Гибка плит - Bending of plates

Изгиб круглой пластины с кромочным зажимом под действием поперечного давления. Левая половина пластины показывает деформированную форму, а правая половина - недеформированную. Этот расчет был выполнен с использованием ANSYS.

Гибка плит, или же гибка пластин, относится к отклонение из пластина перпендикулярно плоскости пластины под действием внешних силы и моменты. Величину прогиба можно определить, решив дифференциальные уравнения соответствующего теория пластин. В подчеркивает в пластине можно рассчитать по этим прогибам. Как только напряжения известны, теории неудач может использоваться для определения того, выйдет ли из строя плита при данной нагрузке.

Гибка пластин Кирхгофа-Лява

Силы и моменты на плоской пластине.

Определения

Для тонкой прямоугольной пластины толщиной ${\displaystyle H}$, Модуль для младших ${\displaystyle E}$, и Коэффициент Пуассона ${\displaystyle \nu }$, мы можем определить параметры в терминах прогиба пластины, ${\displaystyle w}$.

В жесткость на изгиб дан кем-то

${\displaystyle D={\frac {EH^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)}}}$

Моменты

В изгибающие моменты на единицу длины даются

${\displaystyle M_{x}=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle M_{y}=-D\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

В крутящий момент на единицу длины определяется выражением

${\displaystyle M_{xy}=-D\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}$

Силы

В поперечные силы на единицу длины даются

${\displaystyle Q_{x}=-D{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle Q_{y}=-D{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

Стрессы

Изгиб подчеркивает даны

${\displaystyle \sigma _{x}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \sigma _{y}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

В напряжение сдвига дан кем-то

${\displaystyle \tau _{xy}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}$

Штаммы

В деформации изгиба для теории малого прогиба даются

${\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}}$

${\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}}$

В деформация сдвига для теории малых прогибов дается формулой

${\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=-2z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}$

Для теории больших отклоняющих пластин мы рассматриваем учет деформаций мембран

${\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}}$

${\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}\right)^{2}}$

${\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}{\frac {\partial w}{\partial y}}}$

Прогибы

В отклонения даны

${\displaystyle u=-z{\frac {\partial w}{\partial x}}}$

${\displaystyle v=-z{\frac {\partial w}{\partial y}}}$

Вывод

в Теория пластин Кирхгофа – Лява для пластин определяющими уравнениями являются^[1]

${\displaystyle N_{\alpha \beta ,\alpha }=0}$

и

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q=0}$

В развернутом виде

${\displaystyle {\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0~;~~{\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0}$

и

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}=q}$

куда ${\displaystyle q(x)}$ применяется поперечный нагрузка на единицу площади толщина пластины составляет ${\displaystyle H=2h}$, напряжения ${\displaystyle \sigma _{ij}}$, и

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~.}$

Количество ${\displaystyle N}$ имеет единицы сила на единицу длины. Количество ${\displaystyle M}$ имеет единицы момент на единицу длины.

За изотропный, однородный, тарелки с Модуль для младших ${\displaystyle E}$ и Коэффициент Пуассона ${\displaystyle \nu }$ эти уравнения сводятся к^[2]

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}={\cfrac {H^{3}E}{12(1-\nu ^{2})}}}$

куда ${\displaystyle w(x_{1},x_{2})}$ прогиб средней поверхности пластины.

Небольшой прогиб тонких прямоугольных пластин

Это регулируется Жермен -Лагранж уравнение пластины

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}}$

Это уравнение было впервые выведено Лагранжем в декабре 1811 г. при исправлении работы Жермена, который лег в основу теории.

Большой прогиб тонких прямоугольных пластин

Это регулируется Föppl –фон Карман уравнения пластины

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial y^{4}}}=E\left[\left({\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)^{2}-{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}+{\cfrac {H}{D}}\left({\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}-2{\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)}$

куда ${\displaystyle F}$ - функция напряжения.

Круглые тарелки Кирхгофа-Лява

Изгиб круглых пластин можно исследовать, решив основное уравнение с соответствующими граничными условиями. Эти решения были впервые найдены Пуассоном в 1829 г. Для таких задач удобны цилиндрические координаты. Здесь ${\displaystyle z}$ расстояние точки от средней плоскости пластины.

