Этальная алгебра - Étale algebra

Не путать с отделимая алгебра.

В коммутативная алгебра, эталь или же отделяемый алгебра - особый тип алгебры, изоморфный конечному произведению сепарабельных расширений.

Определения

Позволять ${\displaystyle K}$ быть поле и разреши ${\displaystyle L}$ быть ${\displaystyle K}$-алгебра. потом ${\displaystyle L}$ называется эталь или же отделяемый если ${\displaystyle L\otimes _{K}\Omega \simeq \Omega ^{n}}$ в качестве ${\displaystyle K}$-алгебры, где ${\displaystyle \Omega }$ является алгебраически замкнутый расширение ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle n\geq 0}$ целое число (Бурбаки 1990 г., стр. A.V.28-30).

Эквивалентно, ${\displaystyle L}$ этальна, если она изоморфна конечному произведению сепарабельных расширений ${\displaystyle K}$. Когда все эти расширения имеют конечную степень, ${\displaystyle L}$ как говорят конечная эталь; в этом случае можно заменить ${\displaystyle \Omega }$ с конечным сепарабельным продолжением ${\displaystyle K}$ в определении выше.

Третье определение гласит, что этальная алгебра - это конечномерная коммутативная алгебра, форма следа которой (Икс,у) = Tr (ху) невырожден.

Название «этальная алгебра» происходит от того факта, что конечномерная коммутативная алгебра над полем этальна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,L\to \mathrm {Spec} \,K}$ является этальный морфизм.

Примеры

Рассмотрим ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-алгебра ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$. Это etale, потому что это отделимое расширение поля.

Простой не пример дается ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2})}$ поскольку ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2})\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \cong \mathbb {C} [x]/(x^{2})}$.

Характеристики

Категория этальных алгебр над полем k эквивалентна категории конечных грамм-наборы (с непрерывным грамм-действие), где грамм это абсолютная группа Галуа из k. В частности, этальные алгебры размерности п классифицируются по классам сопряженности непрерывных гомоморфизмов от абсолютной группы Галуа до симметрической группы S_п.

Рекомендации

• Бурбаки, Н. (1990), Алгебра. II. Главы 4–7., Элементы математики, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-19375-8, МИСТЕР  1080964
• Милн, Джеймс, Теория поля http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf