Универсальная переменная формулировка - Universal variable formulation

В орбитальная механика, то универсальная формулировка переменных это метод, используемый для решения двухчастный Проблема Кеплера. Это обобщенная форма Уравнение Кеплера, распространяя их не только на эллиптические орбиты, но также параболический и гиперболические орбиты. Таким образом, это применимо ко многим ситуациям в Солнечная система, где орбиты сильно меняются эксцентриситет присутствуют.

Вступление

Распространенная проблема в орбитальной механике заключается в следующем: тело в орбита и время т₀, найти положение тела в любой другой момент времени т.За эллиптические орбиты с достаточно маленьким эксцентриситет, решение Уравнение Кеплера такими методами, как Метод Ньютона дает адекватные результаты. Однако по мере того, как орбита становится все более и более эксцентричной, численная итерация может начать сходиться медленно или совсем нет.^[1][2] Кроме того, уравнение Кеплера нельзя применить к параболический и гиперболические орбиты, поскольку он специально предназначен для работы с эллиптическими орбитами.

Вывод

Хотя уравнения, подобные уравнению Кеплера, могут быть получены для параболические и гиперболические орбиты, удобнее ввести новую независимую переменную вместо эксцентрическая аномалия Eи имеющий единственное уравнение, которое может быть решено независимо от эксцентриситета орбиты. Новая переменная s определяется следующим дифференциальное уравнение:

${displaystyle {frac {ds}{dt}}={frac {1}{r}}}$

куда ${displaystyle r=r(t)}$ - расстояние до центра притяжения, зависящее от времени. Основное уравнение ${displaystyle {frac {d^{2}mathbf {r} }{dt^{2}}}+mu {frac {mathbf {r} }{r^{3}}}=mathbf {0} }$ является упорядоченный применив эту замену переменных, чтобы получить:^[2]

${displaystyle {frac {d^{2}mathbf {r} }{ds^{2}}}+alpha mathbf {r} =-mathbf {P} }$

куда п это постоянная вектор и ${displaystyle alpha }$ определяется

${displaystyle alpha ={frac {mu }{a}}}$

Уравнение такое же, как и уравнение для гармонический осциллятор, известное уравнение как в физика и математика. Снова взяв производную, мы получаем дифференциальное уравнение третьей степени:

${displaystyle {frac {d^{3}mathbf {r} }{ds^{3}}}+alpha {frac {dmathbf {r} }{ds}}=mathbf {0} }$

Семейство решений этого дифференциального уравнения^[2] записываются символически как функции ${displaystyle 1, s c_{1}(alpha s^{2}), s^{2} c_{2}(alpha s^{2}),}$ где функции ${displaystyle c_{k}(x)}$, называется Функции Stumpff, являются обобщениями функций синуса и косинуса. Применение этого приводит к:^[3]

${displaystyle t-t_{0}=r_{0} s c_{1}(alpha s^{2})+r_{0}{frac {dr_{0}}{dt}} s^{2} c_{2}(alpha s^{2})+mu s^{3} c_{3}(alpha s^{2})}$

которое является универсальной переменной формулировкой уравнения Кеплера. Теперь это уравнение можно решить численно с помощью алгоритм поиска корней Такие как Метод Ньютона или же Метод Лагерра на данный момент ${displaystyle t}$ уступить ${displaystyle s}$, который, в свою очередь, используется для вычисления функции f и g:

${displaystyle {egin{aligned}f(s)&=1-left({frac {mu }{r_{0}}}ight)s^{2}c_{2}(alpha s^{2}),g(s)&=t-t_{0}-mu s^{3}c_{3}(alpha s^{2}),{frac {df}{dt}}&={dot {f}}(s)=-left({frac {mu }{rr_{0}}}ight)sc_{1}(alpha s^{2}),{frac {dg}{dt}}&={dot {g}}(s)=1-left({frac {mu }{r}}ight)s^{2}c_{2}(alpha s^{2})end{aligned}}}$

Значения функций f и g определяют положение тела в момент времени. ${displaystyle t}$:

${displaystyle mathbf {r} =mathbf {r} _{0} f(s)+mathbf {v} _{0} g(s)}$

Кроме того, скорость тела во времени ${displaystyle t}$ можно найти с помощью ${displaystyle {dot {f}}(s)}$ и ${displaystyle {dot {g}}(s)}$ следующее:

${displaystyle mathbf {v} =mathbf {r} _{0} {dot {f}}(s)+mathbf {v} _{0} {dot {g}}(s)}$

куда ${displaystyle mathbf {r} }$ и ${displaystyle mathbf {v} }$ положение и скорость соответственно в момент времени ${displaystyle t}$, и ${displaystyle mathbf {r} _{0}}$ и ${displaystyle mathbf {v} _{0}}$ - положение и скорость соответственно в произвольный начальный момент времени ${displaystyle t_{0}}$.

Рекомендации

1. Эдуард Л. Штифель, Герхард Шайфеле (1971). Линейная и регулярная небесная механика. Возмущенное движение двух тел. Численные методы. Каноническая теория.. Springer-Verlag.
2. Дэнби, Дж. М. А. (1988). Основы небесной механики (2-е изд.). Вильманн-Белл. ISBN  0943396204.
3. Дэнби, Дж. М. А. (1988). «Уравнение 6.9.26». Основы небесной механики (2-е изд.). Вильманн-Белл. ISBN  0943396204.