Сепарабельная алгебра - Separable algebra

Не путать с этальная алгебра.

В математике отделимая алгебра это своего рода полупростая алгебра. Это обобщение ассоциативные алгебры понятия разделимое расширение поля.

Определение и первые свойства

А кольцевой гомоморфизм (единого, но не обязательно коммутативные кольца )

${\displaystyle K\to A}$

называется отделяемый (или отделяемое расширение), если отображение умножения

${\displaystyle \mu :A\otimes _{K}A\to A,a\otimes b\mapsto ab}$

признает раздел

${\displaystyle \sigma :A\to A\otimes _{K}A}$

с помощью гомоморфизма σ А-А-бимодули. Такое сечение σ определяется его величиной

${\displaystyle p:=\sigma (1)=\sum a_{i}\otimes b_{i}}$

σ (1). Условие того, что σ является сечением μ, эквивалентно

${\displaystyle \sum a_{i}b_{i}=1}$

и условие быть гомоморфизмом А-А-bimodules эквивалентно следующему требованию для любого а в А:

${\displaystyle \sum aa_{i}\otimes b_{i}=\sum a_{i}\otimes b_{i}a.}$

Такой элемент п называется идемпотентная отделимость, поскольку удовлетворяет ${\displaystyle p^{2}=p}$.

Примеры

Для любого коммутативного кольца р, (некоммутативное) кольцо п-к-п матрицы ${\displaystyle M_{n}(R)}$ отделимый р-алгебра. Для любого ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$, идемпотент отделимости задается формулой ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}e_{ij}\otimes e_{ji}}$, куда ${\displaystyle e_{ij}}$ обозначает элементарная матрица который равен 0, за исключением записи в позиции (я, j), что равно 1. В частности, это показывает, что идемпотенты отделимости не обязательно должны быть уникальными.

Сепарабельные алгебры над полем

Если ${\displaystyle \scriptstyle L/K}$ это расширение поля, тогда L отделима как ассоциативная K-алгебра тогда и только тогда, когда расширение полей отделяемый.Если L/K имеет примитивный элемент ${\displaystyle a}$ с неприводимым многочленом ${\displaystyle p(x)=(x-a)\sum _{i=0}^{n-1}b_{i}x^{i}}$, то идемпотент отделимости задается формулой ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}\otimes _{K}{\frac {b_{i}}{p'(a)}}}$. Тенсоранды являются двойной базой для карты трассировки: если ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}}$ отличные K-мономорфизмы L в алгебраическое замыкание Kотображение следа Tr L в K определяется ${\displaystyle Tr(x)=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(x)}$. Карта трассировки и ее двойные основания делают явным L как Алгебра Фробениуса над К.

В более общем смысле сепарабельные алгебры над полем K можно классифицировать следующим образом: они аналогичны конечным произведениям матричных алгебр над конечномерными алгебры с делением центры которых конечномерны разделимые расширения полей поля K. В частности: каждая сепарабельная алгебра конечномерна. Если K это идеальное поле --- например, поле нулевой характеристики, или конечное поле, или алгебраически замкнутое поле --- тогда каждое расширение K отделимо, так что отделимый K-алгебры - это конечные произведения матричных алгебр над конечномерными алгебрами с делением над полем K. Другими словами, если K является совершенным полем, сепарабельная алгебра над K и конечномерное полупростая алгебра над KОбобщенной теоремой Машке можно показать, что ассоциативная K-алгебра А отделимо, если для каждого расширение поля ${\displaystyle \scriptstyle L/K}$ алгебра ${\displaystyle \scriptstyle A\otimes _{K}L}$ полупростой.

Групповые кольца

Если K коммутативное кольцо и грамм конечная группа такая, что порядок из грамм обратима в K, то групповое кольцо K[грамм] является отделимым K-алгебра.^[1] Идемпотент отделимости задается формулой ${\displaystyle {\frac {1}{o(G)}}\sum _{g\in G}g\otimes g^{-1}}$.

Эквивалентные характеристики отделимости

Есть несколько эквивалентных определений сепарабельных алгебр. А K-алгебра А отделимо тогда и только тогда, когда оно проективный если рассматривать ее как левый модуль ${\displaystyle A^{e}}$ обычным способом.^[2] Более того, алгебра А отделимо тогда и только тогда, когда оно плоский когда рассматривается как правый модуль ${\displaystyle A^{e}}$ обычным способом. Отдельные пристройки также можно охарактеризовать с помощью раздельных приставок: А отделим над K я упал короткие точные последовательности из А-А-бимодули, разделенные на А-K-бимодули также разделяются на А-А-бимодули. Действительно, это условие необходимо, поскольку отображение умножения ${\displaystyle \mu :A\otimes _{K}A\rightarrow A}$ возникающий в приведенном выше определении, является А-А-бимодульный эпиморфизм, который расщепляется как А-K-бимодульное отображение правым обратным отображением ${\displaystyle A\rightarrow A\otimes _{K}A}$ данный ${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}$. Обратное можно доказать, разумно используя идемпотент отделимости (аналогично доказательству Теорема Машке, применяя его компоненты внутри и без карт разделения).^[3]

Эквивалентно относительный Когомологии Хохшильда группы ${\displaystyle H^{n}(R,S;M)}$ (R, S) в любом бимодуле коэффициентов M равен нулю для п > 0. Примеров сепарабельных расширений много, включая первые сепарабельные алгебры, где R = сепарабельная алгебра и S = ​​1, умноженное на основное поле. Любое кольцо R с элементами a и b, удовлетворяющими условию ab = 1, но ba, отличному от 1, является отделимым расширением над подкольцом S, порожденным 1 и bRa.

