Трилинейная полярность - Trilinear polarity - Wikipedia

В геометрия, трилинейная полярность есть определенное соответствие между точками плоскости треугольника, не лежащими на сторонах треугольника, и прямыми в плоскости треугольника, не проходящими через вершины треугольника. «Хотя это называется полярностью, на самом деле это вовсе не полярность, поскольку полюса параллельных линий не являются коллинеарными линиями».^[1] Это было Понселе (1788–1867), французский инженер и математик, который представил идею трилинейной полярной точки в 1865 году.^[1][2]

Определения

Диаграмма, иллюстрирующая определение трилинейной полярной точки.

Позволять ABC - плоский треугольник и пусть п - любая точка в плоскости треугольника, не лежащая на сторонах треугольника. Вкратце, трилинейный полярный из п это ось перспективности из чевианский треугольник из п и треугольник ABC.

Подробно пусть строчка AP, BP, CP встретиться на обочине до н.э, CA, AB в D, E, F соответственно. Треугольник DEF это Чевианский треугольник из п со ссылкой на треугольник ABC. Пусть пары прямых (до н.э, EF), (CA, FD), (DE, AB) пересекаются в Икс, Y, Z соответственно. К Теорема дезарга точки Икс, Y, Z находятся коллинеарен. Линия коллинеарности - ось перспективности треугольника. ABC и треугольник DEF. Линия XYZ это трилинейная полярная точка п.^[1]

Точки Икс, Y, Z также могут быть получены как гармонические сопряжения D, E, F относительно пар точек (B,C), (C, А), (А, B) соответственно. Понселе использовал эту идею для определения концепции трилинейных полярных координат.^[1]

Если линия L это трилинейная полярная точка п относительно контрольного треугольника ABC тогда п называется трехлинейный полюс линии L относительно контрольного треугольника ABC.

Трилинейное уравнение

Пусть трилинейные координаты точки п быть (п : q : р). Тогда трилинейное уравнение трилинейной поляры п является^[3]

Икс / п + у / q + z / р = 0.

Построение трехлинейной опоры

Схема, показывающая построение трехлинейного полюса данной линии XYZ

Пусть линия L встретить стороны до н.э, CA, AB треугольника ABC в Икс, Y, Z соответственно. Пусть пары прямых (К, CZ), (CZ, ТОПОР), (ТОПОР, К) встретиться в U, V, W. Треугольники ABC и UVW в перспективе и пусть п быть центр перспективы. п это трехлинейный полюс линии L.

Некоторые трилинейные поляры

Некоторые из трехлинейных поляров хорошо известны.^[4]

• Трилинейная полярная центроид треугольника ABC это линия на бесконечности.
• Трилинейная полярная симедианная точка это Ось Лемуана треугольника ABC.
• Трилинейная полярная ортоцентр это ортическая ось.
• Трилинейные поляры не определены для точек, совпадающих с вершинами треугольника. ABC.

Столбы карандашей линий

Анимация, иллюстрирующая тот факт, что геометрическое место трехлинейных полюсов пучка прямых, проходящих через фиксированную точку K, является описанной конической точкой контрольного треугольника.

Позволять п с трилинейными координатами ( Икс : Y : Z ) - полюс прямой, проходящей через неподвижную точку K с трилинейными координатами ( Икс₀ : у₀ : z₀ ). Уравнение линии

• Икс / Икс + у / Y + z / Z =0.

Поскольку это проходит через K,

• Икс₀ / Икс + у₀ / Y + z₀ / Z =0.

Таким образом, локус п является

• Икс₀ / Икс + у₀ / у + z₀ / z =0.

Это circumconic треугольника ссылки ABC. Таким образом, геометрическое место полюсов пучка прямых, проходящих через фиксированную точку, является описанной коникой исходного треугольника.

Рекомендации

1. Кокстер, H.S.M. (1993). Реальная проективная плоскость. Springer. С. 102–103. ISBN  9780387978895.
2. Кокстер, H.S.M. (2003). Проективная геометрия. Springer. стр.29. ISBN  9780387406237.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Трилинейная полярная». MathWorld - веб-ресурс Wolfram. Получено 31 июля 2012.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Трехлинейный полюс». MathWorld - веб-ресурс Wolfram. Получено 8 августа 2012.

внешняя ссылка

• Страница Геометрикон: Трилинейные поляры
• Страница Геометрикон: Изотомический конъюгат линии