Этальная алгебра - Étale algebra

В коммутативная алгебра, эталь или же отделяемый алгебра - особый тип алгебры, изоморфный конечному произведению сепарабельных расширений.

Определения

Позволять быть поле и разреши быть -алгебра. потом называется эталь или же отделяемый если в качестве -алгебры, где является алгебраически замкнутый расширение и целое число (Бурбаки 1990 г., стр. A.V.28-30).

Эквивалентно, этальна, если она изоморфна конечному произведению сепарабельных расширений . Когда все эти расширения имеют конечную степень, как говорят конечная эталь; в этом случае можно заменить с конечным сепарабельным продолжением в определении выше.

Третье определение гласит, что этальная алгебра - это конечномерная коммутативная алгебра, форма следа которой (Икс,у) = Tr (ху) невырожден.

Название «этальная алгебра» происходит от того факта, что конечномерная коммутативная алгебра над полем этальна тогда и только тогда, когда является этальный морфизм.

Примеры

Рассмотрим -алгебра . Это etale, потому что это отделимое расширение поля.

Простой не пример дается поскольку .

Характеристики

Категория этальных алгебр над полем k эквивалентна категории конечных грамм-наборы (с непрерывным грамм-действие), где грамм это абсолютная группа Галуа из k. В частности, этальные алгебры размерности п классифицируются по классам сопряженности непрерывных гомоморфизмов от абсолютной группы Галуа до симметрической группы Sп.

Рекомендации

  • Бурбаки, Н. (1990), Алгебра. II. Главы 4–7., Элементы математики, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-19375-8, МИСТЕР  1080964
  • Милн, Джеймс, Теория поля http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf