Бекенштейн связан - Bekenstein bound

Согласно оценке Бекенштейна, энтропия из черная дыра пропорциональна количеству Планковские площади что потребуется, чтобы покрыть черную дыру горизонт событий.

В физика, то Бекенштейн связан (названный в честь Якоб Бекенштейн ) - верхний предел энтропия S, или же Информация я, которая может содержаться в данной конечной области пространства, имеющей конечное количество энергии - или, наоборот, максимальное количество информации, требуемое для точного описания данной физической системы вплоть до квантового уровня.^[1] Это означает, что информация о физической системе или информация, необходимая для точного описания этой системы, должна быть конечной, если область пространства и энергия конечны. В Информатика, это означает, что существует максимальная скорость обработки информации (Предел Бремермана ) для физической системы, имеющей конечный размер и энергию, и что Машина Тьюринга с конечными физическими размерами и неограниченной памятью физически невозможно.

Уравнения

Универсальная форма переплета была первоначально найдена Якобом Бекенштейном как неравенство^[1][2][3]

${\displaystyle S\leq {\frac {2\pi kRE}{\hbar c}},}$

куда S это энтропия, k является Постоянная Больцмана, р это радиус из сфера что может заключить данную систему, E это общая масса – энергия включая любые массы покоя, час это приведенная постоянная Планка, и c это скорость света. Обратите внимание, что хотя гравитация играет значительную роль в ее применении, выражение для границы не содержит гравитационная постоянная  грамм.

В информационном плане с S = k · I ·ln 2 оценка дается выражением

${\displaystyle I\leq {\frac {2\pi RE}{\hbar c\ln 2}},}$

куда я это Информация выражается в количестве биты содержатся в квантовых состояниях в сфере. В пер Фактор 2 возникает из определения информации как логарифм к основание 2 числа квантовых состояний.^[4] С помощью эквивалентность массы и энергии, информационный предел можно переформулировать как

${\displaystyle I\leq {\frac {2\pi cRM}{\hbar \ln 2}}\approx 2.5769082\times 10^{43}\ {\frac {\text{bit}}{{\text{kg}}\cdot {\text{m}}}}\cdot M\cdot R,}$

куда ${\displaystyle M}$ - масса (в кг), а ${\displaystyle R}$ радиус (в метрах) системы.

Происхождение

Бекенштейн получил оценку на основе эвристических аргументов, связанных с черные дыры. Бекенштейн утверждал, что если существует система, которая нарушает границу, т. Е. Имеет слишком большую энтропию, второй закон термодинамики опустив его в черную дыру. В 1995 г. Тед Якобсон продемонстрировал, что Уравнения поля Эйнштейна (т.е. общая теория относительности ) можно получить, предположив, что оценка Бекенштейна и законы термодинамики верны.^[5][6] Тем не менее, несмотря на то, что был разработан ряд аргументов, которые показывают, что для того, чтобы законы термодинамики и общей теории относительности были взаимно согласованными, должна существовать определенная форма ограничения, точная формулировка границы была предметом споров до работы Казини в 2008 .^{[2][3][7][8][9][10][11][12][13][14][15]}

Доказательство в квантовой теории поля

Доказательство оценки Бекенштейна в рамках квантовая теория поля был подарен Casini в 2008 году.^[16] Одним из важнейших выводов доказательства было найти правильную интерпретацию величин, фигурирующих по обе стороны границы.

Наивные определения энтропии и плотности энергии в квантовой теории поля страдают от ультрафиолетовые расхождения. В случае границы Бекенштейна ультрафиолетовых расхождений можно избежать, взяв различия между величинами, вычисленными в возбужденном состоянии, и теми же величинами, вычисленными в вакуумном состоянии. Например, учитывая пространственную область ${\displaystyle V}$, Казини определяет энтропию в левой части оценки Бекенштейна как

${\displaystyle S_{V}=S(\rho _{V})-S(\rho _{V}^{0})=-\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V})+\mathrm {tr} (\rho _{V}^{0}\log \rho _{V}^{0})}$

куда ${\displaystyle S(\rho _{V})}$ это Энтропия фон Неймана из приведенная матрица плотности ${\displaystyle \rho _{V}}$ связана с ${\displaystyle V}$ в возбужденном состоянии ${\displaystyle \rho }$, и ${\displaystyle S(\rho _{V}^{0})}$ - соответствующая энтропия фон Неймана для вакуумного состояния ${\displaystyle \rho ^{0}}$.