Связь с алгебрами Фробениуса

Сепарабельная алгебра называется сильно отделимый если существует идемпотент отделимости, симметричный, смысл

${\displaystyle e=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\otimes x_{i}}$

Алгебра сильно отделима тогда и только тогда, когда ее следовая форма невырождена, что превращает ее в особый вид алгебры. Алгебра Фробениуса называется симметричной алгеброй (не путать с симметрическая алгебра возникает как частное от тензорная алгебра ).

Если K коммутативен, А это конечно порожденный проективный отделяемый K-модуль, затем А является симметричной алгеброй Фробениуса.^[4]

Отношение к формально неразветвленным и формально этальным расширениям

Любое отделяемое расширение А / K коммутативных колец формально неразветвленный. Обратное верно, если А является конечно порожденным K-алгебра.^[5] Отделимый плоский (коммутативный) K-алгебра А является формально эталь.^[6]

Дальнейшие результаты

Теорема в этой области - это теорема Дж. Куадры о том, что сепарабельное расширение Хопфа – Галуа R | S имеет конечно порожденный естественный S-модуль R. Фундаментальный факт о сепарабельном расширении R | S состоит в том, что это левое или правое полупростое расширение: короткая точная последовательность левых или правых R-модулей, которая разбивается как S-модули, разбивается как R-модули. В терминах относительной гомологической алгебры Дж. Хохшильда говорят, что все R-модули являются относительными (R, S) -проективными. Обычно относительные свойства подкольц или расширений кольца, такие как понятие отделимого расширения, служат для продвижения теорем, в которых говорится, что надкольцо разделяет свойство подкольца. Например, сепарабельное расширение R полупростой алгебры S имеет R полупростое, что следует из предыдущего обсуждения.

Существует знаменитая теорема Янса о том, что конечная групповая алгебра A над полем характеристики p имеет тип конечного представления тогда и только тогда, когда ее силовская p-подгруппа является циклической: самое ясное доказательство - отметить этот факт для p-групп, а затем отметить, что групповая алгебра является сепарабельным расширением своей силовской p-подгрупповой алгебры B, поскольку индекс взаимно прост с характеристикой. Условие отделимости выше будет означать, что каждый конечно порожденный A-модуль M изоморфен прямому слагаемому в своем ограниченном индуцированном модуле. Но если B имеет конечный тип представления, ограниченный модуль однозначно представляет собой прямую сумму кратных конечного числа неразложимых, которые индуцируют конечное число составляющих неразложимых модулей, из которых M является прямой суммой. Следовательно, A имеет тип конечного представления, если B. Обратное доказывается аналогичным рассуждением, в котором отмечается, что любая подгрупповая алгебра B является B-бимодульным прямым слагаемым групповой алгебры A.

Рекомендации

1. Ford (2017 г., §4.2)
2. Райнер (2003), п. 102)
3. Форд, 2017 и теорема 4.4.1 Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFFord2017Theorem_4.4.1 (помощь)
4. Эндо и Ватанабэ (1967), Теорема 4.2). Если А коммутативно, доказательство проще, см. Кадисон (1999, Лемма 5.11)
5. Ford (2017 г., Следствие 4.7.2, теорема 8.3.6)
6. Ford (2017 г., Следствие 4.7.3)

• DeMeyer, F .; Ингрэм, Э. (1971). Сепарабельные алгебры над коммутативными кольцами. Конспект лекций по математике. 181. Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-05371-2. Zbl  0215.36602.
• Сэмюэл Эйленберг и Тадаси Накаяма, О размерности модулей и алгебр. II. Алгебры Фробениуса и квазифробениусовы кольца, Nagoya Math. J. Том 9 (1955), 1-16.
• Эндо, Шизуо; Ватанабэ, Ютака (1967), «О сепарабельных алгебрах над коммутативным кольцом», Осакский математический журнал, 4: 233–242, МИСТЕР  0227211

• Форд, Тимоти Дж. (2017), Сепарабельные алгебры, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  978-1-4704-3770-1, МИСТЕР  3618889
• Hirata, H .; Сугано, К. (1966), "О полупростых и сепарабельных расширениях некоммутативных колец", J. Math. Soc. Япония, 18: 360–373.

• Кадисон, Ларс (1999), Новые примеры расширений Фробениуса, Серия университетских лекций, 14, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, Дои:10.1090 / ulect / 014, ISBN  0-8218-1962-3, МИСТЕР  1690111

• Райнер, И. (2003), Максимальные заказы, Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, 28, Oxford University Press, ISBN  0-19-852673-3, Zbl  1024.16008
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру. Кембриджские исследования в области высшей математики. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4. МИСТЕР  1269324. OCLC  36131259.