Расстановки случайных точек - Alignments of random points

80 4-точечных выравниваний из 137 случайных точек

Совмещения случайных точек на плоскости может быть продемонстрировано статистика быть нелогично легко найти, когда большое количество случайный точки отмечены на ограниченной плоской поверхности. Это было выдвинуто как демонстрация того, что лей-линии и другие подобные таинственные совпадения, которые некоторые считают феноменами глубокой значимости, могут существовать исключительно благодаря случайности, в отличие от сверхъестественных или антропологических объяснений, выдвинутых их сторонниками. Тема также изучалась в области компьютерное зрение и астрономия.

В ряде исследований изучалась математика совмещения случайных точек на плоскости.^[1][2][3][4] Во всех этих случаях важна ширина линии - допустимое смещение положений точек от идеальной прямой линии. Это учитывает тот факт, что объекты реального мира не являются математическими точками, и что их положения не должны точно совпадать, чтобы их можно было рассматривать при выравнивании. Альфред Уоткинс в его классической работе о лей-линиях Старая прямая дорога, использовал ширину карандашной линии на карте в качестве порога допуска того, что можно рассматривать как выравнивание. Например, используя линию карандаша 1 мм, чтобы провести выравнивание на шкале 1:50 000 Обследование боеприпасов map, соответствующая ширина на местности будет 50 м.^[5]

Оценка вероятности случайных совпадений

Вопреки интуиции поиск совмещений между случайно расположенными точками на ландшафте становится все проще по мере увеличения географической области, которую следует учитывать. Один из способов понять это явление - увидеть, что увеличение числа возможных комбинации наборов точек в этой области подавляет уменьшение вероятности того, что любой заданный набор точек в этой области выровняется.

Одно из определений, выражающее общепринятое значение термина «согласование»:

Набор точек, выбранных из заданного набора ориентиров, все из которых лежат в пределах как минимум одного прямого пути заданной ширины.

Точнее путь шириной ш можно определить как совокупность всех точек на расстоянии с 2 из прямая линия в самолете или большой круг на сфере, или вообще любой геодезический на любом другом виде многообразие. Обратите внимание, что, как правило, любой заданный набор точек, которые выровнены таким образом, будет содержать большое количество бесконечно разных прямых путей. Следовательно, для определения того, является ли набор точек трассой, необходимо только наличие хотя бы одного прямого пути. По этой причине легче подсчитывать наборы точек, чем сами пути. Количество найденных трасс очень чувствительно к допустимой ширине. ш, увеличиваясь примерно пропорционально ш^k-2, куда k количество точек в трассе.

Ниже приводится очень приблизительная оценка по порядку величины вероятности совмещения в предположении, что плоскость покрыта равномерно распределенными «значимыми» точками.

Рассмотрим набор п точки на компактной площади с приблизительным диаметром L и площадь примерно L². Допустимая линия - это линия, каждая точка которой находится на расстоянии. ш/ 2 линии (то есть лежит на дорожке шириной ш, куда ш ≪ L).

Рассмотрим все неупорядоченные множества k очки от п точек, из которых:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}}$

(видеть факториал и биномиальный коэффициент для обозначений).

Чтобы сделать приблизительную оценку вероятности того, что любое данное подмножество k баллов примерно коллинеарен как определено выше, рассмотрим линию между двумя точками "крайний левый" и "крайний правый" в этом наборе (для некоторой произвольной левой / правой оси: мы можем выбрать верх и низ для исключительного вертикального случая). Эти две точки по определению находятся на этой линии. Для каждого из оставшихся k-2 балла, вероятность того, что точка находится «достаточно близко» к линии, составляет примерно ш/L, что можно увидеть, рассматривая соотношение площади зоны допуска линии (примерно wL) и общая площадь (примерно L²).

