Слабое измерение - Weak measurement

В квантовая механика (и вычисление & Информация ), слабые измерения являются разновидностью квантовое измерение это приводит к тому, что наблюдатель получает в среднем очень мало информации о системе, но также очень мало влияет на состояние.^[1] Из теоремы Буша^[2] измерение обязательно нарушит работу системы. В литературе слабые измерения также известны как нечеткие,^[3] нечеткий,^[3][4] скучно, шумно,^[5] приблизительный и нежный^[6] измерения. Кроме того, слабые измерения часто путают с четким, но связанным понятием слабая ценность.^[7]

История

Впервые о слабых измерениях думали в контексте слабых непрерывных измерений квантовых систем.^[8] (т.е. квантовая фильтрация и квантовые траектории ). Физика непрерывных квантовых измерений заключается в следующем. Рассмотрите возможность использования вспомогательной службы, например а поле или Текущий, чтобы исследовать квантовую систему. Взаимодействие между системой и зондом коррелирует две системы. Обычно взаимодействие слабо коррелирует между системой и вспомогательной службой. (В частности, унитарность взаимодействия должна быть расширена только до первого или второго порядка в теории возмущений.) Измеряя вспомогательную, а затем используя теорию квантовых измерений, можно определить состояние системы, обусловленное результатами измерения. Чтобы получить надежное измерение, многие вспомогательные элементы необходимо соединить, а затем измерить. В пределах континуума вспомогательных функций процесс измерения становится непрерывным во времени. Впервые этот процесс описал: Менский;^[9][10] Белавкин;^[11][12] Барчелли, Ланц, Проспери;^[13] Барчелли;^[14] Пещеры;^[15][16] Пещеры и Milburn.^[17] Позже Говард Кармайкл ^[18] и Говард М. Уайзман^[19] также внес важный вклад в эту область.

Понятие слабого измерения часто ошибочно приписывают Ааронов, Альберт и Вайдман.^[7] В своей статье они рассматривают пример слабого измерения (и, возможно, используют фразу «слабое измерение») и используют его, чтобы мотивировать свое определение слабая ценность, которое они там определили впервые.

Математика

Общепринятого определения слабого измерения не существует. Один из подходов состоит в том, чтобы объявить слабое измерение обобщенным измерением, в котором некоторые или все Операторы Крауса близки к идентичности.^[20] Предлагаемый ниже подход заключается в слабом взаимодействии двух систем с последующим измерением одной из них.^[21] После подробного описания этого подхода мы проиллюстрируем его примерами.

Слабое взаимодействие и дополнительные измерения

Рассмотрим систему, которая начинается в квантовое состояние ${\displaystyle |\psi \rangle }$ и вспомогательная, которая начинается в состоянии ${\displaystyle |\phi \rangle }$, комбинированное начальное состояние ${\displaystyle |\Psi \rangle =|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle }$. Эти две системы взаимодействуют через Гамильтониан ${\displaystyle H=A\otimes B}$, который генерирует эволюцию во времени ${\displaystyle U(t)=\exp[-ixtH]}$ (в единицах, где ${\displaystyle \hbar =1}$), куда ${\displaystyle x}$ это «сила взаимодействия», имеющая обратные единицы времени. Предположим фиксированное время взаимодействия ${\displaystyle t=\Delta t}$ и это ${\displaystyle \lambda =x\Delta t}$ маленький, такой, что ${\displaystyle \lambda ^{3}\approx 0}$. Расширение серии ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle \lambda }$ дает

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=I\otimes I-i\lambda H-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}H^{2}+O(\lambda ^{3})\\&\approx I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}.\end{aligned}}}$

Поскольку в теории возмущений необходимо было разложить унитарную систему только до низкого порядка, мы называем это слабым взаимодействием. Кроме того, тот факт, что унитарность является преимущественно тождественным оператором, поскольку ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ малы, означает, что состояние после взаимодействия кардинально не отличается от исходного состояния. Комбинированное состояние системы после взаимодействия

${\displaystyle |\Psi '\rangle =\left(I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}\right)|\Psi \rangle .}$

Теперь мы выполняем измерение вспомогательной системы, чтобы узнать о системе, это известно как измерение, связанное с вспомогательной системой. Считаем замеры в основу ${\displaystyle |q\rangle }$ (в вспомогательной системе) такие, что ${\displaystyle \sum _{q}|q\rangle \langle q|=I}$. Действие измерений на обеих системах описывается действием проекторов. ${\displaystyle \Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|}$ о совместном государстве ${\displaystyle |\Psi '\rangle }$. Из квантовая теория измерения мы знаем условное состояние после измерения

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi _{q}\rangle &={\frac {\Pi _{q}|\Psi '\rangle }{\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}\\&={\frac {I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }{\mathcal {N}}}|\psi \rangle \otimes |q\rangle ,\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ - нормировочный коэффициент для волновой функции. Обратите внимание, что состояние вспомогательной системы записывает результат измерения. Предмет ${\displaystyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ является оператором в гильбертовом пространстве системы и называется Оператор Крауса.

