Теория пластин - Plate theory

По теории геологических плит см. Тектоника плит.

Режим вибрации зажатой квадратной пластины

В механика сплошной среды, теории пластин математические описания механики плоских пластин, основанные на теория балок. Плиты определяются как плоскость структурные элементы с небольшой толщиной по сравнению с плоскими размерами.^[1] Типичное отношение толщины к ширине пластинчатой ​​конструкции составляет менее 0,1.^{[нужна цитата ]} Теория пластин использует это неравенство в масштабе длины, чтобы уменьшить полное трехмерное изображение. механика твердого тела проблема к двумерной задаче. Цель теории пластин - вычислить деформация и подчеркивает в плите, подверженной нагрузкам.

Из многочисленных теорий о пластинах, которые были разработаны с конца 19 века, две получили широкое признание и используются в инженерии. Это

• то Кирхгоф –Люблю теория пластин (классическая теория пластин)
• Теория пластин Уфлянд-Миндлина (теория пластин сдвига первого порядка)

Теория Кирхгофа – Лява для тонких пластин.

Основная статья: Теория пластин Кирхгофа – Лява

Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.

Деформация тонкой пластины с выделением смещения, средней поверхности (красный) и нормали к средней поверхности (синий)

В Кирхгоф –Люблю теория является продолжением Теория пучка Эйлера – Бернулли тонким пластинам. Теория была разработана в 1888 году Лавом.^[2] используя предположения, предложенные Кирхгофом. Предполагается, что плоскость средней поверхности может использоваться для представления трехмерной пластины в двухмерной форме.

В этой теории сделаны следующие кинематические допущения:^[3]

• прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются прямыми после деформации
• прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются нормальными к средней поверхности после деформации
• толщина пластины не изменяется при деформации.

Поле смещения

Гипотеза Кирхгофа предполагает, что смещение поле имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ - декартовы координаты на средней поверхности недеформированной пластины, ${\displaystyle x_{3}}$ - координата направления толщины, ${\displaystyle u_{1}^{0},u_{2}^{0}}$ - смещения средней поверхности в плоскости, а ${\displaystyle w^{0}}$ это смещение средней поверхности в ${\displaystyle x_{3}}$ направление.

Если ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ углы поворота нормальный к средней поверхности, то в теории Кирхгофа – Лява${\displaystyle \varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}\,.}$

Смещение средней поверхности (слева) и нормали (справа)

Отношения деформация-смещение

Для ситуации, когда деформации в пластине бесконечно малы и повороты нормалей средней поверхности меньше 10 °, деформация-смещение отношения

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Следовательно, ненулевые деформации возникают только в плоскостях.

Если повороты нормалей к средней поверхности находятся в диапазоне от 10 ° до 15 °, зависимости деформации от смещения могут быть аппроксимированы с помощью фон Карман штаммы. Тогда кинематические допущения теории Кирхгофа-Лява приводят к следующим соотношениям деформация-перемещение

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Эта теория нелинейна из-за квадратичных членов в соотношениях деформация-перемещение.

Уравнения равновесия

Уравнения равновесия пластины могут быть получены из принцип виртуальной работы. Для ситуации, когда деформации и повороты пластины малы, уравнения равновесия ненагруженной пластины имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$

где равнодействующие напряжения и равнодействующие момента напряжения определяются как

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}$

а толщина пластины составляет ${\displaystyle 2h}$. Количество ${\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }}$ стрессы.

Если плита нагружена внешней распределенной нагрузкой ${\displaystyle q(x)}$ перпендикулярно средней поверхности и направлено в положительную сторону. ${\displaystyle x_{3}}$ направлении, принцип виртуальной работы приводит к уравнениям равновесия

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q&=0\end{aligned}}}$

Для умеренных вращений соотношения деформация-перемещение принимают форму фон Кармана, а уравнения равновесия могут быть выражены как

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }~w_{,\beta }^{0}]_{,\alpha }-q&=0\end{aligned}}}$

Граничные условия

Граничные условия, необходимые для решения уравнений равновесия теории пластин, могут быть получены из граничных условий в принципе виртуальной работы.

Для малых деформаций и малых вращений граничные условия:

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что количество ${\displaystyle n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }}$ - эффективная сила сдвига.

Отношения напряжения и деформации

Соотношения между напряжениями и деформациями для линейной упругой пластины Кирхгофа имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

С ${\displaystyle \sigma _{\alpha 3}}$ и ${\displaystyle \sigma _{33}}$ не появляются в уравнениях равновесия, неявно предполагается, что эти величины не влияют на баланс импульса и ими пренебрегают.

Удобнее работать с равнодействующими напряжений и моментов, которые входят в уравнения равновесия. Они связаны с перемещениями по

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}\,.}$

В жесткость на растяжение количества

${\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

В жесткость на изгиб (также называемый жесткость на изгиб) - величины

${\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Изотропная и однородная пластина Кирхгофа

Основная статья: Теория пластин Кирхгофа – Лява

Для изотропной и однородной пластины зависимости напряжение – деформация имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

Моменты, соответствующие этим напряжениям, равны

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}$

Чистый изгиб

Смещения ${\displaystyle u_{1}^{0}}$ и ${\displaystyle u_{2}^{0}}$ равны нулю при чистый изгиб условия. Для изотропной однородной пластины при чистом изгибе основное уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=0\quad {\text{where}}\quad w:=w^{0}\,.}$

В индексной записи

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\,.}$

В прямых тензорных обозначениях определяющее уравнение имеет вид

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0\,.}$

Поперечная нагрузка

Для поперечно нагруженной пластины без осевых деформаций определяющее уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=-{\frac {q}{D}}}$

куда

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

В индексной записи

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=-{\frac {q}{D}}}$

и в прямой записи

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.}$

В цилиндрических координатах ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$, определяющее уравнение

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.}$

Ортотропная и однородная пластина Кирхгофа

Для ортотропный пластина

${\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&D_{13}\\D_{21}&D_{22}&D_{23}\\D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h^{3}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.}$

Поперечная нагрузка

Основное уравнение ортотропной пластины Кирхгофа, нагруженной поперечно распределенной нагрузкой ${\displaystyle q}$ на единицу площади составляет

${\displaystyle D_{x}w_{,1111}^{0}+2D_{xy}w_{,1122}^{0}+D_{y}w_{,2222}^{0}=-q}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{x}&=D_{11}={\frac {2h^{3}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{y}&=D_{22}={\frac {2h^{3}E_{2}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{xy}&=D_{33}+{\tfrac {1}{2}}(\nu _{21}D_{11}+\nu _{12}D_{22})=D_{33}+\nu _{21}D_{11}={\frac {4h^{3}G_{12}}{3}}+{\frac {2h^{3}\nu _{21}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\,.\end{aligned}}}$

Динамика тонких пластин Кирхгофа

Основная статья: Теория пластин Кирхгофа – Лява

Динамическая теория пластин определяет распространение волн в пластинах и изучение стоячих волн и режимов колебаний.

Основные уравнения

Основные уравнения динамики пластины Кирхгофа – Лява:

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}}$

где для пластины с плотностью ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$,

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}}$

и

${\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}$

На рисунках ниже показаны некоторые колебательные моды круглой пластины.

• 

  Режим k = 0, п = 1

• 

  Режим k = 1, п = 2

Изотропные плиты

Определяющие уравнения значительно упрощаются для изотропных и однородных пластин, для которых деформациями в плоскости можно пренебречь, и имеют вид

${\displaystyle D\,\left({\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}\right)=-q(x_{1},x_{2},t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}\,.}$

куда ${\displaystyle D}$ - жесткость пластины на изгиб. Для однородной плиты толщиной ${\displaystyle 2h}$,

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

В прямой записи

${\displaystyle D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w^{0}=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\ddot {w}}^{0}\,.}$

Теория Уфлянда-Миндлина для толстых пластин

Основная статья: Теория пластин Миндлина – Рейсснера

Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.

