Лемма Уайтхеда - Whiteheads lemma - Wikipedia

По поводу леммы об алгебрах Ли см. Лемма Уайтхеда (алгебры Ли).

Лемма Уайтхеда технический результат в абстрактная алгебра используется в алгебраическая K-теория. В нем говорится, что матрица формы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u&0\\0&u^{-1}\end{bmatrix}}}$

эквивалентен единичная матрица к элементарные преобразования (то есть трансвекций):

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u&0\\0&u^{-1}\end{bmatrix}}=e_{21}(u^{-1})e_{12}(1-u)e_{21}(-1)e_{12}(1-u^{-1}).}$

Здесь, ${\displaystyle e_{ij}(s)}$ указывает матрицу, диагональный блок которой ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle ij^{th}}$ запись ${\displaystyle s}$.

Название «лемма Уайтхеда» также относится к тесно связанному результату, что производная группа из стабильная общая линейная группа группа, порожденная элементарные матрицы.^[1][2] В символах

${\displaystyle \operatorname {E} (A)=[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$.

Это верно для стабильной группы ( прямой предел матриц конечного размера) над любым кольцом, но не для нестабильных групп, вообще говоря, над полем. Например, для

${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

надо:

${\displaystyle \operatorname {Alt} (3)\cong [\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ),\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )]<\operatorname {E} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \operatorname {Sym} (3),}$

где Alt (3) и Sym (3) обозначают чередование соотв. симметричная группа на 3 буквы.

Смотрите также

• Специальная линейная группа # Связь с другими подгруппами GL (n, A)

Рекомендации

1. Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую K-теорию. Анналы математических исследований. 72. Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press. Раздел 3.1. МИСТЕР  0349811. Zbl  0237.18005.
2. Снайт, В. П. (1994). Явная индукция Брауэра: с приложениями к алгебре и теории чисел. Кембриджские исследования в области высшей математики. 40. Издательство Кембриджского университета. п.164. ISBN  0-521-46015-8. Zbl  0991.20005.