Слабая ценность - Weak value

В квантовая механика (и вычисление ), а слабая ценность - величина, связанная со смещением стрелки измерительного прибора, когда обычно имеется предварительная и поствыбор. Не следует путать с слабое измерение, который часто определяется вместе. Слабое значение было сначала определено Якир Ааронов, Дэвид Альберт и Лев Вайдман, опубликовано в Physical Review Letters 1988 г.,^[1] и связан с векторный формализм с двумя состояниями. Также есть способ получить слабые значения без пост-выбора.^[2][3]

Определение и вывод

Есть много отличных обзорных статей о слабых значениях (см., Например,^[4][5][6][7] ) здесь мы вкратце рассмотрим основы.

Определение

Обозначим начальное состояние системы как ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$, а конечное состояние системы обозначено как ${\displaystyle |\psi _{f}\rangle }$. Мы будем называть начальное и конечное состояния системы предварительно и пост-выбранными квантово-механическими состояниями. В отношении этих состояний слабая ценность наблюдаемых ${\displaystyle A}$ определяется как:

${\displaystyle A_{w}={\frac {\langle \psi _{f}|A|\psi _{i}\rangle }{\langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle }}.}$

Обратите внимание, что если ${\displaystyle |\psi _{f}\rangle =|\psi _{i}\rangle }$ то слабое значение равно обычному ожидаемое значение в исходном состоянии ${\displaystyle \langle \psi _{i}|A|\psi _{i}\rangle }$ или конечное состояние ${\displaystyle \langle \psi _{f}|A|\psi _{f}\rangle }$. В общем, величина слабого значения - это комплексное число. Слабое значение наблюдаемого становится большим, когда состояние после выбора ${\displaystyle |\psi _{f}\rangle }$, подходы ортогональны предварительно выбранному состоянию, ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$, т.е. ${\displaystyle \langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle \ll 1}$. Если ${\displaystyle A_{w}}$ больше, чем наибольшее собственное значение ${\displaystyle A}$ или меньше наименьшего собственного значения ${\displaystyle A}$ слабое значение считается аномальным.

В качестве примера рассмотрим частицу со спином 1/2.^[8] Брать ${\displaystyle A}$ быть Паули Z оператор ${\displaystyle A=\sigma _{z}}$ с собственными значениями ${\displaystyle \pm 1}$. Используя начальное состояние

${\displaystyle |\psi _{i}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{c}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\\\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\alpha }{2}}\end{array}}\right)}$

и конечное состояние

${\displaystyle |\psi _{f}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right)}$

мы можем вычислить слабое значение

${\displaystyle A_{w}=(\sigma _{z})_{w}=\tan {\frac {\alpha }{2}}}$.

За ${\displaystyle |\alpha |>{\frac {\pi }{2}}}$ слабое значение является аномальным.

Вывод

Здесь мы следим за презентацией Дака, Стивенсона и Сударшан,^[8] (с некоторыми обновлениями обозначений от Kofman et al.^[4] ), который ясно показывает, когда приближения, использованные для получения слабого значения, действительны.

Рассмотрим квантовую систему, которую вы хотите измерить, подключив вспомогательное (также квантовое) измерительное устройство. Наблюдаемая, которую нужно измерить в системе, равна ${\displaystyle A}$. Система и вспомогательная связаны гамильтонианом${\displaystyle {\begin{aligned}H=\gamma A\otimes p,\end{aligned}}}$ где константа связи интегрирована по времени взаимодействия${\displaystyle \gamma =\int _{t_{i}}^{t_{f}}g(t)dt\ll 1}$ и ${\displaystyle [q,p]=i}$ - канонический коммутатор. Гамильтониан порождает унитарную

${\displaystyle {\begin{aligned}U=\exp[-i\gamma A\otimes p].\end{aligned}}}$

Возьмите начальное состояние вспомогательной функции, чтобы получить гауссово распределение

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/4\sigma ^{2}]|q'\rangle ,\end{aligned}}}$

волновая функция положения этого состояния равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (q)=\langle q|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-q^{2}/4\sigma ^{2}].\end{aligned}}}$

Начальное состояние системы определяется выражением ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ над; штат ${\displaystyle |\Psi \rangle }$, совместно описывающее начальное состояние системы и вспомогательного оборудования, определяется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi \rangle =|\psi _{i}\rangle \otimes |\Phi \rangle .\end{aligned}}}$