В теории толстых пластин или теории Якова Сергеевича Уфлянда^[4] (подробнее см. Елисаков справочник^[5]), Раймонд Миндлин^[6] и Эрик Рейсснер, нормаль к средней поверхности остается прямой, но не обязательно перпендикулярной к средней поверхности. Если ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}}$ обозначьте углы, которые средняя поверхность образует с ${\displaystyle x_{3}}$ ось тогда

${\displaystyle \varphi _{1}\neq w_{,1}~;~~\varphi _{2}\neq w_{,2}}$

Тогда из гипотезы Миндлина – Рейсснера следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

Отношения деформация-смещение

В зависимости от величины вращения нормалей пластины из основных кинематических допущений могут быть получены два различных приближения для деформаций.

Для малых деформаций и малых вращений соотношения деформация-перемещение для пластин Миндлина – Рейсснера имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-{\frac {x_{3}}{2}}~(\varphi _{\alpha ,\beta }+\varphi _{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Деформация сдвига и, следовательно, напряжение сдвига по толщине пластины не игнорируется в этой теории. Однако деформация сдвига постоянна по толщине пластины. Это не может быть точным, поскольку известно, что напряжение сдвига параболическое даже для пластин простой формы. Чтобы учесть неточность деформации сдвига, коэффициент поправки на сдвиг (${\displaystyle \kappa }$) применяется так, чтобы правильное количество внутренней энергии предсказывалось теорией. потом

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha 3}={\cfrac {1}{2}}~\kappa ~\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)}$

Уравнения равновесия

Уравнения равновесия имеют несколько иной вид в зависимости от величины ожидаемого изгиба пластины. Для ситуации, когда деформации и повороты пластины малы, уравнения равновесия пластины Миндлина – Рейсснера имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}&N_{\alpha \beta ,\alpha }=0\\&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\,.\end{aligned}}}$

Результирующие поперечные силы в приведенных выше уравнениях определяются как

${\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}\,.}$

Граничные условия

Граничные условия обозначаются граничными членами в принципе виртуальной работы.

Если единственной внешней силой является вертикальная сила на верхней поверхности пластины, граничные условия

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad \varphi _{\alpha }\\n_{\alpha }~Q_{\alpha }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\end{aligned}}}$

Учредительные отношения

Соотношения между напряжениями и деформациями для линейной упругой пластины Миндлина – Рейсснера имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}}$

С ${\displaystyle \sigma _{33}}$ не появляется в уравнениях равновесия, неявно предполагается, что он не оказывает никакого влияния на баланс импульса и им пренебрегают. Это предположение также называется плоское напряжение предположение. Остальные соотношения напряжение – деформация для ортотропный материал в матричной форме можно записать как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&0&0&0\\0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Потом,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}~(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}}$

Для условий сдвига

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\cfrac {\kappa }{2}}\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}}$

В жесткость на растяжение количества

${\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

В жесткость на изгиб количества

${\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Изотропные и однородные пластины Уфлянд-Миндлина

Основная статья: Теория пластин Миндлина – Рейсснера

Для однородно толстых, однородных и изотропных пластин зависимости напряжения от деформации в плоскости пластины имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

куда ${\displaystyle E}$ - модуль Юнга, ${\displaystyle \nu }$ - коэффициент Пуассона, а ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$ деформации в плоскости. Напряжения и деформации сдвига по толщине связаны соотношением

${\displaystyle \sigma _{31}=2G\varepsilon _{31}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{32}=2G\varepsilon _{32}}$

куда ${\displaystyle G=E/(2(1+\nu ))}$ это модуль сдвига.

