Вербальная арифметика - Verbal arithmetic

Вербальная арифметика, также известный как алфавитно, криптарифметика, криптарифм или же добавление слов, это тип математическая игра состоящий из математического уравнение среди неизвестных числа, чей цифры представлены буквы. Цель состоит в том, чтобы определить ценность каждой буквы. Название может быть расширено до головоломок, в которых вместо букв используются не алфавитные символы.

Уравнение обычно представляет собой базовую операцию арифметика, Такие как добавление, умножение, или же разделение. Классический пример, опубликованный в июльском выпуске журнала Strand Magazine за 1924 г. Генри Дудени,^[1] является:

${ displaystyle { begin {matrix} && { text {S}} & { text {E}} & { text {N}} & { text {D}} + && { text {M }} & { text {O}} & { text {R}} & { text {E}} hline = & { text {M}} & { text {O}} & { текст {N}} & { text {E}} & { text {Y}} end {matrix}}}$

Решение этой головоломки: O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8 и S = 9.

Традиционно каждая буква должна представлять отдельную цифру, и (как обычная арифметическая запись) первая цифра многозначного числа не должна быть нулем. Хорошая головоломка должна иметь уникальное решение, а буквы должны составлять фразу (как в примере выше).

Устная арифметика может быть полезна в качестве мотивации и источника упражнений в обучение из алгебра.

История

Криптарифмический пазлы довольно старые, и их изобретатель неизвестен. Пример 1864 года в американском агрономе^[2] опровергает распространенное мнение, что это было изобретено Сэм Лойд. Название «криптарифм» придумал пазлист Минос (псевдоним Саймон Ватриквант ) в майском выпуске бельгийского журнала развлекательной математики «Сфинкс» за 1931 г. и был переведен как «криптарифметика» Морис Крайчик в 1942 г.^[3] В 1955 году Дж. А. Х. Хантер ввел слово «алфавитный» для обозначения криптарифмов, таких как шифр Дудени, буквы которого образуют значимые слова или фразы.^[4]

Типы криптарифмов

Типы криптарифмов включают алфавитный, дигиметический и скелетный деления.

Алфавитный: Тип криптарифма, в котором набор слов записан в виде длинной суммы сложения или какой-либо другой математической задачи. Цель состоит в том, чтобы заменить буквы алфавита десятичными цифрами, чтобы получить правильную арифметическую сумму.
Digimetic: Криптарифм, в котором цифры используются для обозначения других цифр.

Скелетное деление: Длинное деление, в котором большая часть или все цифры заменены символами (обычно звездочками), чтобы сформировать криптарифм.
Обратный криптарифм: Редкий вариант, когда формула написана, а решением является соответствующий криптарифм, решением которого является данная формула.

Решение криптарифмов

Решение криптарифма вручную обычно включает в себя сочетание выводов и исчерпывающих тестов возможностей. Например, следующая последовательность выводов решает задачу Дудени ОТПРАВИТЬ + БОЛЬШЕ = ДЕНЬГИ (столбцы пронумерованы справа налево):

${ displaystyle { begin {matrix} && { text {S}} & { text {E}} & { text {N}} & { text {D}} + && { text {M }} & { text {O}} & { text {R}} & { text {E}} hline = & { text {M}} & { text {O}} & { текст {N}} & { text {E}} & { text {Y}} end {matrix}}}$

