\left({\frac {d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{kl}}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {4d_{ij}^{2}d_{kl}^{2}-(d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2})^{2}}}{2d_{ij}d_{kl}}}}$$

Так:

$${\displaystyle R_{ij}={\frac {12V}{\sqrt {4d_{ij}^{2}d_{kl}^{2}-(d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2})^{2}}}}}$$

${\displaystyle R_{ik}}$ и ${\displaystyle R_{il}}$ получаются перестановкой длин ребер.

Обратите внимание, что знаменатель - это новая формулировка Формула Бретшнайдера-фон Штаудта, который оценивает площадь общего выпуклого четырехугольника.

Рекомендации

1. Ричардсон, Г. (1902-03-01). «Тригонометрия тетраэдра». Математический вестник. 2 (32): 149–158. Дои:10.2307/3603090. JSTOR  3603090.
2. 100 великих задач элементарной математики. Нью-Йорк: Dover Publications. 1965-06-01. ISBN  9780486613482.
3. Рассат, Андре; Фаулер, Патрик В. (2004). «Есть ли« самый хиральный тетраэдр »?». Химия: европейский журнал. 10 (24): 6575–6580. Дои:10.1002 / chem.200400869. PMID  15558830.
4. Ли, Юнг Рай (июнь 1997 г.). «Закон косинусов в тетраэдре». J. Корея. Soc. Математика. Educ. Сер. B: Чистое приложение. Математика. 4 (1): 1–6. ISSN  1226-0657.