Аффинная плоскость - Affine plane
В геометрия, аффинная плоскость является двумерным аффинное пространство.
Примеры
Типичные примеры аффинных плоскостей:
- Евклидовы самолеты, которые являются аффинными плоскостями над реалы, оборудованный метрика, то Евклидово расстояние. Другими словами, аффинная плоскость над вещественными числами - это евклидова плоскость, в которой «забыли» метрику (то есть не говорят ни о длинах, ни о мерах углов).
- Векторные пространства второго измерения, в котором нулевой вектор не считается отличным от других элементов
- Для каждого поле или же делительное кольцо F, набор F2 пар элементов F
- Результат удаления любой отдельной линии (и всех точек на этой линии) из любого проективная плоскость
Координаты и изоморфизм
Все аффинные плоскости, определенные над полем, являются изоморфный. Точнее, выбор аффинная система координат (или, в реальном случае, Декартова система координат ) для аффинной плоскости п над полем F индуцирует изоморфизм аффинных плоскостей между п и F2.
В более общей ситуации, когда аффинные плоскости не определены над полем, они, вообще говоря, не будут изоморфными. Две аффинные плоскости, возникающие из одного и того же недезаргова проективная плоскость по удалению разных линий может не быть изоморфным.
Определения
Есть два способа формально определить аффинные плоскости, которые эквивалентны аффинным плоскостям над полем. Первый состоит в определении аффинной плоскости как множества, на котором векторное пространство размерности два действует просто транзитивно. Интуитивно это означает, что аффинная плоскость - это векторное пространство размерности два, в котором «забыли», где находится начало координат. В геометрия падения, аффинная плоскость определяется как абстрактная система точек и линий, удовлетворяющая системе аксиом.
Приложения
В приложениях математики часто встречаются ситуации, когда вместо евклидовой плоскости используется аффинная плоскость без евклидовой метрики. Например, в график, которую можно нарисовать на бумаге и в которой положение частицы отложено во времени, евклидова метрика не подходит для ее интерпретации, поскольку расстояния между ее точками или меры углов между ее линиями, как правило, имеют , нет физической важности (в аффинной плоскости оси могут использовать разные единицы, которые не сопоставимы, и меры также различаются в зависимости от единиц и масштабов[1]).[2][3]
Источники
- Артин, Эмиль (1987), "II. Аффинная и проективная геометрия", Геометрическая алгебра, Interscience Publishers, ISBN 0-470-03432-7
- Блюменталь, Леонард М. (1980) [1961], «IV. Координаты на аффинной плоскости», Современный взгляд на геометрию, Дувр, ISBN 0-486-63962-2
- Gruenberg, K.W .; Уир, А.Дж. (1977), «II. Аффинная и проективная геометрия», Линейная геометрия (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90227-9
- Снаппер, Эрнст; Тройер, Роберт Дж. (1989) [1971], Метрическая аффинная геометрия, Дувр, ISBN 0-486-66108-3
- Йель, Пол Б. (1968), "Глава 5 Аффинные пространства", Геометрия и симметрия, Холден-Дэй
Рекомендации
- ^ Также книги Мандельброт, «Гауссовское самоаффинность и фракталы», г. Леви, «Основы геометрии и тригонометрии», и Яглом, "Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа".
- ^ Пол Бамберг; Шломо Штернберг (1991). Курс математики для студентов-физиков. 1. Издательство Кембриджского университета. С. 1–2. ISBN 978-0-521-40649-9.
- ^ Говард Леви (1975). Темы по геометрии. Издательство Р. Э. Кригера. п. 75. ISBN 978-0-88275-280-8.