Основное уравнение в безкоординатной форме имеет вид

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.}$

В цилиндрических координатах ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$,

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\,.}$

Для симметрично нагруженных круглых пластин ${\displaystyle w=w(r)}$, и у нас есть

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\,.}$

Следовательно, основное уравнение

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.}$

Если ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle D}$ постоянны, прямое интегрирование основного уравнения дает нам

${\displaystyle w(r)=-{\frac {qr^{4}}{64D}}+C_{1}\ln r+{\cfrac {C_{2}r^{2}}{2}}+{\cfrac {C_{3}r^{2}}{4}}(2\ln r-1)+C_{4}}$

куда ${\displaystyle C_{i}}$ являются константами. Наклон отклоняющей поверхности составляет

${\displaystyle \phi (r)={\cfrac {dw}{dr}}=-{\frac {qr^{3}}{16D}}+{\frac {C_{1}}{r}}+C_{2}r+C_{3}r\ln r\,.}$

Для круглой пластины требование конечности прогиба и крутизны прогиба при ${\displaystyle r=0}$ подразумевает, что ${\displaystyle C_{1}=0}$. Тем не мение, ${\displaystyle C_{3}}$ не обязательно равняться 0, так как предел ${\displaystyle r\ln r\,}$ существует по мере вашего приближения ${\displaystyle r=0}$ справа.

Зажатые края

Для круглой пластины с зажатыми краями имеем ${\displaystyle w(a)=0}$ и ${\displaystyle \phi (a)=0}$ на краю пластины (радиус ${\displaystyle a}$). Используя эти граничные условия, получаем

${\displaystyle w(r)=-{\frac {q}{64D}}(a^{2}-r^{2})^{2}\quad {\text{and}}\quad \phi (r)={\frac {qr}{16D}}(a^{2}-r^{2})\,.}$

Смещения в плоскости пластины равны

${\displaystyle u_{r}(r)=-z\phi (r)\quad {\text{and}}\quad u_{\theta }(r)=0\,.}$

Плоские деформации в пластине равны

${\displaystyle \varepsilon _{rr}={\cfrac {du_{r}}{dr}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-3r^{2})~,~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {u_{r}}{r}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-r^{2})~,~~\varepsilon _{r\theta }=0\,.}$

Напряжения в плоскости пластины равны

${\displaystyle \sigma _{rr}={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left[\varepsilon _{rr}+\nu \varepsilon _{\theta \theta }\right]~;~~\sigma _{\theta \theta }={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left[\varepsilon _{\theta \theta }+\nu \varepsilon _{rr}\right]~;~~\sigma _{r\theta }=0\,.}$

Для плиты толщиной ${\displaystyle 2h}$, жесткость на изгиб ${\displaystyle D=2Eh^{3}/[3(1-\nu ^{2})]}$ и у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}&=-{\frac {3qz}{32h^{3}}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{\theta \theta }&=-{\frac {3qz}{32h^{3}}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{r\theta }&=0\,.\end{aligned}}}$

Результирующие момента (изгибающие моменты) равны

${\displaystyle M_{rr}=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]~;~~M_{\theta \theta }=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right]~;~~M_{r\theta }=0\,.}$

Максимальное радиальное напряжение при ${\displaystyle z=h}$ и ${\displaystyle r=a}$:

${\displaystyle \left.\sigma _{rr}\right|_{z=h,r=a}={\frac {3qa^{2}}{16h^{2}}}={\frac {3qa^{2}}{4H^{2}}}}$

куда ${\displaystyle H:=2h}$. Изгибающие моменты на границе и в центре пластины равны

${\displaystyle \left.M_{rr}\right|_{r=a}={\frac {qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{\theta \theta }\right|_{r=a}={\frac {\nu qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{rr}\right|_{r=0}=\left.M_{\theta \theta }\right|_{r=0}=-{\frac {(1+\nu )qa^{2}}{16}}\,.}$

Прямоугольные тарелки Кирхгофа-Лява

Изгиб прямоугольной пластины под действием распределенной силы ${\displaystyle q}$ на единицу площади.

Для прямоугольных пластин Навье в 1820 году ввел простой метод определения смещения и напряжения, когда пластина просто поддерживается. Идея заключалась в том, чтобы выразить приложенную нагрузку в терминах компонентов Фурье, найти решение для синусоидальной нагрузки (единственная составляющая Фурье), а затем наложить компоненты Фурье, чтобы получить решение для произвольной нагрузки.

Синусоидальная нагрузка

Предположим, что нагрузка имеет вид

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b}}\,.}$

Здесь ${\displaystyle q_{0}}$ это амплитуда, ${\displaystyle a}$ ширина пластины в ${\displaystyle x}$-направление, и${\displaystyle b}$ ширина пластины в ${\displaystyle y}$-направление.