Что касается правой части границы Бекенштейна, то трудно дать строгую интерпретацию величины ${\displaystyle 2\pi RE}$, куда ${\displaystyle R}$ - характерный масштаб системы, а ${\displaystyle E}$ - характерная энергия. Этот продукт имеет те же блоки, что и генератор Повышение лоренца, и естественным аналогом буста в этой ситуации является модульный гамильтониан состояния вакуума ${\displaystyle K=-\log \rho _{V}^{0}}$. Казини определяет правую часть границы Бекенштейна как разность между математическим ожиданием модульного гамильтониана в возбужденном состоянии и в состоянии вакуума,

${\displaystyle K_{V}=\mathrm {tr} (K\rho _{V})-\mathrm {tr} (K\rho _{V}^{0}).}$

С этими определениями граница читается как

${\displaystyle S_{V}\leq K_{V},}$

который можно переставить, чтобы получить

${\displaystyle \mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V})-\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V}^{0})\geq 0.}$

Это просто утверждение о положительности относительная энтропия, что доказывает оценку Бекенштейна.

Примеры

Черные дыры

Бывает, что Граничная энтропия Бекенштейна – Хокинга трехмерного черные дыры точно насыщает границу

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

${\displaystyle A=4\pi r_{s}^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}},}$

${\displaystyle l_{P}^{2}=\hbar G/c^{3},}$

${\displaystyle S={\frac {kA}{4l_{P}^{2}}}={\frac {4\pi kGM^{2}}{\hbar c}},}$

куда ${\displaystyle k}$ является Постоянная Больцмана, А - двумерная площадь горизонта событий черной дыры в единицах Планковская площадь, ${\displaystyle l_{P}^{2}=\hbar G/c^{3}}$.

Оценка тесно связана с термодинамика черной дыры, то голографический принцип и ковариантная оценка энтропии квантовой гравитации, и может быть получена из предполагаемой сильной формы последней.

Человеческий мозг

Средний человеческий мозг имеет массу 1,5 кг и объем 1260 см.³. Если мозг аппроксимировать сферой, то радиус будет 6,7 см.

Информационная граница Бекенштейна составит около 2,6×10⁴² бит и представляет собой максимум информации, необходимой для идеального воссоздания среднего человеческого мозга до квантового уровня. Это означает, что число ${\displaystyle O=2^{I}}$ из состояния человеческого мозга должно быть меньше, чем ${\displaystyle \approx 10^{7.8\times 10^{41}}}$.

Смотрите также

• Теорема Марголуса – Левитина
• Принцип Ландауэра
• Колмогоровская сложность
• За пределами черных дыр
• Мозг Больцмана
• Цифровая физика
• Пределы вычислений
• Предел Чандрасекара
• Физическая информация