Учредительные отношения

Соотношения между результирующими напряжениями и обобщенными смещениями для изотропной пластины Миндлина – Рейсснера следующие:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2Eh}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}\,,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}\,,}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa Gh{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}\,.}$

В жесткость на изгиб определяется как количество

${\displaystyle D={\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

Для плиты толщиной ${\displaystyle H}$, жесткость на изгиб имеет вид

${\displaystyle D={\cfrac {EH^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\,.}$

куда ${\displaystyle h={\frac {H}{2}}}$

Основные уравнения

Если мы проигнорируем продолжение пластины в плоскости, основные уравнения будут

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }&=0\\Q_{\alpha ,\alpha }+q&=0\,.\end{aligned}}}$

В терминах обобщенных деформаций ${\displaystyle w^{0},\varphi _{1},\varphi _{2}}$, три основных уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=-{\frac {q}{D}}\\&\nabla ^{2}w^{0}-{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}=-{\frac {q}{\kappa Gh}}\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=-{\frac {2\kappa Gh}{D(1-\nu )}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\,.\end{aligned}}}$

Граничные условия по краям прямоугольной пластины:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{simply supported}}\quad &\quad w^{0}=0,M_{11}=0~({\text{or}}~M_{22}=0),\varphi _{1}=0~({\text{or}}~\varphi _{2}=0)\\{\text{clamped}}\quad &\quad w^{0}=0,\varphi _{1}=0,\varphi _{2}=0\,.\end{aligned}}}$

Статическая теория Рейсснера – Штейна для изотропных консольных пластин.

В общем, точные решения для консольных пластин с использованием теории пластин довольно сложны, и в литературе можно найти несколько точных решений. Рейсснер и Штейн^[7] предоставить упрощенную теорию консольных пластин, которая является усовершенствованием более старых теорий, таких как теория пластин Сен-Венана.

Теория Рейсснера-Штейна предполагает, что поле поперечных смещений имеет вид

${\displaystyle w(x,y)=w_{x}(x)+y\,\theta _{x}(x)\,.}$

Тогда основные уравнения для пластины сводятся к двум связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям:

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=q_{1}(x)-n_{1}(x){\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{1}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}\\&{\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=q_{2}(x)-n_{3}(x){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{3}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}\,{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}}$

В ${\displaystyle x=0}$, поскольку балка зажата, граничные условия

${\displaystyle w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.}$

Граничные условия при ${\displaystyle x=a}$ находятся

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left[n_{3}(x)-2bD(1-\nu )\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}}$

Вывод уравнений кантилевера Рейсснера – Штейна.

