Неравенство фон Неймана - Von Neumanns inequality - Wikipedia

В теория операторов, неравенство фон Неймана, из-за Джон фон Нейман, утверждает, что при фиксированном сжатии Т, то полиномиальное функциональное исчисление карта сама по себе является сокращением.

Официальное заявление

Для сокращение Т действуя на Гильбертово пространство и многочлен п, то норма п(Т) ограничен супремум из |п(z) | за z в единичный диск."^[1]

Доказательство

Неравенство можно доказать, рассматривая унитарное расширение из Т, для которого неравенство очевидно.

Обобщения

Это неравенство является частным случаем гипотезы Мацаева. То есть для любого полинома п и сокращение Т на ${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle ||P(T)||_{L^{p}\to L^{p}}\leq ||P(S)||_{\ell ^{p}\to \ell ^{p}}}$

куда S - оператор сдвига вправо. Неравенство фон Неймана доказывает это для ${\displaystyle p=2}$ и для ${\displaystyle p=1}$ и ${\displaystyle p=\infty }$ это правда, по прямым подсчетам. С.В. В 2011 году Друри показал, что в общем случае эта гипотеза не выполняется.^[2]

Рекомендации

1. "Департамент математики, Коллоквиум Университета Вандербильта, 2007-2008 гг.". Архивировано из оригинал на 2008-03-16. Получено 2008-03-11.
2. С.В. Друри, "Контрпример к гипотезе Мацаева", Линейная алгебра и ее приложения, том 435, выпуск 2, 15 июля 2011 г., страницы 323-329