Теория колеса - Wheel theory

А рулевое колесо это тип алгебра, в смысле универсальной алгебры, где деление всегда определяется. Особенно, деление на ноль имеет смысл. В действительные числа может быть расширен до колеса, как и любой коммутативное кольцо.

Период, термин рулевое колесо навеян топологической картиной ${ displaystyle odot}$ из проективная линия вместе с дополнительным баллом ${ displaystyle bot = 0/0}$ .^[1]

Определение

Колесо - это алгебраическая структура ${ Displaystyle (W, 0,1, +, cdot, /)}$ , в котором

${ displaystyle W}$ это набор,
${ displaystyle 0}$ и ${ displaystyle 1}$ элементы этого множества,
${ displaystyle +}$ и ${ displaystyle cdot}$ бинарные операторы,
${ displaystyle /}$ - унарный оператор,

и удовлетворяющие следующему:

Сложение и умножение коммутативный и ассоциативный, с участием ${ displaystyle 0}$ и ${ displaystyle 1}$ как их соответствующие идентичности.
${ Displaystyle // х = х}$ (/ является инволюция )
${ Displaystyle / (ху) = / у / х}$ (/ является мультипликативный )
${ displaystyle xz + yz = (x + y) z + 0z}$
${ displaystyle (x + yz) / y = x / y + z + 0y}$
${ displaystyle 0 cdot 0 = 0}$
${ displaystyle (x + 0y) z = xz + 0y}$
${ displaystyle / (x + 0y) = / x + 0y}$
${ Displaystyle 0/0 + х = 0/0}$

Алгебра колес

Колеса заменяют обычное деление как бинарный оператор с умножением, с унарный оператор применительно к одному аргументу ${ displaystyle / x}$ похож (но не идентичен) мультипликативный обратный ${ displaystyle x ^ {- 1}}$ , так что ${ displaystyle a / b}$ становится сокращением для ${ Displaystyle а cdot / b = / b cdot a}$ , и изменяет правила алгебра такой, что

${ displaystyle 0x neq 0}$ в общем случае
${ Displaystyle х-х neq 0}$ в общем случае
${ Displaystyle х / х neq 1}$ в общем случае, поскольку ${ displaystyle / x}$ не то же самое, что мультипликативный обратный из ${ displaystyle x}$ .

Если есть элемент ${ displaystyle a}$ такой, что ${ displaystyle 1 + a = 0}$ , то мы можем определить отрицание как ${ displaystyle -x = ax}$ и ${ Displaystyle х-у = х + (- у)}$ .

Другие личности, которые могут быть получены, следующие:

${ displaystyle 0x + 0y = 0xy}$
${ Displaystyle х-х = 0x ^ {2}}$
${ displaystyle x / x = 1 + 0x / x}$

И для ${ displaystyle x}$ с участием ${ displaystyle 0x = 0}$ и ${ displaystyle 0 / x = 0}$ , получаем обычный

${ displaystyle x-x = 0}$
${ Displaystyle х / х = 1}$

Если отрицание можно определить, как указано выше, тогда подмножество ${ Displaystyle {х середина 0x = 0 }}$ это коммутативное кольцо, и каждое коммутативное кольцо является таким подмножеством колеса. Если ${ displaystyle x}$ является обратимый элемент коммутативного кольца, то ${ Displaystyle х ^ {- 1} = / х}$ . Таким образом, всякий раз, когда ${ displaystyle x ^ {- 1}}$ имеет смысл, он равен ${ displaystyle / x}$ , но последнее всегда определяется, даже если ${ displaystyle x = 0}$ .

Примеры

Колесо фракций

Позволять ${ displaystyle A}$ коммутативное кольцо, и пусть ${ displaystyle S}$ быть мультипликативным субмоноид из ${ displaystyle A}$ . Определить отношение конгруэнтности ${ displaystyle sim _ {S}}$ на ${ Displaystyle А раз А}$ через

{ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) sim _ {S} (y_ {1}, y_ {2})}

означает, что существует

{ displaystyle s_ {x}, s_ {y} in S}

такой, что

{ displaystyle (s_ {x} x_ {1}, s_ {x} x_ {2}) = (s_ {y} y_ {1}, s_ {y} y_ {2})}

.

Определить колесо фракций из ${ displaystyle A}$ относительно ${ displaystyle S}$ как частное ${ Displaystyle А раз А ~ / sim _ {S}}$ (и обозначая класс эквивалентности содержащий ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$ так как ${ Displaystyle [х_ {1}, х_ {2}]}$ ) с операциями

{ displaystyle 0 = [0_ {A}, 1_ {A}]}

(аддитивная идентичность)

{ displaystyle 1 = [1_ {A}, 1_ {A}]}

(мультипликативная идентичность)

{ displaystyle / [x_ {1}, x_ {2}] = [x_ {2}, x_ {1}]}

(обратная операция)

{ displaystyle [x_ {1}, x_ {2}] + [y_ {1}, y_ {2}] = [x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}, x_ {2} г_ {2}]}

(операция сложения)

{ Displaystyle [x_ {1}, x_ {2}] cdot [y_ {1}, y_ {2}] = [x_ {1} y_ {1}, x_ {2} y_ {2}]}

(операция умножения)

Проективная прямая и сфера Римана

Частный случай вышеизложенного, начиная с поле производит проективная линия расширен до колеса путем присоединения элемента ${ displaystyle bot}$ , где ${ Displaystyle 0/0 = бот}$ . Проективная линия сама по себе является продолжением исходного поля элементом ${ displaystyle infty}$ , где ${ Displaystyle Z / 0 = infty}$ для любого элемента ${ Displaystyle г neq 0}$ в поле. Однако, ${ displaystyle 0/0}$ все еще не определен на проективной линии, но определен в его продолжении до колеса.

Начиная с действительные числа, соответствующая проективная «линия» геометрически представляет собой окружность, а затем лишняя точка ${ displaystyle 0/0}$ дает форму, которая является источником термина «колесо». Или начиная с сложные числа вместо этого соответствующая проективная «линия» представляет собой сферу ( Сфера Римана ), а затем дополнительная точка дает трехмерную версию колеса.

Цитаты

^ Карлстрём 2004.

использованная литература

Сетцер, Антон (1997), Колеса (PDF) (черновик)
Карлстрем, Джеспер (2004), «Колеса - деление на ноль», Математические структуры в компьютерных науках, Издательство Кембриджского университета, 14 (1): 143–184, Дои:10.1017 / S0960129503004110 (также доступно в Интернете Вот ).
A, BergstraJ; V, TuckerJ (1 апреля 2007 г.). «Рациональные числа как абстрактный тип данных». Журнал ACM. Дои:10.1145/1219092.1219095.
Бергстра, Ян А .; Понс, Албан (2015). "Деление нуля на обыкновенных лугах". Программное обеспечение, услуги и системы: эссе, посвященные Мартину Вирсингу по случаю его ухода с кафедры программирования и разработки программного обеспечения. Издательство Springer International: 46–61. Дои:10.1007/978-3-319-15545-6_6.

[FOOTNOTECarlström2004-1] Карлстрём 2004.

[1]