Из столбца 5 M = 1 поскольку это единственно возможный перенос из суммы двух однозначных чисел в столбце 4.
Поскольку в столбце 5 есть перенос, O должно быть меньше или равно M (из столбца 4). Но O не может быть равно M, поэтому O меньше M. Следовательно O = 0.
Поскольку O на 1 меньше, чем M, S равно 8 или 9 в зависимости от того, есть ли перенос в столбце 4. Но если бы был перенос в столбце 4, N было бы меньше или равным O (из столбца 3). Это невозможно, поскольку O = 0. Следовательно, в столбце 3 нет переноса и S = 9.
Если в столбце 3 не было переноса, то E = N, что невозможно. Следовательно, есть перенос и N = E + 1.
Если в столбце 2 не было переноса, то (N + R) mod 10 = E, а N = E + 1, поэтому (E + 1 + R) mod 10 = E, что означает (1 + R) mod 10 = 0 , поэтому R = 9. Но S = 9, поэтому в столбце 2 должен быть перенос, поэтому R = 8.
Чтобы произвести перенос в столбце 2, мы должны иметь D + E = 10 + Y.
Y не меньше 2, поэтому D + E не меньше 12.
Единственные две пары доступных чисел, которые в сумме составляют не менее 12, - это (5,7) и (6,7), поэтому либо E = 7, либо D = 7.
Поскольку N = E + 1, E не может быть 7, потому что тогда N = 8 = R, поэтому D = 7.
E не может быть 6, потому что тогда N = 7 = D, поэтому E = 5 и N = 6.
D + E = 12, поэтому Y = 2.

Использование модульная арифметика часто помогает. Например, использование арифметики mod-10 позволяет обрабатывать столбцы задачи сложения как одновременные уравнения, а использование арифметики mod-2 позволяет делать выводы на основе паритет переменных.

В Информатика, криптарифмы служат хорошими примерами для иллюстрации грубая сила метод и алгоритмы, которые генерируют все перестановки из м выбор из п возможности. Например, загадка Дудени, приведенная выше, может быть решена путем проверки всех присвоений восьми значений среди цифр от 0 до 9 восьми буквам S, E, N, D, M, O, R, Y, что дает 1814400 возможностей. Они также служат хорошими примерами для возврат парадигма алгоритм дизайн.

Дополнительная информация

При обобщении на произвольные базисы проблема определения того, имеет ли криптарифм решение, выглядит следующим образом: НП-полный.^[5] (Обобщение необходимо для получения результата твердости, потому что в базе 10 есть только 10! Возможных присвоений цифр буквам, и их можно сравнить с головоломкой за линейное время.)

Алфавитные указания можно комбинировать с другими числовыми головоломками, такими как Судоку и Какуро, чтобы создавать загадочные Судоку и Какуро.

Самый длинный алфавит

Антон Павлис построил алфавитную схему в 1983 году с 41 дополнением:

ТАК + МНОГО + БОЛЬШЕ + МУЖЧИНЫ + КАЖЕТСЯ + СКАЗАТЬ + ЧТО +

ОНИ + МОГУТ + СКОРО + ПОПРОБОВАТЬ + ПО + ОСТАНОВИТЬСЯ + НА + ДОМУ +

ТАК + КАК + ЧТО + УВИДЕТЬ + ИЛИ + СЛЫШАЕТ + ТО + ЖЕ + ОДИН +

ЧЕЛОВЕК + ПОПЫТАЙТЕСЬ + ВСТРЕЧИТЬ + КОМАНДУ + НА +

ЛУНА + КАК + ОН + ИМЕЕТ + НА + ДРУГОЕ + ДЕСЯТЬ

= ИСПЫТАНИЯ

(Ответ таков: TRANHYSMOE = 9876543210.)^[6]

Смотрите также

Диофантово уравнение
Математические головоломки
Перестановка
Загадки
Боковая арифметика из школы Wayside - Книга, сюжет которой вращается вокруг этих головоломок.

внешняя ссылка

Решатели алфавита

[1] Х. Э. Дудени, в Strand Magazine т. 68 (июль 1924 г.), стр. 97 и 214.

[agriculturist-2] «№ 109 Математическая головоломка». Американский агроном. 23 (12). Декабрь 1864 г. с. 349.

[3] Морис Крайчик, Mathematical Recreations (1953), стр. 79-80.

[4] Дж. А. Х. Хантер, в Торонто Глобус и почта (27 октября 1955 г.), стр. 27.

[5] Дэвид Эппштейн (1987). «О NP-полноте криптарифмов» (PDF). Новости SIGACT. 18 (3): 38–40. Дои:10.1145/24658.24662. S2CID 2814715.

[6] Павлис, Антон. "Crux Mathematicorum" (PDF). Канадское математическое общество. Канадское математическое общество. п. 115. Получено 14 декабря 2016.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]