Лемма Вейльса (уравнение Лапласа) - Weyls lemma (Laplace equation) - Wikipedia

В математика, Лемма Вейля, названный в честь Герман Вейль, заявляет, что каждый слабое решение из Уравнение Лапласа это гладкий решение. Это контрастирует с волновое уравнение, например, у которого есть слабые решения, которые не являются гладкими решениями. Лемма Вейля является частным случаем эллиптический или же гипоэллиптическая закономерность.

Утверждение леммы

Позволять быть открытое подмножество из -мерное евклидово пространство , и разреши обозначить обычный Оператор Лапласа. Лемма Вейля[1] заявляет, что если локально интегрируемый функция является слабым решением уравнения Лапласа в том смысле, что

для каждого гладкий функция тестирования с компактная опора, затем (до переопределения на множестве измерять ноль ) гладко и удовлетворяет точечно в .

Из этого результата следует внутренняя регулярность гармонических функций в , но это ничего не говорит об их регулярности на границе .

Идея доказательства

Чтобы доказать лемму Вейля, сворачивает функция с соответствующим успокаивающее средство и показывает, что смягчение удовлетворяет уравнению Лапласа, из которого следует, что имеет свойство среднего значения. Принимая предел как и используя свойства успокаивающих средств, обнаруживаем, что также имеет свойство среднего значения, что означает, что это гладкое решение уравнения Лапласа.[2] Альтернативные доказательства используют гладкость фундаментального решения лапласиана или подходящие априорные эллиптические оценки.

Обобщение на распределения

В общем, тот же результат сохраняется для каждого дистрибутивное решение уравнения Лапласа: Если удовлетворяет для каждого , тогда - регулярное распределение, связанное с гладким решением уравнения Лапласа.[3]

Связь с гипоэллиптичностью

Лемма Вейля следует из более общих результатов о свойствах регулярности эллиптических или гипоэллиптических операторов.[4] Линейный оператор в частных производных с гладкими коэффициентами гипоэллиптична, если исключительная поддержка из равна сингулярному носителю для каждого распределения . Оператор Лапласа гипоэллиптичен, поэтому если , то особый носитель пусто, так как особый носитель пусто, что означает, что . Фактически, поскольку лапласиан эллиптический, верен более сильный результат, и решения находятся аналитический.

Примечания

  1. ^ Герман Вейль, Метод ортогональных проекций в теории потенциала. Duke Math. Дж.1940. Т. 7. С. 411–444. См. Лемму 2, с. 415
  2. ^ Бернар Дакорогна, Введение в вариационное исчисление, 2-е изд., Imperial College Press (2009), стр. 148.
  3. ^ Ларс Гординг, Некоторые моменты анализа и их история, AMS (1997), стр. 66.
  4. ^ Ларс Хёрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I, 2-е изд., Springer-Verlag (1990), с.110

Рекомендации

  • Гилбарг, Дэвид; Нил С. Трудингер (1988). Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.. Springer. ISBN  3-540-41160-7.
  • Штейн, Элиас (2005). Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовы пространства. Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-11386-6.