Прокрустовый анализ - Procrustes analysis

Наложение прокруста. На рисунке показаны три этапа преобразования обычного Прокруста, подходящего для двух конфигураций ориентиров. а) масштабирование обеих конфигураций до одинакового размера; b) перенос в то же положение центра тяжести; (c) Вращение до ориентации, которая обеспечивает минимальную сумму квадратов расстояний между соответствующими ориентирами.

В статистика, Прокрустовый анализ это форма статистический анализ формы используется для анализа распределения набора формы. Название Procrustes (Греческий: Προκρούστης) относится к бандиту из греческой мифологии, который заставлял своих жертв умещаться в его постели, растягивая конечности или отрезая их.

По математике:

ан ортогональная проблема Прокруста это метод, который можно использовать для определения оптимального вращение и / или отражение (то есть оптимальное ортогональное линейное преобразование) для наложения Прокруста (PS) одного объекта по отношению к другому.
ограниченная ортогональная проблема Прокруста, при условии Det (р) = 1 (где р матрица вращения), это метод, который можно использовать для определения оптимального вращение для ПС одного объекта по отношению к другому (отражение не допускается). В некоторых контекстах этот метод называется Алгоритм Кабша.

Когда одна форма сравнивается с другой или набор форм сравнивается с произвольно выбранной контрольной формой, анализ Прокруста иногда дополнительно квалифицируется как классический или же обычный, в отличие от Обобщенный анализ Прокруста (GPA), который сравнивает три или более формы с оптимально определенной «средней формой».

Вступление

Чтобы сравнить формы двух или более объектов, объекты должны быть сначала оптимально «наложены». Наложение прокруста (PS) оптимально выполняется Идет перевод, вращающийся и равномерно масштабируемый объекты. Другими словами, оба размещение в пространстве и размер объектов свободно регулируется. Цель состоит в том, чтобы получить аналогичное размещение и размер, минимизируя различие форм, называемое расстоянием Прокруста между объектами. Иногда это называют полный, в отличие от частичный PS, в котором масштабирование не выполняется (т.е. сохраняется размер объектов). Обратите внимание, что после полной PS объекты будут точно совпадать, если их форма идентично. Например, при полном PS две сферы с разными радиусами всегда будут совпадать, потому что они имеют абсолютно одинаковую форму. И наоборот, при частичном PS они никогда не совпадут. Это означает, что по строгому определению термина форма в геометрия, расчет формы должен выполняться с использованием полного PS. Статистический анализ, основанный на частичном PS, не является анализом чистой формы, поскольку он чувствителен не только к различиям в форме, но и к различиям в размерах. И полный, и частичный PS никогда не смогут идеально сопоставить два объекта разной формы, например, куб и сферу, или правую и левую руки.

В некоторых случаях как полное, так и частичное PS может также включать отражение. Отражение позволяет, например, удачно (возможно, идеально) наложить правую руку на левую. Таким образом, частичный PS с включенным отражением сохраняет размер, но допускает перемещение, вращение и отражение, тогда как полный PS с включенным отражением допускает перемещение, поворот, масштабирование и отражение.

Оптимальный перенос и масштабирование определяются с помощью гораздо более простых операций (см. Ниже).

Обычный анализ Прокруста

Здесь мы просто рассматриваем объекты, состоящие из конечного числа k очков в п размеры. Часто эти точки выделяются на сплошной поверхности сложных объектов, например костей человека, и в этом случае их называют ориентиры.

Форму объекта можно рассматривать как член класс эквивалентности сформированный путем удаления переводной, вращающийся и равномерное масштабирование составные части.

Перевод

Например, трансляционные компоненты могут быть удалены из объекта путем перевода объекта так, чтобы иметь в виду всех точек объекта (т.е. его центроид ) лежит в начале координат.

Математически: взять ${displaystyle k}$ точки в двух измерениях, скажем

{displaystyle ((x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}), dots, (x_ {k}, y_ {k})),}

.

Среднее значение этих точек равно ${displaystyle ({ar {x}}, {ar {y}})}$ куда

{displaystyle {ar {x}} = {frac {x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {k}} {k}}, quad {ar {y}} = {frac {y_ {1} +) y_ {2} + cdots + y_ {k}} {k}}.}

Теперь переведите эти точки так, чтобы их среднее значение было переведено в начало координат. ${displaystyle (x, y) o (x- {ar {x}}, y- {ar {y}})}$ , придавая смысл ${displaystyle (x_ {1} - {ar {x}}, y_ {1} - {ar {y}}), точки}$ .

Равномерное масштабирование

Аналогичным образом можно удалить компонент масштабирования, масштабируя объект так, чтобы среднеквадратическое значение расстояние (RMSD) от точек до переведенной исходной точки равно 1. Это RMSD является статистической мерой объекта шкала или же размер:

{displaystyle s = {sqrt {{(x_ {1} - {ar {x}}) ^ {2} + (y_ {1} - {ar {y}}) ^ {2} + cdots} над k}} }

Масштаб становится равным 1, когда координаты точки делятся на исходный масштаб объекта:

{displaystyle ((x_ {1} - {ar {x}}) / s, (y_ {1} - {ar {y}}) / s)}

.

Обратите внимание, что в литературе иногда используются другие методы определения и удаления шкалы.