По отношению к операторам Крауса состояние комбинированной системы после измерения

${\displaystyle |\Psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}}\otimes |q\rangle .}$

Объекты ${\displaystyle E_{q}=M_{q}^{\dagger }M_{q}}$ элементы того, что называется POVM и должен подчиняться ${\displaystyle \sum _{q}E_{q}=I}$ так что соответствующие вероятности в сумме равны единице: ${\displaystyle \sum _{q}\Pr(q|\psi )=\sum _{q}\langle \psi |E_{q}|\psi \rangle =1}$. Поскольку вспомогательная система больше не коррелирует с основной системой, она просто записывает результат измерения, мы можем след над ним. Это дает только условное состояние первичной системы:

${\displaystyle |\psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}},}$

которые мы по-прежнему обозначаем результатом измерения ${\displaystyle q}$. Действительно, эти соображения позволяют вывести квантовая траектория.

Примеры операторов Крауса

Мы будем использовать канонический пример гауссовских операторов Крауса, приведенный Барчелли, Ланцем, Проспери;^[13] и пещеры и Милберн.^[17] Брать ${\displaystyle H=x\otimes p}$, где положение и импульс обеих систем имеют обычные Каноническое коммутационное отношение ${\displaystyle [x,p]=i}$. Возьмите начальную волновую функцию вспомогательной функции, чтобы получить гауссово распределение

${\displaystyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/(4\sigma ^{2})]|q'\rangle .}$

Волновая функция положения вспомогательной службы равна

${\displaystyle \Phi (q)=\langle q|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-q^{2}/(4\sigma ^{2})].}$

Операторы Крауса (по сравнению с обсуждением выше мы полагаем ${\displaystyle \lambda =1}$)

${\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&=\langle q|\exp[-ix\otimes p]|\Phi \rangle \\&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-(q-x)^{2}/(4\sigma ^{2})],\end{aligned}}}$

а соответствующие элементы POVM

${\displaystyle {\begin{aligned}E(q)&=M_{q}^{\dagger }M_{q}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp[-(q-x)^{2}/(2\sigma ^{2})],\end{aligned}}}$

которые подчиняются ${\displaystyle \int dq\,E(q)=I}$. Альтернативное представление часто встречается в литературе. Используя спектральное представление оператора позиции ${\displaystyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$, мы можем написать

${\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(4\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|,\\E(q)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(2\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|.\end{aligned}}}$

Заметь ${\displaystyle \lim _{\sigma \to 0}E(q)=|x=q\rangle \langle x=q|}$.^[17] То есть в определенном смысле эти операторы ограничиваются строгим измерением положения; для других значений ${\displaystyle \sigma }$ мы называем измерение конечной прочности; и, как ${\displaystyle \sigma \to \infty }$, мы говорим, что измерение слабое.

Компромисс между получением информации и помехами

Как указано выше, теорема Буша^[2] препятствует бесплатному обеду: невозможно получить информацию без помех. Однако компромисс между получением информации и нарушением был охарактеризован многими авторами, включая Фукса и Перес;^[22] Fuchs;^[23] Фукс и Джейкобс;^[24] и Банашек.^[25]

Недавно соотношение компромисса между получением информации и помехами было исследовано в контексте так называемой «леммы о мягких измерениях».^[6][26]

Приложения

С самого начала было ясно, что основное использование слабых измерений будет заключаться в управлении с обратной связью или адаптивных измерениях квантовых систем. В самом деле, это мотивировало большую часть работ Белавкина, и явный пример был дан Кейвсом и Милбурном. Одним из первых применений адаптивных слабых измерений было Долинара приемник,^[27] что было реализовано экспериментально.^[28][29] Еще одно интересное применение слабых измерений - это использование слабых измерений, за которыми следует унитарное, возможно, обусловленное слабым результатом измерения, для синтеза других обобщенных измерений.^[20] Книга Уайзмана и Милберна^[21] является хорошим ориентиром для многих современных разработок.