Поскольку пластина просто поддерживается, смещение ${\displaystyle w(x,y)}$ по краям пластины равен нулю, изгибающий момент ${\displaystyle M_{xx}}$ равен нулю в ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=a}$, и ${\displaystyle M_{yy}}$ равен нулю в ${\displaystyle y=0}$ и ${\displaystyle y=b}$.

Если мы применим эти граничные условия и решим уравнение пластины, мы получим решение

${\displaystyle w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b}}\,.}$

Где D - жесткость на изгиб

${\displaystyle D={\frac {Et^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}}$

Аналогично жесткости на изгиб EI.^[3] Мы можем рассчитать напряжения и деформации в пластине, если нам известно смещение.

Для более общей загрузки формы

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

куда ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ целые числа, мы получаем решение

${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,.}$

Решение Навье

Уравнение двойного тригонометрического ряда

Определяем общую нагрузку ${\displaystyle q(x,y)}$ следующего вида

${\displaystyle q(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

куда ${\displaystyle a_{mn}}$ - коэффициент Фурье, определяемый формулой

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{a}q(x,y)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y}$.

Таким образом, классическое уравнение прямоугольной пластины для малых прогибов принимает следующий вид:

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {1}{D}}\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Пластина с простой опорой и общей нагрузкой

Мы предполагаем решение ${\displaystyle w(x,y)}$ следующего вида

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Частные дифференциалы этой функции даются выражениями

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Подставляя эти выражения в уравнение пластины, имеем

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\cfrac {a_{mn}}{D}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Приравнивая два выражения, имеем

${\displaystyle \left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}={\cfrac {a_{mn}}{D}}}$

который можно переставить, чтобы получить

${\displaystyle w_{mn}={\frac {1}{\pi ^{4}D}}{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}}$

Прогиб свободно опертой пластины (углового происхождения) при общей нагрузке определяется выражением

${\displaystyle w(x,y)={\frac {1}{\pi ^{4}D}}\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Пластина с простой опорой и равномерно распределенной нагрузкой

Смещение (${\displaystyle w}$)

Стресс (${\displaystyle \sigma _{xx}}$)

Стресс (${\displaystyle \sigma _{yy}}$)

Смещения и напряжения по ${\displaystyle x=a/2}$ для прямоугольной пластины с ${\displaystyle a=20}$ мм, ${\displaystyle b=40}$ мм, ${\displaystyle H=2h=0.4}$ мм, ${\displaystyle E=70}$ ГПа и ${\displaystyle \nu =0.35}$ под нагрузкой ${\displaystyle q_{0}=-10}$ кПа. Красная линия представляет нижнюю часть тарелки, зеленая линия - середину, а синяя линия - верх тарелки.

Для равномерно распределенной нагрузки имеем

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}}$

Соответствующий коэффициент Фурье, таким образом, определяется выражением

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y}$.

Вычисляя двойной интеграл, имеем

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4q_{0}}{\pi ^{2}mn}}(1-\cos m\pi )(1-\cos n\pi )}$,

или, альтернативно, в кусочно формат, у нас есть

${\displaystyle a_{mn}={\begin{cases}{\cfrac {16q_{0}}{\pi ^{2}mn}}&m~{\text{and}}~n~{\text{odd}}\\0&m~{\text{or}}~n~{\text{even}}\end{cases}}}$

Прогиб свободно опертой пластины (имеющей угловое начало) с равномерно распределенной нагрузкой определяется выражением

${\displaystyle w(x,y)={\frac {16q_{0}}{\pi ^{6}D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {1}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Изгибающие моменты на единицу длины в пластине определяются выражением

${\displaystyle M_{x}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {m^{2}}{a^{2}}}+\nu {\frac {n^{2}}{b^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

${\displaystyle M_{y}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {n^{2}}{b^{2}}}+\nu {\frac {m^{2}}{a^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Леви решение

Другой подход был предложен Леви ^[4] в 1899 году. В этом случае мы начинаем с предполагаемой формы смещения и пытаемся подогнать параметры таким образом, чтобы выполнялись основное уравнение и граничные условия. Цель - найти ${\displaystyle Y_{m}(y)}$ такой, что он удовлетворяет граничным условиям при ${\displaystyle y=0}$ и ${\displaystyle y=b}$ и, конечно же, основное уравнение ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q/D}$.