Вращение

Удаление вращающегося компонента является более сложной задачей, поскольку стандартная справочная ориентация не всегда доступна. Рассмотрим два объекта, состоящих из одинакового количества точек, с удаленными масштабом и перемещением. Пусть их точки будут ${displaystyle ((x_ {1}, y_ {1}), ldots)}$ , ${displaystyle ((w_ {1}, z_ {1}), ldots)}$ . Один из этих объектов можно использовать для справочной ориентации. Зафиксируйте эталонный объект и поверните другой вокруг начала координат, пока не найдете оптимальный угол поворота. ${displaystyle heta,!}$ такая, что сумма квадратов расстояний (SSD) между соответствующими точками минимизируется (пример наименьших квадратов техника).

Поворот на угол ${displaystyle heta,!}$ дает

{displaystyle (u_ {1}, v_ {1}) = (cos heta, w_ {1} -sin heta, z_ {1} ,, sin heta, w_ {1} + cos heta, z_ {1}) ,! }

.

где (u, v) - координаты повернутой точки. Взяв производную от ${displaystyle (u_ {1} -x_ {1}) ^ {2} + (v_ {1} -y_ {1}) ^ {2} + cdots}$ относительно ${displaystyle heta}$ и решение для ${displaystyle heta}$ когда производная равна нулю дает

{displaystyle heta = an ^ {- 1} left ({frac {sum _ {i = 1} ^ {k} (w_ {i} y_ {i} -z_ {i} x_ {i})} {sum _ { i = 1} ^ {k} (w_ {i} x_ {i} + z_ {i} y_ {i})}} ight).}

Когда объект является трехмерным, оптимальное вращение представлено размером 3 на 3 матрица вращения р, а не простой угол, и в этом случае разложение по сингулярным числам можно использовать для поиска оптимального значения для р (см. решение для ограниченного ортогональная проблема Прокруста, при условии Det (р) = 1).

Сравнение форм

Разницу между формой двух объектов можно оценить только после «наложения» двух объектов путем их перемещения, масштабирования и оптимального поворота, как описано выше. Квадратный корень из вышеупомянутого SSD между соответствующими точками может использоваться как статистическая мера этой разницы в форме:

{displaystyle d = {sqrt {(u_ {1} -x_ {1}) ^ {2} + (v_ {1} -y_ {1}) ^ {2} + cdots}}.}

Эту меру часто называют Расстояние Прокруста. Обратите внимание, что в литературе иногда используются другие более сложные определения расстояния Прокруста и другие меры «различия формы».

Наложение набора фигур

Мы показали, как наложить две формы. Тот же метод может применяться для наложения набора из трех или более форм, если для всех из них используется указанная выше справочная ориентация. Однако обобщенный анализ Прокруста предоставляет лучший метод для достижения этой цели.

Обобщенный анализ Прокруста (GPA)

GPA применяет метод анализа Прокруста для оптимального наложения набора объектов вместо наложения их на произвольно выбранную форму.

Обобщенный и обычный анализ Прокруста отличаются только определением референции. ориентация для объектов, который в первой методике определяется оптимально, а во второй выбирается произвольно. Масштабирование и перевод выполняются одинаково обоими методами. Когда сравниваются только две формы, средний балл эквивалентен обычному анализу Прокруста.

Схема алгоритма следующая:

произвольно выбрать справочную форму (обычно выбирая ее среди доступных экземпляров)
наложить все экземпляры на текущую ссылочную форму
вычислить среднюю форму текущего набора наложенных форм
если Procrustes расстояние между средним и эталонной формой выше порогового значения, множество ссылок на средней формы и продолжают стадии 2.

Вариации

Существует много способов представления формы объекта. Форму объекта можно рассматривать как член класса эквивалентности, образованного путем взятия набора всех наборов k указывает в п размеры, то есть р^кн и выделение набора всех перемещений, поворотов и масштабирования. Конкретное представление формы находится путем выбора конкретного представления класса эквивалентности. Это даст многообразие измерения кн-4. Прокруст - один из способов сделать это с особым статистическим обоснованием.

Букштейн получает представление формы, фиксируя положение двух точек, называемых базовой линией. Одна точка будет зафиксирована в начале координат, а другая - в (1,0), остальные точки образуют Bookstein координаты.

Также принято рассматривать форма и масштаб то есть с удаленными поступательными и вращательными компонентами.

Примеры

Анализ формы используется в биологические данные для выявления вариаций анатомических особенностей, характеризующихся базовыми данными, например, при рассмотрении формы костей челюсти.^[1]

Одно исследование Дэвид Джордж Кендалл рассмотрели треугольники, образованные стоячие камни чтобы выяснить, часто ли они располагались по прямым линиям. Форму треугольника можно представить в виде точки на сфере, а распределение всех форм можно представить как распределение по сфере. Выборочное распределение из стоящих камней сравнивалось с теоретическим распределением, чтобы показать, что возникновение прямых было не больше среднего.^[2]

Смотрите также

внешняя ссылка

Расширения к континууму точек и распределений Методы Прокруста, распознавание форм, сходство и стыковка, Мишель Петижан.

[1] «Изучение формы космоса» В архиве 2006-09-01 на Wayback Machine Нэнси Мари Браун, Research / Penn State, Vol. 15, нет. 1 марта 1994 г.

[2] «Обзор статистической теории формы», Дэвид Г. Кендалл, Статистическая наука, Vol. 4, № 2 (май 1989 г.), стр. 87–99.

[1]

[2]