Фрактал Вичека - Vicsek fractal

Фрактал Вичека (5-я итерация формы креста)

В математика то Фрактал Вичека, также известный как Снежинка Вичека или же коробка фрактал,^[1]^[2] это фрактал возникшие из конструкции, аналогичной конструкции Ковер Серпинского, предложено Тамаш Вичек. Имеет приложения, в том числе как компактные антенны, особенно в сотовых телефонах.

Вариант^[3]

6 ступеней ковра Серпинского

Самоаффинный фрактал построен из

3 \times 2

сетка

Коробка фрактальная также относится к различным повторяющимся фракталам, созданным квадрат или же прямоугольная сетка с удаленными или отсутствующими различными блоками, и на каждой итерации те, которые присутствуют и / или отсутствуют, имеют предыдущее изображение, уменьшенное в масштабе и нарисованное в них. В Треугольник Серпинского может быть приблизительно $2 \times 2$ коробчатый фрактал с удаленным одним углом. В Ковер Серпинского это $3 \times 3$ прямоугольный фрактал с удаленным средним квадратом.

Строительство

Базовый квадрат разбивается на девять меньших квадратов в сетке 3 на 3. Остались четыре квадрата по углам и средний квадрат, остальные квадраты удалены. Процесс повторяется рекурсивно для каждого из пяти оставшихся подквадратов. Фрактал Вичека - это множество, полученное на пределе этой процедуры. В Хаусдорфово измерение этого фрактала ${displaystyle extstyle {frac {log (5)} {log (3)}}}$ ≈ 1.46497.

Альтернативная конструкция (показанная ниже на левом изображении) состоит в том, чтобы удалить четыре угловых квадрата и оставить средний квадрат и квадраты выше, ниже, слева и справа от него. Две конструкции образуют идентичные ограничивающие кривые, но одна из них повернута на 45 градусов относительно другой.

Самоподобие I - удаление угловых квадратов.
Самоподобие II - сохранение угловых квадратов.

Четыре итерации солидной формы фрактала (вверху) и крестообразной формы фрактала (внизу).

Антикривая вышивки крестиком, итерации 0-4

Вышитый крестиком остров

Аппроксимация игра хаос где скачок = 2/3 случайным образом в сторону центра или одной из вершин квадрата

Характеристики

Фрактал Вичека обладает удивительным свойством: у него нулевая площадь, но бесконечная периметр, из-за его нецелочисленной размерности. На каждой итерации четыре квадрата удаляются из каждых пяти оставшихся, что означает, что на итерации п область ${displaystyle extstyle {({frac {5} {9}}) ^ {n}}}$ (при условии, что исходный квадрат имеет длину стороны 1). Когда п приближается к бесконечности, площадь приближается к нулю. Однако периметр ${displaystyle extstyle {4 ({frac {5} {3}}) ^ {n}}}$ , потому что каждая сторона делится на три части, а центральная заменяется на три стороны, что дает увеличение от трех до пяти. Периметр стремится к бесконечности как п увеличивается.

Граница фрактала Вичека - это Квадратичная кривая Коха типа 1.

Аналоги в высших измерениях

Анимация 3D аналога фрактала Вичека (третья итерация)

Есть трехмерный аналог фрактала Вичека. Он построен путем разделения каждого куба на 27 меньших и удаления всего, кроме «центрального креста», центрального куба и шести кубиков, соприкасающихся с центром каждой грани. Его размерность Хаусдорфа равна ${displaystyle extstyle {frac {log (7)} {log (3)}}}$ ≈ 1.7712.

Как и двумерный фрактал Вичека, эта фигура имеет нулевой объем. Каждая итерация удаления сохраняет 7 кубиков на каждые 27, что означает объем ${displaystyle extstyle {({frac {7} {27}}) ^ {n}}}$ на итерации п, который стремится к нулю при п приближается к бесконечности.

Существует бесконечное количество поперечные сечения которые дают двумерный фрактал Вичека.

Смотрите также

внешняя ссылка

"Коробка Фрактал". вольфрам Альфа Сайт. Получено 21 февраля 2019.

[1] Шан Фуци; Гу Хунмин; Гао Баосинь (2004). «Анализ фрактальной патч-антенны вичека». ICMMT 4-я Международная конференция по технологиям микроволн и миллиметровых волн, 2004 г.. Пекин, Китай: IEEE: 98–101. Дои:10.1109 / ICMMT.2004.1411469. ISBN 9780780384019.

[2] Вайсштейн, Эрик В. "Коробка Фрактал". MathWorld.

[3] "Коробочные фракталы". 2014-01-03.

[1]

[2]

[3]