Предположим, что

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }Y_{m}(y)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.}$

Для пластины, которая легко опирается на ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=a}$, граничные условия: ${\displaystyle w=0}$ и ${\displaystyle M_{xx}=0}$. Обратите внимание, что по этим краям нет изменений в смещении, что означает, что ${\displaystyle \partial w/\partial y=0}$ и ${\displaystyle \partial ^{2}w/\partial y^{2}=0}$, сводя, таким образом, моментное граничное условие к эквивалентному выражению ${\displaystyle \partial ^{2}w/\partial x^{2}=0}$.

Моменты по краям

Рассмотрим случай чисто моментной нагрузки. В таком случае ${\displaystyle q=0}$ и${\displaystyle w(x,y)}$ должен удовлетворить ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$. Поскольку мы работаем в прямоугольных декартовых координатах, основное уравнение может быть расширено как

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=0\,.}$

Подключаем выражение для ${\displaystyle w(x,y)}$ в основном уравнении дает нам

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left[\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}Y_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}-2\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}+{\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\right]=0}$

или же

${\displaystyle {\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}-2{\frac {m^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}+{\frac {m^{4}\pi ^{4}}{a^{4}}}Y_{m}=0\,.}$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение, имеющее общее решение

${\displaystyle Y_{m}=A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+C_{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}}$

куда ${\displaystyle A_{m},B_{m},C_{m},D_{m}}$ - константы, которые можно определить из граничных условий. Следовательно, вытеснительное решение имеет вид

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\left[\left(A_{m}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(C_{m}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right]\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.}$

Выберем систему координат так, чтобы границы пластины составляли ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=a}$ (как и раньше) и в ${\displaystyle y=\pm b/2}$ (и нет ${\displaystyle y=0}$ и${\displaystyle y=b}$). Тогда моментные граничные условия на ${\displaystyle y=\pm b/2}$ границы

${\displaystyle w=0\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}{\Bigr |}_{y=b/2}=f_{1}(x)\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}{\Bigr |}_{y=-b/2}=f_{2}(x)}$

куда ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)}$ - известные функции. Решение можно найти, применив эти граничные условия. Мы можем показать, что для симметричный casewhere

${\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2}}$

и

${\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)=\sum _{m=1}^{\infty }E_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

у нас есть

${\displaystyle w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{m}}{m^{2}\cosh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right)}$

куда

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\,.}$

Аналогично для антисимметричный случай, когда

${\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=-M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2}}$

у нас есть

${\displaystyle w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{m}}{m^{2}\sinh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\coth \alpha _{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}\right)\,.}$

Мы можем совмещать симметричные и антисимметричные решения, чтобы получить более общие решения.

Пластина с простой опорой и равномерно распределенной нагрузкой

Для равномерно распределенной нагрузки имеем

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}}$

Прогиб просто поддерживаемой пластины с центром ${\displaystyle \left({\frac {a}{2}},0\right)}$ с равномерно распределенной нагрузкой определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {q_{0}a^{4}}{D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\left(A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\\\\&{\begin{aligned}{\text{where}}\quad &A_{m}=-{\frac {2\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}+2\right)}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m}}}\\&B_{m}={\frac {2}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m}}}\\&G_{m}={\frac {4}{\pi ^{5}m^{5}}}\\\\{\text{and}}\quad &\alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\end{aligned}}\end{aligned}}}$

Изгибающие моменты на единицу длины в пластине определяются выражением

${\displaystyle M_{x}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2}\left(\left(\left(\nu -1\right)A_{m}+2\nu B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(\nu -1\right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

${\displaystyle M_{y}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2}\left(\left(\left(1-\nu \right)A_{m}+2B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(1-\nu \right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-\nu G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

Равномерная и симметричная моментная нагрузка

Для частного случая, когда нагрузка симметрична и момент однороден, мы имеем при ${\displaystyle y=\pm b/2}$,

${\displaystyle M_{yy}=f_{1}(x)={\frac {4M_{0}}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{2m-1}}\,\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,.}$

Смещение (${\displaystyle w}$)

Напряжение изгиба (${\displaystyle \sigma _{yy}}$)

Поперечное напряжение сдвига (${\displaystyle \sigma _{yz}}$)

Смещения и напряжения для прямоугольной пластины при равномерном изгибающем моменте по краям ${\displaystyle y=-b/2}$ и ${\displaystyle y=b/2}$. Напряжение изгиба ${\displaystyle \sigma _{yy}}$ находится по нижней поверхности пластины. Поперечное напряжение сдвига ${\displaystyle \sigma _{yz}}$ находится по средней поверхности пластины.