Затем система и вспомогательная служба взаимодействуют через единый ${\displaystyle U|\Psi \rangle }$. После этого выполняют проективное измерение проекторов ${\displaystyle \{|\psi _{f}\rangle \langle \psi _{f}|,I-|\psi _{f}\rangle \langle \psi _{f}|\}}$ в системе. Если мы поствыделение (или же условие ) при получении результата ${\displaystyle |\psi _{f}\rangle \langle \psi _{f}|}$, то (ненормализованное) конечное состояние измерителя

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Phi _{f}\rangle &=\langle \psi _{f}|U|\psi _{i}\rangle \otimes |\Phi \rangle \\&\approx \langle \psi _{f}|(I\otimes I-i\gamma A\otimes p)|\psi _{i}\rangle \otimes |\Phi \rangle \quad (I)\\&=\langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle (1-i\gamma A_{w}p)|\Phi \rangle \\&\approx \langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle \exp(-i\gamma A_{w}p)|\Phi \rangle .\quad (II)\end{aligned}}}$

Чтобы прийти к такому выводу, мы используем разложение в ряд первого порядка ${\displaystyle U}$ на линии (I), и мы требуем, чтобы^[4][8]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {|\gamma |}{\sigma }}\left|{\frac {\langle \psi _{f}|A^{n}|\psi _{i}\rangle }{\langle \psi _{f}|A|\psi _{i}\rangle }}\right|^{1/(n-1)}\ll 1,\quad (n=2,3,...)\end{aligned}}}$

В строке (II) мы используем приближение, что ${\displaystyle e^{-x}\approx 1-x}$ для маленьких ${\displaystyle x}$. Это последнее приближение действительно только тогда, когда^[4][8]

${\displaystyle {\begin{aligned}|\gamma A_{w}|/\sigma \ll 1.\end{aligned}}}$

В качестве ${\displaystyle p}$ является генератором трансляций, волновая функция вспомогательной теперь определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{f}(q)=\Phi (q-\gamma A_{w}).\end{aligned}}}$

Это исходная волновая функция, сдвинутая на величину ${\displaystyle \gamma A_{w}}$. По теореме Буша^[9] измерения неизбежно нарушают волновые функции системы и измерителя. В определенном смысле протокол, позволяющий измерить слабое значение, минимально беспокоит,^[10] но беспокойство все еще есть.^[10]

Приложения

Квантовая метрология и томография

В конце оригинальной ценной бумаги^[1] авторы предложили использовать слабые значения в квантовая метрология:

Еще один поразительный аспект этого эксперимента становится очевидным, когда мы рассматриваем его как устройство для измерения небольшого градиента магнитного поля ... дающего огромное усиление.

Ааронов, Альберт, Вайдман^[1]

Этому предложению последовали Хостен и Квиат.^[11] а позже Диксон и др.^[12] Это интересное направление исследований, которое может привести к усовершенствованию технологии квантового зондирования.

Кроме того, в 2011 г. были проведены слабые измерения многих фотонов в том же чистое состояние с последующими сильными измерениями дополнительной переменной, были использованы для выполнения квантовая томография (т.е. восстановить состояние, в котором были приготовлены фотоны).^[13]

Квантовые основы

Слабые значения использовались для изучения некоторых парадоксов в основах квантовой теории. Например, исследовательская группа Эфраима Штейнберга в Университет Торонто подтвержденный Парадокс Харди экспериментально с помощью совместного слабого измерения местоположения запутанных пар фотонов.^[14][15] (также см^[16])

Основываясь на слабых измерениях, Говард М. Уайзман предложил слабое измерение скорости квантовой частицы в точном положении, которое он назвал ее «наивно наблюдаемой скоростью». В 2010 году первое экспериментальное наблюдение траекторий фотона в двухщелевой интерферометр сообщалось, что отображало качественные характеристики, предсказанные в 2001 г. Парта Гхош^[17] для фотонов в интерпретация де Бройля-Бома.^[18][19]

Квантовые вычисления

Слабые значения были внедрены в квантовые вычисления, чтобы значительно ускорить временную сложность. В статье^[20] Арун Кумар Пати описывает новый тип квантового компьютера, использующий слабое усиление значений и пост-выбор (WVAP), и реализует алгоритм поиска, который (при успешном выборе поста) может найти целевое состояние за один прогон со сложной временной сложностью ${\displaystyle O(\log N)}$, опередив известные Алгоритм Гровера.