Итак, ожидаемое количество выравниваний по k-точкам, по этому определению, очень приблизительно:

${\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}\left({\frac {w}{L}}\right)^{k-2}}$

Среди прочего, это может быть использовано, чтобы показать, что, вопреки интуиции, количество k-точечных линий, ожидаемых по случайной случайности на плоскости, покрытой точками с заданной плотностью, для данной ширины линии увеличивается гораздо больше, чем линейно с увеличением размер рассматриваемой площади, так как комбинаторный взрыв Рост числа возможных комбинаций очков более чем компенсирует увеличение сложности построения любой данной комбинации.

Более точная оценка ожидаемого количества выравниваний

Более точное выражение для количества 3-точечных выравниваний максимальной ширины ш и максимальная длина d ожидаемый случайно среди п точки размещены случайным образом на квадрате стороны L является ^[2]

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{3}}{\frac {w}{L}}\left({\frac {d}{L}}\right)^{3}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}$

Если включены краевые эффекты (выравнивания, потерянные по границам квадрата), тогда выражение становится

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{3}}{\frac {w}{L}}\left({\frac {d}{L}}\right)^{3}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(1-{\frac {3}{\pi }}\left({\frac {d}{L}}\right)+{\frac {3}{5}}\left({\frac {4}{\pi }}-1\right)\left({\frac {d}{L}}\right)^{2}\right)}$

Обобщение на k-точечное выравнивание (без учета краевых эффектов)^[3]

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\cdots \left(n-\left(k-1\right)\right)}{k\left(k-2\right)!}}\left({\frac {w}{L}}\right)^{k-2}\left({\frac {d}{L}}\right)^{k}}$

которая имеет примерно такие же свойства асимптотического масштабирования, что и грубое приближение из предыдущего раздела, с комбинаторным взрывом для больших п подавляющее влияние других переменных.

Компьютерное моделирование центровок

607 4-точечных выравниваний из 269 случайных точек

Компьютерное моделирование показывают, что точки на плоскости имеют тенденцию формировать выравнивания, подобные тем, которые находят лей-охотники, в количестве, согласующемся с оценками порядка величины выше, предполагая, что лей-линии также могут образовываться случайно. Это явление происходит независимо от того, генерируются ли точки псевдослучайно компьютером или из наборов данных обыденных функций, таких как пиццерия или телефонные будки.

Легко найти выравнивания от 4 до 8 точек в относительно небольших наборах данных с помощью ш = 50 м. Выбор больших площадей или больших значений ш позволяет легко найти выравнивания по 20 и более точкам.

Смотрите также

• Апофения
• Иллюзия кластеризации
• Совпадение
• Комбинаторный взрыв
• Полная пространственная случайность
• Общая позиция
• лей-линии
• Распознавание образов
• Прокрустовый анализ
• Теория Рамсея, за интересное и важное понятие "неизбежных совпадений"
• Статистический анализ формы
• Старая прямая дорога

Рекомендации

1. «Выравнивания в двумерных случайных наборах точек» Дэвид Г. Кендалл и Уилфрид С. КендаллДостижения в прикладной теории вероятностейVol. 12, No. 2 (июнь 1980 г.), стр. 380-424 Опубликовал: Applied Probability Trust URL-адрес статьи: https://www.jstor.org/stable/1426603
2. Эдмундс, М. И Джордж, Г.Х., Случайное расположение квазаров, Природа, т. 290, стр. 481-483, 1981 г., 9 апреля.
3. Джордж, Г. Х (2003-08-03). «Кандидатская диссертация Глина Джорджа: выравнивание и кластеризация квазаров». Получено 2017-02-17.
4. Хосе Лезама; Рафаэль Громпоне фон Джой; Жан-Мишель Морель; Грегори Рэндалл. «Обнаружение совмещения точек» (PDF). Получено 2014-05-08.
5. Уоткинс, Альфред (1988). Старый прямой путь: насыпи, маяки, рвы, места и камни-метки. Счеты. ISBN  9780349137070.