Результирующее смещение равно

${\displaystyle {\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {2M_{0}a^{2}}{\pi ^{3}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)^{3}\cosh \alpha _{m}}}\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\times \\&~~\left[\alpha _{m}\,\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {\pi (2m-1)b}{2a}}\,.}$

Изгибающие моменты и поперечные силы, соответствующие смещению ${\displaystyle w}$ находятся

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&={\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,\times \\&~\left[-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.\left\{{\frac {2\nu }{1-\nu }}+\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}\right\}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\&=-{\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,\times \\&~\left[{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.(1-\alpha _{m}\tanh \alpha _{m})\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}\\&={\frac {4M_{0}}{a}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\,.\end{aligned}}}$

Напряжения

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.}$

Гибка цилиндрической пластины

Цилиндрический изгиб происходит, когда прямоугольная пластина имеет размеры ${\displaystyle a\times b\times h}$, куда ${\displaystyle a\ll b}$ и толщина ${\displaystyle h}$ мала, подвергается равномерной распределенной нагрузке, перпендикулярной плоскости пластины. Такая пластина имеет форму поверхности цилиндра.

Пластина с простой опорой и аксиально закрепленными концами

Для пластин с простой опорой при цилиндрической гибке с краями, которые могут вращаться, но имеют фиксированные ${\displaystyle x_{1}}$. Решения для цилиндрической гибки можно найти с помощью методов Навье и Леви.

Гибка толстых пластин Mindlin

Для толстых пластин необходимо учитывать влияние сдвигов по толщине на ориентацию нормали к средней поверхности после деформации. Теория Миндлина предлагает один подход к нахождению деформации и напряжений в таких пластинах. Решения теории Миндлина могут быть получены из эквивалентных решений Кирхгофа-Лява с использованием канонических соотношений.^[5]

Основные уравнения

Каноническое основное уравнение для изотропных толстых пластин может быть выражено как^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\mathcal {M}}-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q\right)=-q\\&\kappa Gh\left(\nabla ^{2}w+{\frac {\mathcal {M}}{D}}\right)=-\left(1-{\cfrac {{\mathcal {B}}c^{2}}{1+\nu }}\right)q\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=c^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle q}$ приложенная поперечная нагрузка, ${\displaystyle G}$ - модуль сдвига, ${\displaystyle D=Eh^{3}/[12(1-\nu ^{2})]}$жесткость на изгиб, ${\displaystyle h}$ толщина пластины, ${\displaystyle c^{2}=2\kappa Gh/[D(1-\nu )]}$, ${\displaystyle \kappa }$ коэффициент поправки на сдвиг, ${\displaystyle E}$ - модуль Юнга, ${\displaystyle \nu }$ - коэффициент Пуассона, а

${\displaystyle {\mathcal {M}}=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\nabla ^{2}w\right]+{\frac {2q}{1-\nu ^{2}}}{\mathcal {B}}\,.}$

Согласно теории Миндлина, ${\displaystyle w}$ - поперечное смещение средней поверхности пластины, а величины ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}}$ - повороты нормали средней поверхности относительно ${\displaystyle x_{2}}$ и ${\displaystyle x_{1}}$-axes соответственно. Канонические параметры этой теории ${\displaystyle {\mathcal {A}}=1}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}=0}$. Коэффициент поправки на сдвиг ${\displaystyle \kappa }$ обычно имеет значение ${\displaystyle 5/6}$.

Решения основных уравнений можно найти, если знать соответствующие решения Кирхгофа-Лява с помощью соотношений

${\displaystyle {\begin{aligned}w&=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)-\Phi +\Psi \\\varphi _{1}&=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{1}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{1}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{2}}}\\\varphi _{2}&=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{2}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{2}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{1}}}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle w^{K}}$ это смещение, предсказанное для пластины Кирхгофа-Лява, ${\displaystyle \Phi }$ - бигармоническая функция такая, что ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\Phi =0}$, ${\displaystyle \Psi }$ - функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, ${\displaystyle \nabla ^{2}\Psi =0}$, и

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}&={\mathcal {M}}^{K}+{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q+D\nabla ^{2}\Phi ~;~~{\mathcal {M}}^{K}:=-D\nabla ^{2}w^{K}\\Q_{1}^{K}&=-D{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)~,~~Q_{2}^{K}=-D{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)\\\Omega &={\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}~,~~\nabla ^{2}\Omega =c^{2}\Omega \,.\end{aligned}}}$

Прямоугольные пластины с простой опорой

Для пластин с простой опорой Момент Маркуса сумма равна нулю, т.е.