Критика

Критика слабых ценностей включает философскую и практическую критику. Некоторые известные исследователи, такие как Ашер Перес, Тони Леггетт, Дэвид Мермин, и Чарльз Х. Беннетт критически относятся и к слабым ценностям:

• Стивен Паррот ставит под сомнение значение и полезность слабых измерений, как описано выше.[2]
• Соколовский^{[требуется разъяснение ][21]}

дальнейшее чтение

• Зея Мерали (апрель 2010 г.). «Назад из будущего». Обнаружить. Серия квантовых экспериментов показывает, что измерения, выполненные в будущем, могут влиять на настоящее.
• «Сначала квантовая физика: исследователи наблюдают одиночные фотоны в эксперименте с двухщелевым интерферометром». Phys.org. 2 июня 2011 г.
• Адриан Чо (5 августа 2011 г.). «Скрытый подход сдвигает границы квантовой неопределенности». Наука. 333 (6043): 690–693. Bibcode:2011Sci ... 333..690C. Дои:10.1126 / science.333.6043.690. PMID  21817029.

Рекомендации

1. Якир Ааронов; Дэвид З. Альберт; Лев Вайдман (1988). «Как результат измерения компоненты спина частицы со спином 1/2 может оказаться равным 100». Письма с физическими проверками. 60 (14): 1351–1354. Bibcode:1988ПхРвЛ..60.1351А. Дои:10.1103 / PhysRevLett.60.1351. PMID  10038016.
2. Abbott, Alastair A .; Сильва, Ральф; Векс, Джулиан; Бруннер, Николас; Брансьяр, Кирилл (2019). «Аномально слабые значения без пост-отбора». Квантовая. 3: 194. arXiv:1805.09364. Дои:10.22331 / кв-2019-10-14-194.
3. Нирала, Гаурав; Саху, Сурья Нараян; Пати, Арун К .; Синха, Урбаси (13 февраля 2019). "Измерение среднего неэрмитова оператора со слабым значением в интерферометре Маха-Цендера". Физический обзор A. 99 (2): 022111. arXiv:1807.09014. Bibcode:2019PhRvA..99b2111N. Дои:10.1103 / PhysRevA.99.022111. ISSN  2469-9926.
4. А. Г. Кофман; С. Ашхаб; Ф. Нори (2012). «Непертурбативная теория слабых до- и пост-селективных измерений». Отчеты по физике. 520 (1): 43–133. arXiv:1109.6315. Bibcode:2012ФР ... 520 ... 43К. Дои:10.1016 / j.physrep.2012.07.001.
5. Боаз Тамир; Элиаху Коэн (2013). «Введение в слабые измерения и слабые значения». Quanta. 2 (1): 7–17. Дои:10.12743 / Quanta.v2i1.14.
6. Бенгт Е. Ю. Свенссон (2013). «Педагогический обзор теории квантовых измерений с упором на слабые измерения». Quanta. 2 (1): 18–49. arXiv:1202.5148. Дои:10.12743 / Quanta.v2i1.12.
7. Дж. Дрессел; М. Малик; Ф. М. Миатто; А. Н. Джордан; Р. В. Бойд (2014). «Коллоквиум: понимание квантовых слабых ценностей: основы и приложения». Обзоры современной физики. 86 (1): 307–316. arXiv:1305.7154. Bibcode:2014РвМП ... 86..307Д. Дои:10.1103 / RevModPhys.86.307.
8. Дак, И. М .; Стивенсон, П. М .; Сударшан, Э.С.Г. (1989). «В том смысле, в котором« слабое измерение »спиновой компоненты частицы со спином, равной половине {}, дает значение 100». Физический обзор D. 40 (6): 2112–2117. Bibcode:1989ПхРвД..40.2112Д. Дои:10.1103 / PhysRevD.40.2112. PMID  10012041.