Предлагаемое дальнейшее чтение

• Статья Бруна^[1]
• Статья Джейкобса и Стека^[30]
• Квантовая теория измерений и ее приложения, К. Джейкобс (Cambridge Press, 2014). ISBN  9781107025486
• Квантовые измерения и контроль, Х. М. Уайзман и Г. Дж. Милберн (Cambridge Press, 2009).^[21]
• Статья Тамира и Коэна^[31]

Рекомендации

1. Тодд Брун (2002). «Простая модель квантовых траекторий». Являюсь. J. Phys. 70 (7): 719–737. arXiv:Quant-ph / 0108132. Bibcode:2002AmJPh..70..719B. Дои:10.1119/1.1475328.
2. Пол Буш (2009). Дж. Кристиан; В. Мирвольд (ред.). «Нет информации без помех»: квантовые ограничения измерения. Серия университетов Западного Онтарио по философии науки. Приглашенный доклад: «Квантовая реальность, релятивистская причинность и замыкание эпистемологического круга: Международная конференция в честь Эбнера Шимони», Институт Периметра, Ватерлоо, Онтарио, Канада, 18–21 июля 2006 г. 73. Springer-Verlag, 2008. С. 229–256. arXiv:0706.3526. Дои:10.1007/978-1-4020-9107-0. ISBN  978-1-4020-9106-3. ISSN  1566-659X.
3. Стэн Гуддер (2005). Андрей Хренников; Ольга Нанасьева; Эндре Пап (ред.). «Невозмущение для нечетких квантовых измерений». Нечеткие множества и системы. Нечеткие множества и системы, том 155, выпуск 1, страницы 1-164 (1 октября 2005 г.) Меры и кондиционирование, Меры и кондиционирование. 155: 18–25. Дои:10.1016 / j.fss.2005.05.009.
4. Ашер Перес (1993). Квантовая теория, концепции и методы. Kluwer. п. 387. ISBN  978-0-7923-2549-9.
5. Коротков А.Н. (2009). Ю. В. Назаров (ред.). Квантовый шум в мезоскопической физике. Квантовый шум в мезоскопической физике. Springer Нидерланды. стр.205 –228. arXiv:cond-mat / 0209629. Дои:10.1007/978-94-010-0089-5_10. ISBN  978-1-4020-1240-2.
6. А. Винтер (1999). "Теорема кодирования и строгий обратный вариант для квантовых каналов". IEEE Trans. Инф. Теория. 45 (7): 2481–2485. arXiv:1409.2536. Дои:10.1109/18.796385.
7. Якир Ааронов; Дэвид З. Альберт и Лев Вайдман (1988). «Как результат измерения компоненты спина частицы со спином 1/2 может оказаться равным 100». Письма с физическими проверками. 60 (14): 1351–1354. Bibcode:1988ПхРвЛ..60.1351А. Дои:10.1103 / PhysRevLett.60.1351. PMID  10038016.
8. Торговый служащий; М. Деворет; С. Гирвин; Ф. Марквардт; Р. Шелькопф (2010). «Введение в квантовый шум, измерение и усиление». Ред. Мод. Phys. 82 (2): 1155–1208. arXiv:0810.4729. Bibcode:2010RvMP ... 82.1155C. Дои:10.1103 / RevModPhys.82.1155.
9. М. Б. Менский (1979). «Квантовые ограничения для непрерывного наблюдения осциллятора». Phys. Ред. D. 20 (2): 384–387. Bibcode:1979ПхРвД..20..384М. Дои:10.1103 / PhysRevD.20.384.
10. М. Б. Менский (1979). «Квантовые ограничения на измерение параметров движения макроскопического осциллятора». Журнал экспериментальной и теоретической физики.. 77 (4): 1326–1339.
11. Белавкин В.П. (1980). «Квантовая фильтрация марковских сигналов с белым квантовым шумом». Радиотехника и Электроника. 25: 1445–1453.
12. Белавкин В.П. (1992). «Квантовые континуальные измерения и апостериорный коллапс на CCR». Commun. Математика. Phys. 146 (3): 611–635. arXiv:math-ph / 0512070. Bibcode:1992CMaPh.146..611B. Дои:10.1007 / bf02097018.
13. А. Барчелли; Л. Ланц; Г. М. Проспери (1982). «Модель для макроскопического описания и непрерывных наблюдений в квантовой механике». Il Nuovo Cimento B. 72 (1): 79–121. Bibcode:1982NCimB..72 ... 79B. Дои:10.1007 / BF02894935.
14. А. Барчелли (1986). «Теория измерений и стохастические дифференциальные уравнения в квантовой механике». Phys. Ред. А. 34 (3): 1642–1649. Bibcode:1986ПхРвА..34.1642Б. Дои:10.1103 / PhysRevA.34.1642.
