Оценка (теория меры) - Valuation (measure theory)

В теория меры, или хотя бы в подходе к нему через теория предметной области, а оценка это карта из класса открытые наборы из топологическое пространство к набору положительный действительные числа включая бесконечность, с определенными свойствами. Это концепция, тесно связанная с концепцией мера, и поэтому он находит применение в теории меры, теория вероятности, и теоретическая информатика.

Определение теории предметной области / меры

Позволять ${\displaystyle \scriptstyle (X,{\mathcal {T}})}$ быть топологическим пространством: a оценка любая карта

${\displaystyle v:{\mathcal {T}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}\cup \{+\infty \}}$

удовлетворяющие следующим трем свойствам

${\displaystyle {\begin{array}{lll}v(\varnothing )=0&&\scriptstyle {\text{Strictness property}}\\v(U)\leq v(V)&{\mbox{if}}~U\subseteq V\quad U,V\in {\mathcal {T}}&\scriptstyle {\text{Monotonicity property}}\\v(U\cup V)+v(U\cap V)=v(U)+v(V)&\forall U,V\in {\mathcal {T}}&\scriptstyle {\text{Modularity property}}\,\end{array}}}$

Определение сразу показывает взаимосвязь между оценкой и мерой: свойства двух математических объектов часто очень похожи, если не идентичны, с той лишь разницей, что область измерения - это Борелевская алгебра данного топологического пространства, а область оценки - класс открытых множеств. Более подробную информацию и ссылки можно найти в Альварес-Манилла, Эдалат и Сахеб-Джахроми 2000 и Губо-Ларрек 2005.

Непрерывная оценка

Оценка (как определено в теории предметной области / теории меры) называется непрерывный если для каждая управляемая семья ${\displaystyle \scriptstyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ из открытые наборы (т.е. индексированная семья открытых множеств, который также направленный в том смысле, что для каждой пары индексов ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ принадлежащий к набор индексов ${\displaystyle I}$, существует индекс ${\displaystyle k}$ такой, что ${\displaystyle \scriptstyle U_{i}\subseteq U_{k}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle U_{j}\subseteq U_{k}}$) следующее равенство держит:

${\displaystyle v\left(\bigcup _{i\in I}U_{i}\right)=\sup _{i\in I}v(U_{i}).}$

Это свойство аналогично τ-аддитивность мер.

Простая оценка

Оценка (как определено в теории предметной области / теории меры) называется просто если это конечный линейная комбинация с неотрицательный коэффициенты из Оценки Дирака, т.е.

${\displaystyle v(U)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\delta _{x_{i}}(U)\quad \forall U\in {\mathcal {T}}}$

куда ${\displaystyle a_{i}}$ всегда больше или, по крайней мере, равно нуль для всего индекса ${\displaystyle i}$. Очевидно, что простые оценки непрерывны в указанном выше смысле. В супремум из управляемая семья простых оценок (т.е. индексированное семейство простых оценок, которое также направлено в том смысле, что для каждой пары индексов ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ принадлежащий к набору индексов ${\displaystyle I}$, существует индекс ${\displaystyle k}$ такой, что ${\displaystyle \scriptstyle v_{i}(U)\leq v_{k}(U)\!}$ и ${\displaystyle \scriptstyle v_{j}(U)\leq v_{k}(U)\!}$) называется квазипростая оценка

${\displaystyle {\bar {v}}(U)=\sup _{i\in I}v_{i}(U)\quad \forall U\in {\mathcal {T}}.\,}$

Смотрите также

• В проблема с расширением для данной оценки (в смысле теории предметной области / теории меры) состоит в том, чтобы определить, при каких условиях она может быть расширена до меры на собственном топологическом пространстве, которое может быть или не быть тем же пространством, в котором оно определено: бумаги Альварес-Манилла, Эдалат и Сахеб-Джахроми 2000 и Губо-Ларрек 2005 в справочном разделе посвящены этой цели и дают также несколько исторических подробностей.
• Концепции оценка на выпуклые множества и оценка на коллекторы являются обобщением оценки в смысле домен / теория меры. При оценке выпуклых множеств допускается допущение комплексные значения, а лежащее в основе топологическое пространство - это множество непустой выпуклый компактные подмножества из конечномерное векторное пространство: оценка на многообразиях - это комплекснозначная конечно аддитивная мера определен на собственном подмножество из учебный класс из всех компактные подмногообразия данного коллекторы.^[а]

Примеры

Оценка Дирака

Позволять ${\displaystyle \scriptstyle (X,{\mathcal {T}})}$ - топологическое пространство, и пусть ${\displaystyle x}$ быть точкой ${\displaystyle X}$: карта

${\displaystyle \delta _{x}(U)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}~x\notin U\\1&{\mbox{if}}~x\in U\end{cases}}\quad \forall U\in {\mathcal {T}}}$

является оценкой в ​​теории предметной области / теории меры, в смысле, называемом Дирак оценка. Эта концепция берет свое начало от теория распределения поскольку это очевидный перенос на теорию оценки Распределение Дирака: как видно выше, оценки Дирака - это "кирпичи " простые оценки сделаны из.

Примечания

1. Подробности можно найти в нескольких arxiv документы проф. Семен Алескер.

Процитированные работы

• Альварес-Манилья, Маурицио; Эдалат, Аббас; Сахеб-Джахроми, Насер (2000), "Результат расширения для непрерывных оценок", Журнал Лондонского математического общества, 61 (2): 629–640, CiteSeerX  10.1.1.23.9676, Дои:10.1112 / S0024610700008681.
• Губо-Ларрек, Жан (2005), «Расширения оценок», Математические структуры в информатике, 15 (2): 271–297, Дои:10.1017 / S096012950400461X

внешняя ссылка

• Алескер, Семен, "различные препринты по оценке s", arxiv сервер препринтов, первичный сайт в Корнелл Университет. Несколько статей, посвященных оценкам на выпуклых множествах, оценкам на многообразиях и смежным темам.
• Страница nLab об оценках