Теорема Акс-Гротендика - Ax–Grothendieck theorem

В математике Теорема Акс-Гротендика это результат о приемистость и сюръективность из многочлены что было независимо доказано Джеймс Экс и Александр Гротендик.[1][2][3][4]

Теорема часто приводится в виде этого частного случая: если п является инъективный полиномиальная функция от п-размерный комплексное векторное пространство себе тогда п является биективный. То есть, если п всегда сопоставляет разные аргументы с разными значениями, тогда значения п покрыть все Cп.[3][4]

Полная теорема обобщается на любые алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутое поле.[5]

Доказательство через конечные поля

Доказательство теоремы Гротендика[3][4] основан на доказательстве аналогичной теоремы для конечные поля и их алгебраические замыкания. То есть для любого поля F который сам конечен или является замыканием конечного поля, если многочлен п из Fп самому себе инъективно, тогда оно биективно.

Если F конечное поле, то Fп конечно. В этом случае теорема верна по тривиальным причинам, не имеющим ничего общего с представлением функции в виде полинома: любая инъекция конечного множества в себя является биекцией. Когда F является алгебраическим замыканием конечного поля, результат следует из Nullstellensatz Гильберта. Поэтому теорему Акс-Гротендика для комплексных чисел можно доказать, показав, что контрпример над C превратится в контрпример в некотором алгебраическом расширении конечного поля.

Этот метод доказательства примечателен тем, что он является примером идеи о том, что конечные алгебраические отношения в полях характеристика 0 переводятся в алгебраические соотношения над конечными полями с большой характеристикой.[3] Таким образом, можно использовать арифметику конечных полей, чтобы доказать утверждение о C хотя нет гомоморфизм из любого конечного поля в C. Таким образом, доказательство использует теоретико-модельные принципы доказать элементарное утверждение о многочленах. Доказательство для общего случая использует аналогичный метод.

Прочие доказательства

Есть и другие доказательства теоремы. Арман Борель дал доказательство с использованием топологии.[4] Случай п = 1 и поле C следует, поскольку C алгебраически замкнуто и может рассматриваться как частный случай результата, что для любого аналитическая функция ж на C, приемистость ж подразумевает сюръективность ж. Это следствие Теорема Пикарда.

Связанные результаты

Другой пример редукционных теорем о морфизмы конечного типа к конечным полям можно найти в EGA IV: Там доказано, что радиальный S-эндоморфизм схемы Икс конечного типа над S биективен (10.4.11), и что если Икс/S имеет конечное представление, и эндоморфизм является мономорфизмом, то это автоморфизм (17.9.6). Следовательно, схема конечного представления над базой S является когопфовым объектом в категории S-схемы.

Теорема Акс-Гротендика также может быть использована для доказательства Теорема Эдемского сада, результат, который, как и теорема Акс-Гротендика, связывает инъективность с сюръективностью, но в клеточные автоматы а не в алгебраических полях. Хотя прямые доказательства этой теоремы известны, доказательство с помощью теоремы Акс-Гротендика распространяется в более широком смысле на автоматы, действующие на приемлемые группы.[6]

Некоторые частичные обращения к теореме Акс-Гротендика:

  • В общем случае сюръективное полиномиальное отображение п-мерное аффинное пространство над конечно порожденным расширением Z или же Z/пZ[т] биективен с многочленом, обратным рациональным над тем же кольцом (и, следовательно, биективен на аффинном пространстве алгебраического замыкания).
  • Общее сюръективное рациональное отображение п-мерное аффинное пространство над гильбертовым полем в общем случае биективно с рациональным обратным, определенным над тем же полем. («Гильбертово поле» определяется здесь как поле, для которого выполняется теорема Гильберта о неприводимости, например, рациональные числа и функциональные поля.)[7]

Рекомендации

  1. ^ Топор, Джеймс (1968), "Элементарная теория конечных полей", Анналы математики, Вторая серия, 88 (2): 239–271, Дои:10.2307/1970573, JSTOR  1970573.
  2. ^ Гротендик, А. (1966), Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. III., Инст. Hautes Études Sci. Publ. Математика, 28, стр. 103–104, теорема 10.4.11..
  3. ^ а б c d Тао, Теренс (2009-03-07). «Бесконечные поля, конечные поля и теорема Акс-Гротендика». Что нового. В архиве из оригинала 11 марта 2009 г.. Получено 2009-03-08.
  4. ^ а б c d Серр, Жан-Пьер (2009), «Как использовать конечные поля для задач, касающихся бесконечных полей», Арифметика, геометрия, криптография и теория кодирования, Contemp. Математика, 487, Providence, R.I .: Amer. Математика. Soc., Стр. 183–193, arXiv:0903.0517, Bibcode:2009arXiv0903.0517S, МИСТЕР  2555994
  5. ^ Éléments de géométrie algébrique, IV3, Предложение 10.4.11.
  6. ^ Чекерини-Зильберштейн, Туллио; Coornaert, Мишель (2010), Об алгебраических клеточных автоматах, arXiv:1011.4759, Bibcode:2010arXiv1011.4759C.
  7. ^ Маккенна, Кен; Ван ден Дрис, Лу (1990), "Сюръективные полиномиальные отображения и замечание о проблеме Якоби", Manuscripta Mathematica, 67 (1): 1–15, Дои:10.1007 / BF02568417, МИСТЕР  1037991.

внешняя ссылка