Рекомендации

1. Бекенштейн, Джейкоб Д. (1981). «Универсальная верхняя оценка отношения энтропии к энергии для ограниченных систем» (PDF). Физический обзор D. 23 (2): 287–298. Bibcode:1981ПхРвД..23..287Б. Дои:10.1103 / PhysRevD.23.287.
2. Бекенштейн, Джейкоб Д. (2005). «Как работает связь энтропии / информации?». Основы физики. 35 (11): 1805–1823. arXiv:Quant-ph / 0404042. Bibcode:2005ФоФ ... 35.1805Б. Дои:10.1007 / s10701-005-7350-7.
3. Бекенштейн, Джейкоб (2008). "Бекенштейн связан". Scholarpedia. 3 (10): 7374. Bibcode:2008SchpJ ... 3.7374B. Дои:10.4249 / scholarpedia.7374.
4. Типлер, Ф. Дж. (2005). «Устройство мира из чистых чисел» (PDF). Отчеты о достижениях физики. 68 (4): 897–964. arXiv:0704.3276. Bibcode:2005RPPh ... 68..897T. Дои:10.1088 / 0034-4885 / 68/4 / R04.
5. Якобсон, Тед (1995). "Термодинамика пространства-времени: уравнение состояния Эйнштейна" (PDF). Письма с физическими проверками. 75 (7): 1260–1263. arXiv:gr-qc / 9504004. Bibcode:1995PhRvL..75.1260J. CiteSeerX  10.1.1.54.6675. Дои:10.1103 / PhysRevLett.75.1260. PMID  10060248.
6. Ли Смолин, Три пути к квантовой гравитации (Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Базовые книги, 2002), стр. 173 и 175, ISBN  0-465-07836-2, LCCN  2007-310371.
7. Буссо, Рафаэль (1999). «Голография в общем пространстве-времени». Журнал физики высоких энергий. 1999 (6): 028. arXiv:hep-th / 9906022. Bibcode:1999JHEP ... 06..028B. Дои:10.1088/1126-6708/1999/06/028.
8. Буссо, Рафаэль (1999). «Ковариантная энтропийная гипотеза». Журнал физики высоких энергий. 1999 (7): 004. arXiv:hep-th / 9905177. Bibcode:1999JHEP ... 07..004B. Дои:10.1088/1126-6708/1999/07/004.
9. Буссо, Рафаэль (2000). «Голографический принцип для общих фонов». Классическая и квантовая гравитация. 17 (5): 997–1005. arXiv:hep-th / 9911002. Bibcode:2000CQGra..17..997B. Дои:10.1088/0264-9381/17/5/309.
10. Бекенштейн, Джейкоб Д. (2000). «Голографическая связь из второго начала термодинамики». Письма по физике B. 481 (2–4): 339–345. arXiv:hep-th / 0003058. Bibcode:2000ФЛБ..481..339Б. Дои:10.1016 / S0370-2693 (00) 00450-0.
11. Буссо, Рафаэль (2002). «Голографический принцип» (PDF). Обзоры современной физики. 74 (3): 825–874. arXiv:hep-th / 0203101. Bibcode:2002РвМП ... 74..825Б. Дои:10.1103 / RevModPhys.74.825.
12. Джейкоб Д. Бекенштейн, «Информация в голографической Вселенной: теоретические результаты о черных дырах предполагают, что Вселенная может быть похожа на гигантскую голограмму», Scientific American, Vol. 289, № 2 (август 2003 г.), стр. 58-65. Зеркальная ссылка.
13. Буссо, Рафаэль; Фланаган, Эанна Э .; Марольф, Дональд (2003). «Простые достаточные условия обобщенной ковариантной оценки энтропии». Физический обзор D. 68 (6): 064001. arXiv:hep-th / 0305149. Bibcode:2003ПхРвД..68ф4001Б. Дои:10.1103 / PhysRevD.68.064001.
14. Бекенштейн, Джейкоб Д. (2004). «Черные дыры и теория информации». Современная физика. 45 (1): 31–43. arXiv:Quant-ph / 0311049. Bibcode:2004ConPh..45 ... 31B. Дои:10.1080/00107510310001632523.
15. Типлер, Ф. Дж. (2005). «Устройство мира из чистых чисел» (PDF). Отчеты о достижениях физики. 68 (4): 897–964. arXiv:0704.3276. Bibcode:2005RPPh ... 68..897T. Дои:10.1088 / 0034-4885 / 68/4 / R04.. Типлер приводит ряд аргументов в пользу того, что исходная формулировка границы Бекенштейном является правильной. См., В частности, абзац, начинающийся с «Несколько моментов ...» на стр. 903 года Rep. Prog. Phys. бумага (или стр. 9 arXiv версия), а также обсуждение границы Бекенштейна, которое продолжается на протяжении всей статьи.
16. Казини, Орасио (2008). «Относительная энтропия и граница Бекенштейна». Классическая и квантовая гравитация. 25 (20): 205021. arXiv:0804.2182. Bibcode:2008CQGra..25t5021C. Дои:10.1088/0264-9381/25/20/205021.

внешняя ссылка

• Джейкоб Д. Бекенштейн, "Бекенштейн связан", Scholarpedia, Vol. 3, № 10 (2008), с. 7374, г. Дои:10.4249 / scholarpedia.7374.
• Джейкоб Д. Бекенштейн, «Энтропия Бекенштейна-Хокинга», Scholarpedia, Vol. 3, № 10 (2008), с. 7375, г. Дои:10.4249 / scholarpedia.7375.
• Сайт Якоба Д. Бекенштейна в Институт физики Рака, Еврейский университет Иерусалима, который содержит ряд статей о границе Бекенштейна.
• О'Дауд, Мэтт (12 сентября 2018 г.). «Сколько информации во Вселенной?». PBS Space Time - через YouTube.