Четверки Архимеда - Archimedes quadruplets - Wikipedia

Каждая из четверок Архимеда (зеленая) имеет одинаковую площадь относительно друг друга и двойных кругов Архимеда.

В геометрия, Четверки Архимеда четыре конгруэнтный круги связанный с арбелос. Представленные Фрэнком Пауэром летом 1998 года, все они имеют одинаковые площадь в качестве Двойные круги архимеда, делать их Архимедовы круги.^[1][2][3]

Строительство

Арбелос состоит из трех коллинеарных точек. А, B, и C, тремя полукруги с диаметры AB, AC, и до н.э. Пусть два меньших круга имеют радиусы р₁ и р₂, из чего следует, что больший полукруг имеет радиус р = р₁+р₂. Пусть точки D и E быть центр и середина соответственно полукруга радиусом р₁. Позволять ЧАС быть серединой линии AC. Тогда две из четырех окружностей четверки касаются прямой ОН в момент E, а также касаются внешнего полукруга. Две другие четверные окружности образованы симметрично от полукруга радиусом р₂.

Доказательство соответствия

Согласно предложению 5 Архимед ' Книга лемм, общее радиус двойных кругов Архимеда это:

${\displaystyle {\frac {r_{1}\cdot r_{2}}{r}}.}$

Посредством теорема Пифагора:

${\displaystyle \left(HE\right)^{2}=\left(r_{1}\right)^{2}+\left(r_{2}\right)^{2}.}$

Затем создайте два круга с центрами J_я перпендикуляр к ОН, касательная к большому полукругу в точке L_я, касательная к точке E, и с равными радиусами Икс. С использованием теорема Пифагора:

${\displaystyle \left(HJ_{i}\right)^{2}=\left(HE\right)^{2}+x^{2}=\left(r_{1}\right)^{2}+\left(r_{2}\right)^{2}+x^{2}}$

Также:

${\displaystyle HJ_{i}=HL_{i}-x=r-x=r_{1}+r_{2}-x~}$

Их сочетание дает:

${\displaystyle \left(r_{1}\right)^{2}+\left(r_{2}\right)^{2}+x^{2}=\left(r_{1}+r_{2}-x\right)^{2}}$

Расширение, сбор в одну сторону и факторинг:

${\displaystyle 2r_{1}r_{2}-2x\left(r_{1}+r_{2}\right)=0}$

Решение для Икс:

${\displaystyle x={\frac {r_{1}\cdot r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}={\frac {r_{1}\cdot r_{2}}{r}}}$

Доказательство того, что каждая из «четверок» Архимеда равна каждой из «двойных кругов» Архимеда.^[4]

Рекомендации

1. Пауэр, Франк (2005), «Еще несколько архимедовых кругов в Арбелосе», в Ю, Пол (ред.), Форум Geometricorum, 5 (опубликовано 2 ноября 2005 г.), стр. 133–134, ISSN  1534-1178, получено 2008-04-13
2. Интернет-каталог архимедовых кругов
3. Клейтон В. Додж, Томас Шох, Питер Ю. Ву, Пол Ю (1999). «Эти вездесущие архимедовы круги». PDF.
4. Богомольный Александр. "Четверки Архимеда". В архиве из оригинала 12 мая 2008 г.. Получено 2008-04-13.

Больше чтения

• Арбелос: Книга лемм, Цепочка Паппа, Архимедов круг, Четверки Архимеда, Двойные круги Архимеда, Круг Банкоффа, С. ISBN  1156885493