15. Карлтон М. Кейвс (1986). «Квантовая механика измерений, распределенных во времени. Формулировка интеграла по путям». Phys. Ред. D. 33 (6): 1643–1665. Bibcode:1986ПхРвД..33.1643С. Дои:10.1103 / PhysRevD.33.1643.
16. Карлтон М. Кейвс (1987). «Квантовая механика измерений, распределенных во времени. II. Связь между формулировками». Phys. Ред. D. 35 (6): 1815–1830. Bibcode:1987ПхРвД..35.1815С. Дои:10.1103 / PhysRevD.35.1815.
17. Карлтон М. Кейвс; Г. Дж. Милберн (1987). «Квантово-механическая модель для непрерывных измерений положения» (PDF). Phys. Ред. А. 36 (12): 5543–5555. Bibcode:1987PhRvA..36.5543C. Дои:10.1103 / PhysRevA.36.5543.
18. Кармайкл, Ховард (1993). Открытый системный подход к квантовой оптике, конспект лекций по физике. Springer.
19. Тезис Уайзмана
20. О. Орешков; Т. А. Брун (2005). «Слабые измерения универсальны». Phys. Rev. Lett. 95 (11): 110409. arXiv:Quant-ph / 0503017. Bibcode:2005PhRvL..95k0409O. Дои:10.1103 / PhysRevLett.95.110409.
21. Wiseman, Howard M .; Милберн, Джерард Дж. (2009). Квантовые измерения и контроль. Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр.460. ISBN  978-0-521-80442-4.
22. К. А. Фукс; А. Перес (1996). «Квантовое состояние возмущения против получения информации: отношения неопределенности для квантовой информации». Phys. Ред. А. 53 (4): 2038–2045. arXiv:Quant-ph / 9512023. Bibcode:1996PhRvA..53.2038F. Дои:10.1103 / PhysRevA.53.2038. PMID  9913105.
23. К. А. Фукс (1996). "Получение информации против нарушения состояния в квантовой теории". arXiv:Quant-ph / 9611010. Bibcode:1996quant.ph.11010F.
24. К. А. Фукс; К. А. Джейкобс (2001). «Информационно-компромиссные отношения для квантовых измерений конечной силы». Phys. Ред. А. 63 (6): 062305. arXiv:Quant-ph / 0009101. Bibcode:2001ПхРвА..63ф2305Ф. Дои:10.1103 / PhysRevA.63.062305.
25. К. Банашек (2006). «Квантовое состояние возмущения против получения информации: отношения неопределенности для квантовой информации». Откройте Syst. Инф. Dyn. 13: 1–16. arXiv:Quant-ph / 0006062. Дои:10.1007 / s11080-006-7263-8.
26. Т. Огава; Х. Нагаока (1999). «Новое доказательство теоремы о канальном кодировании с помощью проверки гипотез в квантовой теории информации». IEEE Trans. Инф. Теория. 45 (7): 2486–2489. arXiv:Quant-ph / 0208139. Bibcode:2002квант.ч..8139O. Дои:10.1109/18.796386.
27. С. Дж. Долинар (1973). «Оптимальный приемник для двоичного квантового канала когерентного состояния». MIT Res. Лаборатория. Электрон. Кварта. Прогр. Представитель. 111: 115–120.
28. Р. Л. Кук; П. Дж. Мартин; Дж. М. Геремия (2007). «Оптическая когерентная дискриминация состояний с использованием квантового измерения с обратной связью». Природа. 446 (11): 774–777. Bibcode:2007Натура 446..774C. Дои:10.1038 / природа05655. PMID  17429395.
29. Ф. Э. Бесерра; J. Fan; Г. Баумгартнер; Дж. Голдхар; J. T. Kosloski; А. Мигдалл (2013). «Экспериментальная демонстрация приемника, превышающего стандартный квантовый предел для множественной дискриминации неортогональных состояний». Природа Фотоника. 7 (11): 147–152. Bibcode:2013НаФо ... 7..147Б. Дои:10.1038 / nphoton.2012.316.
30. К. Джейкобс; Д. А. Штек (2006). «Прямое введение в непрерывное квантовое измерение». Современная физика. 47 (5): 279–303. arXiv:Quant-ph / 0611067. Bibcode:2006ConPh..47..279J. Дои:10.1080/00107510601101934.
31. Боаз Тамир; Элиаху Коэн (2013). «Введение в слабые измерения и слабые значения». Quanta. 2 (1): 7–17. Дои:10.12743 / Quanta.v2i1.14.