Гипотеза объема - Volume conjecture - Wikipedia

В филиале математика называется теория узлов, то гипотеза об объеме следующая открытая проблема, которая касается квантовые инварианты узлов к гиперболическая геометрия из узел дополняет.

Позволять О обозначить развязанный. Для любого узла K позволять ${\displaystyle \langle K\rangle _{N}}$ быть инвариантом Кашаева ${\displaystyle K}$; этот инвариант совпадает со следующей оценкой ${\displaystyle N}$-цветной многочлен Джонса ${\displaystyle J_{K,N}(q)}$ из ${\displaystyle K}$:

${\displaystyle \langle K\rangle _{N}=\lim _{q\to e^{2\pi i/N}}{\frac {J_{K,N}(q)}{J_{O,N}(q)}}.}$

(1)

Тогда гипотеза объема утверждает, что

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {2\pi \log |\langle K\rangle _{N}|}{N}}=\operatorname {vol} (K),\,}$

(2)

где vol (K) обозначает гиперболический объем дополнения K в 3-сфера.

Наблюдение Кашаева

Ринат Кашаев (1997 ) заметил, что асимптотика некоторой суммы состояний узлов дает гиперболический объем ${\displaystyle \operatorname {vol} (K)}$ комплекта узлов ${\displaystyle K}$ и показал, что это верно для узлов ${\displaystyle 4_{1}}$, ${\displaystyle 5_{2}}$, и ${\displaystyle 6_{1}}$. Он предположил, что для генерала гиперболические узлы формула (2) была бы верна. Его инвариант для узла ${\displaystyle K}$ основан на теории квантовые дилогарифмы на ${\displaystyle N}$-й корень из единства, ${\displaystyle q=\exp {(2\pi i/N)}}$.

Цветной инвариант Джонса

Мураками и Мураками (2001) впервые указал, что инвариант Кашаева связан с полиномом Джонса заменой q на 2N-корень из единицы, а именно, ${\displaystyle \exp {\frac {i\pi }{N}}}$. Они использовали R-матрица как дискретное преобразование Фурье для эквивалентности этих двух значений.

Гипотеза об объеме важна для теория узлов. В разделе 5 этой статьи они заявляют, что:

Предполагая гипотезу объема, каждый узел, отличный от тривиальный узел имеет по крайней мере один другой Инвариант Васильева (конечного типа).

Связь с теорией Черна-Саймонса

Используя комплексификацию, Мураками и др. (2002) переписал формулу (1) в

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {2\pi \log \langle K\rangle _{N}}{N}}=\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)+CS(S^{3}\backslash K),}$

(3)

куда ${\displaystyle CS(S^{3}\backslash K)}$ называется Инвариант Черна – Саймонса. Они показали, что с математической точки зрения существует четкая связь между комплексифицированным цветным многочленом Джонса и теорией Черна – Саймонса.

Рекомендации

• Кашаев, Ринат М. (1997), "Гиперболический объем узлов из квантового дилогарифма", Письма по математической физике, 39 (3): 269–275, arXiv:q-alg / 9601025, Дои:10.1023 / А: 1007364912784.
• Мураками, Хитоши; Мураками, Джун (2001), "Цветные многочлены Джонса и симплициальный объем узла", Acta Mathematica, 186 (1): 85–104, arXiv:математика / 9905075, Дои:10.1007 / BF02392716.
• Мураками, Хитоши; Мураками, Джун; Окамото, Миюки; Таката, Тоши; Йокота, Йошиюки (2002), "Гипотеза Кашаева и инварианты Черна-Саймонса узлов и зацеплений", Экспериментальная математика, 11 (1): 427–435, arXiv:математика / 0203119, Дои:10.1080/10586458.2002.10504485.
• Гуков, Сергей (2005), "Трехмерная квантовая гравитация, теория Черна-Саймонса и A-полином", Commun. Математика. Phys., 255 (1): 557–629, arXiv:hep-th / 0306165, Bibcode:2005CMaPh.255..577G, Дои:10.1007 / s00220-005-1312-у.