Принцип вопенка - Vopěnkas principle - Wikipedia

В математика, Принцип вопенки это большой кардинал аксиома. Интуиция, лежащая в основе аксиомы, заключается в том, что теоретико-множественная вселенная настолько велика, что в каждом правильный класс, некоторые члены похожи на других, причем это сходство формализуется через элементарные вложения.

Принцип Vopěnka был впервые представлен Петр Вопенка и независимо рассмотрено Х. Джером Кейслер, и был написан Соловей, Рейнхардт и Канамори (1978).В соответствии с Пудлак (2013 г., п. 204), принцип Вопенки изначально задумывался как шутка: Вопенка явно не в восторге от больших кардиналов и представил свой принцип как фиктивную большую кардинальную собственность, планируя позже показать, что это несоответствие. Однако, прежде чем опубликовать свое доказательство несоответствия, он обнаружил в нем изъян.

Определение

Принцип Vopěnka утверждает, что для каждого правильный класс из бинарные отношения (каждый с доменом заданного размера), есть один элементарно встраиваемый в другой. Это нельзя выразить как одно предложение ZFC поскольку он включает количественную оценку по классам. Кардинал κ называется Вопенка кардинал если это недоступный и принцип Vopěnka держится в ранге V_κ (позволяя произвольно S ⊂ V_κ как «классы»).^[1]

Возможны многие эквивалентные формулировки. Например, принцип Vopěnka эквивалентен каждому из следующих утверждений.

• Для каждого надлежащего класса простые ориентированные графы, есть два члена класса с гомоморфизмом между ними.^[2]
• Для любого подпись Σ и любой надлежащий класс Σ-структуры, есть два члена класса с элементарным вложением между ними.^[1][2]
• Для каждого предиката п и правильный класс S из порядковые, существует нетривиальное элементарное вложение j:(V_κ, ∈, п) → (V_λ, ∈, п) для некоторых κ и λ из S.^[1]
• В категория ординалов не могут быть полностью вложены в категорию графов.^[2]
• Каждый подфунктор доступный функтор доступен.^[2]
• (В настройке определяемых классов) Для каждого натурального числа п, существует C^(п)-расширяемый кардинал.^[3]

Сила

Даже при ограничении предикатами и собственными классами, определяемыми в теории множеств первого порядка, принцип подразумевает существование Σ_п правильный расширяемые кардиналы для каждого п.

Если κ - почти огромный кардинал, то сильная форма принципа Вопени сохраняется в V_κ:

Существует κ-полная ультрафильтр U так что для каждого {р_я: я <κ}, где каждый р_я является бинарным отношением и р_я ∈ V_κ, есть S ∈ U и нетривиальное элементарное вложение j: р_а → р_б для каждого а < б в S.

Рекомендации

1. Канамори, Акихиро (2003). Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Берлин [u.a.]: Springer. ISBN  9783540003847.
2. Росицки, Иржи Адамек; Иржи (1994). Локально презентабельные и доступные категории (Цифровая печать. 2004. Ред.). Кембридж [u.a.]: Cambridge Univ. Нажмите. ISBN  0521422612.
3. Багария, Жанна (23 декабря 2011 г.). "C^(п)-кардиналы ». Архив по математической логике. 51 (3–4): 213–240. Дои:10.1007 / s00153-011-0261-8.

• Канамори, Акихиро (1978), «О Vopěnka's и родственных принципах», Коллоквиум по логике '77 (Proc. Conf., Wrocław, 1977), Stud. Основы логики Math., 96, Амстердам-Нью-Йорк: Северная Голландия, стр. 145–153, ISBN  0-444-85178-X, МИСТЕР  0519809
• Пудлак, Павел (2013), Логические основы математики и вычислительная сложность. Нежное введение, Монографии Springer по математике, Springer, Дои:10.1007/978-3-319-00119-7, ISBN  978-3-319-00118-0, МИСТЕР  3076860
• Соловей, Роберт М.; Рейнхардт, Уильям Н.; Канамори, Акихиро (1978), «Сильные аксиомы бесконечности и элементарные вложения» (PDF), Анналы математической логики, 13 (1): 73–116, Дои:10.1016/0003-4843(78)90031-1

внешняя ссылка

Фридман, Харви М. (2005), ВНЕДРЕНИЕ АКСИОМ дает ряд эквивалентных определений принципа Вопеньки.