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {1}{1+\nu }}(M_{11}+M_{22})=D\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=0\,.}$

В этом случае функции ${\displaystyle \Phi }$, ${\displaystyle \Psi }$, ${\displaystyle \Omega }$ равны нулю, а решение Миндлина связано с соответствующим решением Кирхгофа соотношением

${\displaystyle w=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\,.}$

Гибка консольных пластин Рейсснера-Штейна

Теория Рейсснера-Штейна для консольных пластин^[6] приводит к следующим связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям для консольной пластины с сосредоточенной торцевой нагрузкой ${\displaystyle q_{x}(y)}$ в ${\displaystyle x=a}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\end{aligned}}}$

и граничные условия при ${\displaystyle x=a}$ находятся

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+q_{x1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x2}=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\,.\end{aligned}}}$

Решение этой системы двух ОДУ дает

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{x}(x)&={\frac {q_{x1}}{6bD}}\,(3ax^{2}-x^{3})\\\theta _{x}(x)&={\frac {q_{x2}}{2bD(1-\nu )}}\left[x-{\frac {1}{\nu _{b}}}\,\left({\frac {\sinh(\nu _{b}a)}{\cosh[\nu _{b}(x-a)]}}+\tanh[\nu _{b}(x-a)]\right)\right]\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \nu _{b}={\sqrt {24(1-\nu )}}/b}$. Изгибающие моменты и поперечные силы, соответствующие смещению ${\displaystyle w=w_{x}+y\theta _{x}}$ находятся

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&=q_{x1}\left({\frac {x-a}{b}}\right)-\left[{\frac {3yq_{x2}}{b^{3}\nu _{b}\cosh ^{3}[\nu _{b}(x-a)]}}\right]\times \\&\quad \left[6\sinh(\nu _{b}a)-\sinh[\nu _{b}(2x-a)]+\sinh[\nu _{b}(2x-3a)]+8\sinh[\nu _{b}(x-a)]\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\&={\frac {q_{x2}}{2b}}\left[1-{\frac {2+\cosh[\nu _{b}(x-2a)]-\cosh[\nu _{b}x]}{2\cosh ^{2}[\nu _{b}(x-a)]}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}\\&={\frac {q_{x1}}{b}}-\left({\frac {3yq_{x2}}{2b^{3}\cosh ^{4}[\nu _{b}(x-a)]}}\right)\times \left[32+\cosh[\nu _{b}(3x-2a)]-\cosh[\nu _{b}(3x-4a)]\right.\\&\qquad \left.-16\cosh[2\nu _{b}(x-a)]+23\cosh[\nu _{b}(x-2a)]-23\cosh(\nu _{b}x)\right]\,.\end{aligned}}}$

Напряжения

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.}$

Если приложенная нагрузка на краю постоянна, мы восстанавливаем решения для балки с сосредоточенной концевой нагрузкой. Если приложенная нагрузка является линейной функцией ${\displaystyle y}$, тогда

${\displaystyle q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{0}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {y}{b}}\right)\,{\text{d}}y={\frac {bq_{0}}{2}}~;~~q_{x2}=\int _{-b/2}^{b/2}yq_{0}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {y}{b}}\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {b^{2}q_{0}}{12}}\,.}$

Смотрите также

• Гибка
• Теория бесконечно малых деформаций
• Теория пластин Кирхгофа – Лява
• Линейная эластичность
• Теория пластин Миндлина – Рейсснера
• Теория пластин
• Стресс (механика)
• Результирующие напряжения
• Структурная акустика
• Вибрация плит

Рекомендации

1. Редди, Дж. Н., 2007, Теория и анализ упругих пластин и оболочек, CRC Press, Тейлор и Фрэнсис.
2. Тимошенко С. и Войновски-Кригер С. (1959), Теория пластин и оболочек, Макгроу-Хилл, Нью-Йорк.
3. Кук, Р. Д. и др., 2002 г., Концепции и приложения анализа конечных элементов, Джон Уайли и сыновья
4. Леви М., 1899 г., Comptes rendues, т. 129, стр. 535-539.
5. Лим, Г. Т. и Редди, Дж. Н., 2003 г., О каноническом изгибе отношения для тарелок, Международный журнал твердых тел и структур, вып. 40,С. 3039-3067.
6. Э. Рейсснер и М. Штейн. Кручение и поперечный изгиб консольных пластин. Техническая нота 2369, Национальный консультативный комитет по аэронавтике, Вашингтон, 1951 г.