Проблема Ямабе - Yamabe problem

В Проблема Ямабе относится к гипотезе в математической области дифференциальная геометрия, которая была разрешена в 1980-х гг. Это заявление о скалярная кривизна из Римановы многообразия:

Позволять $(M, грамм)$ - гладкое замкнутое риманово многообразие. Тогда существует положительная и гладкая функция $ж$ на $M$ такая, что риманова метрика $фг$ имеет постоянную скалярную кривизну.

Вычислив формулу того, как скалярная кривизна $фг$ относится к $грамм$ , это утверждение можно перефразировать в следующей форме:

Позволять $(M, грамм)$ - гладкое замкнутое риманово многообразие. Тогда существует положительная и гладкая функция $φ$ на $M$ , и число $c$ , так что
${displaystyle {frac {4 (n-1)} {n-2}} Delta ^ {g} varphi + R ^ {g} varphi + cvarphi ^ {(n + 2) / (n-2)} = 0. }$
Здесь $п$ обозначает размер $M$ , $р грамм$ обозначает скалярную кривизну $грамм$ , и $∆ грамм$ обозначает оператор Лапласа-Бельтрами $грамм$ .

Математик Хидехико Ямабе, в газете Ямабе (1960), представил приведенные выше утверждения как теоремы и представил доказательство; тем не мение, Трудингер (1968) обнаружил ошибку в своем доказательстве. Проблема понимания того, являются ли приведенные выше утверждения верными или ложными, стала известна как проблема Ямабе. Совместная работа Ямабе, Трудингера, Тьерри Обен, и Ричард Шон положительно разрешил проблему в 1984 году.

Сейчас это считается классической проблемой в геометрический анализ, доказательство которого требует новых методов в области дифференциальной геометрии и уравнения в частных производных. Решающим моментом в окончательном решении проблемы Шоном было применение теорема положительной энергии из общая теория относительности, который представляет собой чисто дифференциально-геометрическую математическую теорему, впервые доказанную (в предварительном порядке) в 1979 году Шоном и Шинг-Тунг Яу.

Работы были выполнены недавно из-за Саймон Брендл, Маркус Хури, Фернандо Кода Маркес, и Шен, имея дело с набором всех положительных и гладких функций $ж$ такое, что для данного риманова многообразия $(M, грамм)$ , метрика $фг$ имеет постоянную скалярную кривизну. Кроме того, проблема Ямабе, поставленная в аналогичных условиях, например, для полных некомпактных римановых многообразий, еще полностью не понята.

Проблема Ямабе в частных случаях

Здесь мы имеем в виду «решение проблемы Ямабе» на римановом многообразии ${displaystyle (M, {overline {g}})}$ как риманову метрику $грамм$ на $M$ для которого существует положительная гладкая функция ${displaystyle varphi: M o mathbb {R},}$ с ${displaystyle g = varphi ^ {- 2} {overline {g}}.}$

На замкнутом многообразии Эйнштейна

Позволять ${displaystyle (M, {overline {g}})}$ - гладкое риманово многообразие. Рассмотрим положительную гладкую функцию ${displaystyle varphi: M o mathbb {R},}$ так что ${displaystyle g = varphi ^ {- 2} {overline {g}}}$ - произвольный элемент гладкого конформного класса ${displaystyle {overline {g}}.}$ Стандартное вычисление показывает

{displaystyle {overline {R}} _ {ij} - {frac {1} {n}} {overline {R}} {overline {g}} _ {ij} = R_ {ij} - {frac {1} { n}} Rg_ {ij} + {frac {n-2} {varphi}} {Big (} abla _ {i} abla _ {j} varphi + {frac {1} {n}} g_ {ij} Delta varphi {Большой )}.}

Принимая $грамм$ -внутренний продукт с ${displaystyle extstyle varphi (имя оператора {Ric} - {frac {1} {n}} Rg)}$ приводит к

