Функция Вольтерраса - Volterras function - Wikipedia
В математика, Функция Вольтерры, названный в честь Вито Вольтерра, - вещественная функция V определены на реальная линия р со следующим любопытным сочетанием свойств:
- V является дифференцируемый повсюду
- Производная V ' является ограниченный повсюду
- Производная не Интегрируемый по Риману.
Определение и конструкция
Функция определяется с помощью Множество Смита – Вольтерры – Кантора и "копии" функции, определенной за и . Построение V начинается с определения наибольшего значения Икс в интервале [0, 1/8], для которого ж ′(Икс) = 0. Как только это значение (скажем, Икс0) определяется, продолжим функцию вправо с постоянным значением ж(Икс0) до пункта 1/8 включительно. Как только это будет сделано, можно создать зеркальное отображение функции, начиная с точки 1/4 и простираясь вниз к 0. Эта функция будет определена как 0 за пределами интервала [0, 1/4]. Затем мы переводим эту функцию в интервал [3/8, 5/8], чтобы получившаяся функция, которую мы называем ж1, отлична от нуля только на среднем интервале дополнения множества Смита – Вольтерра – Кантора. Строить ж2, ж 'Затем рассматривается на меньшем интервале [0,1 / 32], усекается в последнем месте, где производная равна нулю, расширяется и зеркалируется так же, как и раньше, и две переведенные копии полученной функции добавляются к ж1 произвести функцию ж2. Затем функция Вольтерры получается повторением этой процедуры для каждого интервала, удаленного при построении множества Смита – Вольтерра – Кантора; другими словами, функция V предел последовательности функций ж1, ж2, ...
Другие свойства
Функция Вольтерра везде дифференцируема, как и ж (как определено выше). Можно показать, что ж ′(Икс) = 2Икс грех (1 /Икс) - cos (1 /Икс) за Икс 0, что означает, что в любой окрестности нуля есть точки, в которых ж ′ Принимает значения 1 и −1. Таким образом, есть точки, где V ′ Принимает значения 1 и −1 в каждой окрестности каждого из концов интервалов, удаленных при построении Множество Смита – Вольтерры – Кантора S. Фактически, V ′ Разрывна в каждой точке S, хотя V сам дифференцируем в каждой точке S, с производной 0. Однако V ′ Непрерывна на каждом отрезке, удаленном при построении S, поэтому множество разрывов V ' равно S.
Поскольку множество Смита – Вольтерры – Кантора S имеет положительный Мера Лебега, это означает, что V ′ Разрывна на множестве положительной меры. К Критерий Лебега интегрируемости Римана, V ′ Не интегрируема по Риману. Если повторить построение функции Вольтерра с обычным канторовским множеством меры 0 C вместо «толстого» (позитивного) множества Кантора S, можно было бы получить функцию со многими подобными свойствами, но тогда производная была бы разрывной на множестве меры 0 C вместо множества положительной меры S, и поэтому результирующая функция будет иметь интегрируемую по Риману производную.