9. Пол Буш (2009). Дж. Кристиан; В. Мирволд (ред.). «Нет информации без помех»: квантовые ограничения измерения. Серия университетов Западного Онтарио по философии науки. Приглашенный доклад: «Квантовая реальность, релятивистская причинность и замыкание эпистемологического круга: Международная конференция в честь Эбнера Шимони», Институт Периметра, Ватерлоо, Онтарио, Канада, 18–21 июля 2006 г. 73. Springer-Verlag. С. 229–256. arXiv:0706.3526. Дои:10.1007/978-1-4020-9107-0. ISBN  978-1-4020-9106-3. ISSN  1566-659X.
10. Асгер К. Ипсен (2015). «Нарушение слабых измерений и разница между квантовыми и классическими слабыми значениями». Физический обзор A. 91 (6): 062120. arXiv:1409.3538. Bibcode:2015PhRvA..91f2120I. Дои:10.1103 / PhysRevA.91.062120.
11. О. Хостен; П. Квиат (2008). «Наблюдение спинового эффекта Холла света с помощью слабых измерений». Наука. 319 (5864): 787–790. Bibcode:2008Sci ... 319..787H. Дои:10.1126 / science.1152697. PMID  18187623.
12. П. Бен Диксон; Дэвид Дж. Старлинг; Эндрю Н. Джордан; Джон К. Хауэлл (2009). «Сверхчувствительное измерение отклонения луча с помощью интерферометрического усиления слабого значения». Письма с физическими проверками. 102 (17): 173601. arXiv:0906.4828. Bibcode:2009PhRvL.102q3601D. Дои:10.1103 / PhysRevLett.102.173601. PMID  19518781.
13. Ландин Джефф С., Сазерленд Брэндон, Патель Обид, Стюарт Кори, Бамбер Чарльз (2011). «Прямое измерение квантовой волновой функции». Природа. 474 (7350): 188–191. arXiv:1112.3575. Дои:10.1038 / природа10120. PMID  21654800.
14. Дж. С. Лундин; А. М. Штейнберг (2009). "Экспериментальные совместные слабые измерения на фотонной паре как проба парадокса Харди". Письма с физическими проверками. 102 (2): 020404. arXiv:0810.4229. Bibcode:2009PhRvL.102b0404L. Дои:10.1103 / PhysRevLett.102.020404. PMID  19257252.
15. «Парадокс Харди подтвержден экспериментально». Институт теоретической физики Периметр. 2 июля 2009 г.. Получено 8 июня, 2013.
16. Ёкота К., Ямамото Т., Коаши М., Имото Н. (2009). «Прямое наблюдение парадокса Харди путем совместного слабого измерения с запутанной парой фотонов». Новый J. Phys. 11 (1): 033011. arXiv:0809.2224. Bibcode:2009NJPh ... 11a3011R. Дои:10.1088/1367-2630/11/1/013011.
17. Гхос Партха, Маджумдар А.С., Гухаб С., Сау Дж. (2001). «Бомовские траектории для фотонов» (PDF). Письма о физике A. 290 (5–6): 205–213. arXiv:Quant-ph / 0102071. Bibcode:2001ФЛА..290..205Г. Дои:10.1016 / s0375-9601 (01) 00677-6.
18. Саша Кочиш, Сильвен Равец, Борис Браверман, Кристер Шалм, Эфраим М. Стейнберг: Наблюдение траекторий одиночного фотона с использованием слабых измерений, 19-й Конгресс Австралийского института физики (AIP), 2010 г. [1]
19. Кочиш Сача, Браверман Борис, Равец Сильвен, Стивенс Мартин Дж., Мирин Ричард П., Шалм Л. Кристер, Стейнберг Эфраим М. (2011). "Наблюдение средних траекторий одиночных фотонов в двухщелевом интерферометре". Наука. 332 (6034): 1170–1173. Bibcode:2011Наука ... 332.1170K. Дои:10.1126 / science.1202218. PMID  21636767.
20. Пати, Арун Кумар (2019-11-04). «Алгоритм супер квантового поиска со слабым усилением значений и постселекцией». arXiv:1910.12390 [Quant-ph ].
21. Дмитрий Соколовский (2013). «Являются ли слабые измерения измерениями?». Quanta. 2 (1): 50–57. arXiv:1305.4809. Дои:10.12743 / Quanta.v2i1.15.