{displaystyle varphi leftlangle {overline {operatorname {Ric}}} - {frac {1} {n}} {overline {R}} {overline {g}}, operatorname {Ric} - {frac {1} {n}} Rgightangle _ {g} = varphi {Big |} имя оператора {Ric} - {frac {1} {n}} Rg {Big |} _ {g} ^ {2} + (n-2) {Big (} {ig langle} имя оператора {Ric}, имя оператора {Hess} varphi {ig angle} _ {g} - {frac {1} {n}} RDelta varphi {Big)}.}

Если ${displaystyle {overline {g}}}$ считается Эйнштейном, то левая часть обращается в нуль. Если ${displaystyle M}$ считается замкнутым, то можно выполнить интегрирование по частям, вспоминая тождество Бианки ${displaystyle extstyle operatorname {div} operatorname {Ric} = {frac {1} {2}} abla R,}$ чтобы увидеть

{displaystyle int _ {M} varphi {Big |} operatorname {Ric} - {frac {1} {n}} Rg {Big |} ^ {2}, dmu _ {g} = (n-2) {Big ( } {frac {1} {2}} - {frac {1} {n}} {Big)} int _ {M} langle abla R, abla varphi angle, dmu _ {g}.}

Если $р$ имеет постоянную скалярную кривизну, то правая часть обращается в нуль. Последующее обращение в нуль левой части доказывает следующий факт, сделанный Обатой (1971):

Каждое решение проблемы Ямабе на замкнутом многообразии Эйнштейна - это решение Эйнштейна.

На замкнутом многообразии постоянной кривизны

Позволять ${displaystyle (M, {overline {g}})}$ - замкнутое риманово многообразие постоянной кривизны. Позволять ${displaystyle extstyle varphi: M o mathbb {R}}$ - положительная гладкая функция, так что риманова метрика ${displaystyle varphi ^ {- 2} {overline {g}}}$ имеет постоянную скалярную кривизну. Как установлено выше, ${displaystyle varphi ^ {- 2} {overline {g}}}$ является метрикой Эйнштейна. Поскольку она конформна метрике с исчезающей кривизной Вейля, она сама имеет исчезающую кривизну Вейля. Посредством Разложение Вейля, следует, что предположения Лемма Шура для тензора Римана выполнены; вывод леммы Шура таков: ${displaystyle varphi ^ {- 2} {overline {g}}}$ имеет постоянную кривизну. В итоге:

Каждое решение проблемы Ямабе на замкнутом многообразии постоянной кривизны имеет постоянную кривизну.

В частном случае, когда ${displaystyle (M, {overline {g}})}$ это стандарт $п$ -сфера, следует, что каждое решение проблемы Ямабе имеет постоянную положительную кривизну, поскольку $п$ -сфера не поддерживает метрики неположительной кривизны; иначе возникло бы противоречие с Теорема Картана-Адамара. Поскольку любые две римановы метрики на сфере с одинаковой постоянной кривизной изометричны, можно заключить:

Позволять ${displaystyle {overline {g}}}$ обозначим стандартную риманову метрику на ${displaystyle S ^ {n}.}$ Каждое решение проблемы Ямабе на ${displaystyle (S ^ {n}, {overline {g}})}$ имеет форму ${displaystyle alpha Phi ^ {ast} {overline {g}}}$ для положительного числа ${displaystyle alpha}$ и диффеоморфизм ${displaystyle Phi: S ^ {n} o S ^ {n}}$ .

Некомпактный случай

Близким к этому вопросу является так называемая «некомпактная проблема Ямабе», которая спрашивает: правда ли, что на каждом гладком полном Риманово многообразие $(M, грамм)$ которое не является компактным, существует метрика, конформная грамм, имеет постоянную скалярную кривизну и тоже является полной? Ответ отрицательный из-за контрпримеров, приведенных Джин (1988). Известны различные дополнительные критерии, при помощи которых можно показать существование решения проблемы Ямабе для некомпактного многообразия (например, Авилс и Макоуэн (1988) ); Однако получение полного понимания того, когда проблема может быть решена в некомпактном случае, остается предметом исследования.

Проблема Ямабе - Yamabe problem

Содержание

Проблема Ямабе в частных случаях

На замкнутом многообразии Эйнштейна

На замкнутом многообразии постоянной кривизны

Некомпактный случай

Смотрите также

Рекомендации

Исследовательские статьи

Учебники