Энергия деформации изгиба тонкой прямоугольной пластины однородной толщины ${\displaystyle h}$ дан кем-то ${\displaystyle U={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}D\left\{\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)^{2}+2(1-\nu )\left[\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)^{2}-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]\right\}{\text{d}}x{\text{d}}y}$ куда ${\displaystyle w}$ - поперечное смещение, ${\displaystyle a}$ это длина, ${\displaystyle b}$ это ширина, ${\displaystyle \nu }$ коэффициент Пуассона, ${\displaystyle E}$ - модуль Юнга, а ${\displaystyle D={\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu )}}.}$ Потенциальная энергия поперечных нагрузок ${\displaystyle q(x,y)}$ (на единицу длины) составляет ${\displaystyle P_{q}=\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,w(x,y)\,{\text{d}}x{\text{d}}y\,.}$ Потенциальная энергия плоских нагрузок ${\displaystyle n_{x}(x,y)}$ (на единицу ширины) составляет ${\displaystyle P_{n}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,\left({\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}\,{\text{d}}x{\text{d}}y\,.}$ Потенциальная энергия остаточных сил ${\displaystyle q_{x}(y)}$ (на единицу ширины) и изгибающие моменты ${\displaystyle m_{x}(y)}$ и ${\displaystyle m_{xy}(y)}$(на единицу ширины) составляет ${\displaystyle P_{t}=\int _{-b/2}^{b/2}\left(q_{x}(y)\,w(x,y)-m_{x}(y)\,{\frac {\partial w}{\partial x}}+m_{xy}(y)\,{\frac {\partial w}{\partial y}}\right){\text{d}}x{\text{d}}y\,.}$ Баланс энергии требует, чтобы общая энергия была ${\displaystyle W=U-(P_{q}+P_{n}+P_{t})\,.}$ С предположением Райссенера – Стейна для смещения имеем ${\displaystyle U=\int _{0}^{a}{\frac {bD}{24}}\left[12\left({\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}\right)^{2}+b^{2}\left({\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}\right)^{2}+24(1-\nu )\left({\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right)^{2}\right]\,{\text{d}}x\,,}$ ${\displaystyle P_{q}=\int _{0}^{a}\left[\left(\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y\right)w_{x}+\left(\int _{-b/2}^{b/2}yq(x,y)\,{\text{d}}y\right)\theta _{x}\right]\,dx\,,}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\left[\left(\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right)\left({\cfrac {dw_{x}}{dx}}\right)^{2}+\left(\int _{-b/2}^{b/2}yn_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {dw_{x}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right.\\&\left.\qquad \qquad +\left(\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right)\left({\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right)^{2}\right]{\text{d}}x\,,\end{aligned}}}$ и ${\displaystyle {\begin{aligned}P_{t}&=\left(\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\right)w_{x}-\left(\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+\left[\int _{-b/2}^{b/2}\left(yq_{x}(y)+m_{xy}(y)\right)\,{\text{d}}y\right]\theta _{x}\\&\qquad \qquad -\left(\int _{-b/2}^{b/2}ym_{x}(y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\,.\end{aligned}}}$ Взяв первый вариант ${\displaystyle W}$ относительно ${\displaystyle (w_{x},\theta _{x},x)}$ и установка его на ноль дает нам уравнения Эйлера ${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=q_{1}(x)-n_{1}(x){\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{1}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}}$ и ${\displaystyle {\text{(2)}}\qquad {\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=q_{2}(x)-n_{3}(x){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{3}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}\,{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}}$ куда ${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y.\end{aligned}}}$ Поскольку балка зажата на ${\displaystyle x=0}$, у нас есть ${\displaystyle w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.}$ Граничные условия при ${\displaystyle x=a}$ можно найти путем интеграции по частям: ${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left[n_{3}(x)-2bD(1-\nu )\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}}$ куда ${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y.\end{aligned}}}$

Рекомендации

1. Тимошенко С., Войновский-Кригер С. Теория пластин и оболочек. Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, 1959.
2. А. Э. Х. Лав, О малых свободных колебаниях и деформациях упругих оболочек., Философский пер. Королевского общества (Лондон), 1888 г., Vol. серия A, № 17 стр. 491–549.
3. Редди, Дж. Н., 2007, Теория и анализ упругих пластин и оболочек, CRC Press, Тейлор и Фрэнсис.
4. Уфлянд, Я. С., 1948, Распространение волн при поперечных колебаниях балок и пластин, ПММ: Журнал прикладной математики и механики, т. 12, 287-300 с.
5. Елисаков И., 2020, Справочник по теории пучка Тимошенко-Эренфеста и пластины Уфлянд-Миндлина, World Scientific, Сингапур, ISBN  978-981-3236-51-6
6. Р. Д. Миндлин, Влияние инерции вращения и сдвига на изгибные движения изотропных упругих пластин, Журнал прикладной механики, 1951, т. 18 п. 31–38.
7. Э. Рейсснер и М. Штейн. Кручение и поперечный изгиб консольных пластин. Техническая нота 2369, Национальный консультативный комитет по аэронавтике, Вашингтон, 1951 г.

Смотрите также

• Гибка плит
• Вибрация плит
• Теория бесконечно малых деформаций
• Мембранная теория оболочек
• Теория конечных деформаций
• Стресс (механика)
• Результирующие напряжения
• Линейная эластичность
• Гибка
• Уравнения Феппля – фон Кармана
• Уравнение Эйлера – Бернулли для пучка
• Теория пучка Тимошенко